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Dynamique de rotation 8

Posté par
hdiallo 15-07-23 à 20:03

Salut à tous, veuillez m'aider svp.
Problème
On dispose d'une roue de masse M =5,0 kg, de rayon R = 0,20 m. Le moyeu de la roue est un cylindre de rayon r = 2,0 cm. Le moment d'inertie de l'ensemble par rapport à l'axe de révolution est J = 2,0.10-2 kg.m².
La roue aborde deux rails parallèles situés dans un plan (P) incliné d'un angle par rapport au sol supposé horizontal. Au moment où la roue aborde les rails la vitesse de son centre d'inertie est v0 = 2 m/s. La roue roule sans glisser sur son moyeu. Calculer la distance qu'elle parcourt avant de s'immobiliser.
On donne sin = 0,10  ;  g = 10 m/s²Dynamique de rotation 8

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 15-07-23 à 21:22

Bonjour
Je te laisse travailler. Pense au théorème de l'énergie cinétique...

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 15-07-23 à 21:50

Je n'ai pas du tout compris le phénomène ici. Mais néanmoins, quand je rentre à la maison je vais revoir ce que j'ai fais au brouillon et vous montrer

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 15-07-23 à 22:37

On peut imaginer que le moyeu de la roue, assimilé à un cylindre homogène de rayon r roule sans glisser sur deux rails parallèles inclinés de l'angle par rapport à l'horizontale. L'altitude augmente lors de la montée d'où ralentissement jusqu'à l'immobilisation. Le solide repart alors vers le bas mais cette descente n'est pas étudiée ici.

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 16-07-23 à 19:54

C'est à partir de là que je n'ai pas du tout compris quand ils disent que

Citation :
La roue roule sans glisser sur son moyeu


Je ne sais pas entre la roue et le moyeu, qu'est-ce qui est réellement posé sur le les rails.

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 16-07-23 à 19:55

J'ai vraiment du mal à imaginer un schéma clair de la situation

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 16-07-23 à 21:25

Les schémas de ce sujet devraient t'aider...
TP - Disque roulant sur rail inclinés

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 20-09-23 à 21:37

vanoise, mon soucis est que l'énoncé dit 《la roue roule sans glisser 》, pourtant le centre d'inertie G de la roue est animé d'un mouvement de translation.
Seul le poids \vec P de la roue et la réaction \vec R des rails qui sont appliqués sur la roue.
L'autre souci, l'énoncé ne précise pas s'il y'a des frottements, mais puisque la roue aborde la pente et fini par s'immobiliser, donc il existe forcément un système de freinage, à mon avis.

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 20-09-23 à 23:03

Le solide roule sans glisser en remontant la pente. Le poids fournit ainsi un travail négatif qui permet le freinage et l'arrêt.
Roulement sans glissement : L'axe de symétrie du solide contenant le centre d'inertie G possède une vitesse \vec V_G colinéaire aux rails et orienté dans le sens montant. Les points à la périphérie de la roue ont une vitesse nulle lorsque'il passe au contact des rails : c'est la condition de roulement sans glissement qui conduit à VG=r.. La démonstration est délicate au niveau terminale.
IL y a bien force de frottement au contact entre moyeu et rail mais comme les points de contact ont une vitesse nulle, la puissance des forces de frottement est nulle à chaque instant. Les forces de frottement ne travaillent pas.

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 21-09-23 à 00:19

Citation :
Le poids fournit ainsi un travail négatif qui permet le freinage et l'arrêt.

Ah d'accord, je comprend bien !

Maintenant je peux appliquer le Théorème de l'énergie cinétique entre l'instant initial (v0 = 2m/s) et l'instant final (v = 0, à l'arrêt).

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 21-09-23 à 10:55

Oui mais attention : il faut tenir compte de l'énergie cinétique de rotation.

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 21-09-23 à 13:12

D'accord.
\Delta Ec = W(\vec P)+W(\vec R) \Leftrightarrow -Ec_0=-Mgh

Le travail de la réaction normale est nul.

Donc si je comprend bien, une partie de la roue est en translation et l'autre en rotation

Alors -½Mv_0² - ½J_\Delta \omega_0² = -M.g.x.sin\alpha

Maintenant pour \omega _0, j'ai deux rayons : R et r. Je ne sais pas lequel utiliser pour trouver \omega_0.

Je ne sais pas si je suis pas sûr la bonne voie

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 22-09-23 à 13:54

Relis bien mon message du 20-09-23 à 23:03. Sinon, ton application du théorème de l'énergie cinétique est correcte.

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 25-09-23 à 10:52

D'accord !

v_0 =r\omega _0 \Rightarrow \omega _0 = \frac {v_0}{r}

Donc (M+\frac {J_{\Delta}}{r²})v_0² = 2Mgx.sin\alpha \Rightarrow x = \frac {Mr² + J_\Delta}{2Mr².g.sin\alpha}v_0²

AN : x = 202 m

C'est ça ?

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 25-09-23 à 19:10

Je n'obtiens pas cette valeur numérique mais une valeur nettement plus faible...

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 25-09-23 à 20:12

D'accord, j'ai repris le calcul et j'ai trouvé :
x = 22 m

Mon inquiétude est que je n'ai pas utilisé l'autre rayon que l'énoncé a donné R = 0,20 m.

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 25-09-23 à 20:52

R aurait pû servir à calculer le moment d'inertie...  Sinon, il est important qu'il soit nettement supérieur à r pour assurer le guidage entre les deux rails.
Ok pour la valeur de x.

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 25-09-23 à 23:00

D'accord.
J'ai toujours une question vanoise : supposons que le moment d'inertie de l'ensemble J n'était pas connu. Comment faire pour le calculer ?

Voici ce que j'allais faire :
J = ½MR² + ½Mr²

C'est ça ?

Posté par
vanoisere : Dynamique de rotation 8 26-09-23 à 14:52

Il faudrait plus de renseignement sur la géométrie du solide.
On peut écrire la massa totale comme la somme :
Mroue+Mcylindre=M=5kg
Le moment d'inertie du cylindre est simple :
Jcylindre=½Mcylindre.r2
Celui de la roue est plus compliqué à obtenir car, une fois le cylindre enlevé, la roue est en fait une couronne de rayon intérieur r et de rayon extérieur R. On peut le calculer comme la différence entre le moment d'inertie d'une roue homogène de rayon R et le moment d'inertie de la partie vide : un cylindre de rayon r. Sa chant que la masse d'un cylindre est proportionnelle au carrée du rayon :
masse cylindre de rayon R plein :

M_{1}=M_{roue}\cdot\frac{R^{2}}{R^{2}-r^{2}}

masse cylindre de rayon r plein :

M_{2}=M_{roue}\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}

D'où le moment d'inertie de la roue :

J_{roue}=\frac{1}{2}M_{1}.R^{2}-\frac{1}{2}M_{2}.r^{2}=\frac{1}{2}M_{roue}\cdot\frac{R^{4}-r^{4}}{R^{2}-r^{2}}=\frac{1}{2}M_{roue}\cdot\left(R^{2}+r^{2}\right)

Au final :

J=\frac{1}{2}M_{roue}\cdot\left(R^{2}+r^{2}\right)+\frac{1}{2}M_{cylindre}\cdot r^{2} \\

Posté par
hdiallore : Dynamique de rotation 8 27-09-23 à 03:48

Merci bien vanoise


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