Commentaires sur l'exercice.

"on" a envoyé un satellite a une altitude h.

Si l'altitude de l'orbite est constante (h), alors l'orbite est circulaire.
Il n'y a ni périgée, ni apogée dans l'orbite.
  
On cherche maintenant à l'envoyer sur une autre orbite d'altitude h' (avec h'>h) pour qu'il soit géostat.
Un satellite géostationnaire à une orbite CIRCULAIRE (altitude constante d'environ 36000 km) dans le plan équatorial, et donc de nouveau pas question d'apogée ou de périgée

Sauf mauvaise interprétation de ma part, ou bien l'énoncé n'est pas recopié fidèlement, ou bien cet énoncé est farfelu.

Ce ne serait pas la première fois qu'on trouve des énoncés farfelus, même au bac. On fait de plus en plus n'importe quoi...
Mais de toutes manières on adapte la cotation pour que le quota de réussite soit atteint, alors Tout va pour le mieux.

Ceci n'engage que moi.

A cela près, si cela t'intéresse de connaître les techniques pour mettre un satellite en orbite géostationnaire ou bien pour changer d'orbite, tu peux lire ceci:

Merci de ta réponse.
je n'ai peut pas était assez clair, le périgée et l'apogée sont ceux de l'ellipse que va décrire le satellite pour passé d'une orbite à l'autre :

"Une  fois  le  satellite MSG-2  placé  sur  son  orbite  circulaire  basse,  on  le  fait  passer  sur  une  orbite géostationnaire  à l'altitude  h' = 3,6 ×10^4 km.  Ce  transit  s'opère  sur  une  orbite  de  transfert  qui  est elliptique. Le schéma de principe est représenté sur la figure 6 page 7.  

Le périgée P est sur l'orbite circulaire basse et l'apogée A est sur l'orbite définitive géostationnaire.
À un moment convenu, lorsque le satellite est au point P de son orbite circulaire basse, on augmente
sa vitesse de façon bien précise : il décrit ainsi une orbite elliptique de transfert afin que l'apogée A de
l'ellipse soit sur l'orbite géostationnaire définitive. On utilise pour cela un petit réacteur qui émet en P,
pendant un très court instant, un jet de gaz donnant au satellite l'impulsion nécessaire.

Voila le schéma :

Cela, c'est déjà plus compéhensible.

Si j'ai le temps, j'y réfléchirais.

Il y a déjà un cas particulier où c'est évident, si , on a immédiatemnt Dt = T'/2

Je trouve que Dt <= T'/2

Ou si tu veux que la valeur max de Dt est T'/2.
Ce n'est pas la même chose que Dt = T'/2 quel que soit h.
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3 ème loi de Kepler :

(2Pi/T)².a³ = K

avec a le demi grand axe de l'orbite.

dans l'ellipse : 2a = h + h' + 2R (R : rayon de la Terre)

(2Pi/T)².(h + h' + 2R)³/8 = K

2Pi/T = V[8K/(h + h' + 2R)³]

Dt = T/2 = Pi/V[8K/(h + h' + 2R)³]

Dt = [pi/(2V(2K))].V[(h + h' + 2R)³]

C'est le temps mis pour passer de P à A.
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Pour la trajectoire géostationnaire :

(2Pi/T')².a'³ = K

a' = R + h'

(2Pi/T')².(R+h')³ = K

2K = 2.(2Pi/T')².(R+h')³

2.V(2K) = (4Pi/T').V(2(R+h')³)

Pi/(2.V(2K) ) = (T'/4)/V(2(R+h')³)

et donc :
Dt = [pi/(2V(2K))].V[(h + h' + 2R)³]

Dt = (T'/4)/V(2(R+h')³).V[(h + h' + 2R)³]

Dt = (T'/(4V2)).V[((h + h' + 2R)/(R+h'))³]

Dt = (T'/(4V2))*V8*V[(1/8).((h + h' + 2R)/(R+h'))³]

Dt = (T'/2) * V[((h + h' + 2R)/(2(R+h')))³]  

h est dans [0 ; h']

Si h = h' --> Dt = (T'/2) * V[((h' + h' + 2R)/(2(R+h')))³] = T'/2

Si h = 0 --> Dt = (T'/2) * V[((h' + 2R)/(2(R+h')))³] = (T'/2) * V((h'+2R)/(2h'+2R))³

V((h'+2R)/(2h'+2R))³ < 1

Dt <= T'/2
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Remarque, on peut faire cela en 2 ou 3 lignes, si on demande la valeur max de Dt et non son expression en fonction de h.

A partir de là  (2Pi/T)².a³ = K
T augmente avec a et donc T est max pour a max.
a est max si h = h' --> T = T'

Pour passer de P à A, il faut un temps Dt = T/2 et Dt est max pour h = h' --> Dt max = T'/2
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Sauf distraction ou erreur.  

Merci Merci beaucoup pour toute ta démonstration !

J'imagine cependant que seules les "3 lignes" suffisaient pour le bac, la valeur en fonction de h étant quand meme assez fastidieuse à retrouver !