Il vaudrait mieux donner l'énoncé complet car il est possible que tu aies fait une erreur en déterminant l'expression de k.

Si c'est le cas, alors son unité est aussi fausse.

Voici l'énoncé de l'exercice :

Une goutte d'eau supposée sphérique, de rayon r = 1 mm , tombe de la base d'un nuage
situé à 1000 m au dessus du sol. On suppose qu'à l'instant initial, la vitesse de la goutte
est nulle. On prendra, comme origine des temps l'instant où la goutte quitte le nuage, et
comme origine des distances l'endroit où la goutte quitte le nuage.

Première partie : Réalisée

1- En supposant que seul le poids de la goutte s'exerce sur elle, établir les lois horaires du
mouvement de la goutte. Comment s‘appelle un mouvement dans lequel seul le poids
intervient ?

2- Calculer la valeur de la vitesse de la goutte lorsqu'elle atteint le sol. Cette valeur
paraît elle acceptable ?


Seconde partie :

1- En fait, la goutte arrive au sol avec une vitesse de 10 m / s. Expliquer la différence
entre cette valeur et celle calculée précédemment ( expliquer clairement et simplement
l'évolution du mouvement réel, en précisant les causes de cette évolution). Comment
appelle -t-on cette vitesse ?

2- a- Donner l'expression de la poussée d'Archimède s'exerçant sur la goutte et la calculer.
b- Comparer la valeur de la poussée d'Archimède avec la valeur du poids de la goutte .
Quelle approximation peut-on faire ?

3- On modélise les frottements qui s'exercent sur la goutte par une force unique f, dont
l'expression est donnée par f = krv, où k est un coefficient à déterminer, r est le rayon de
la goutte, et v est la vitesse atteinte.
a- Faire le bilan des forces qui s'exercent sur la goutte ( schéma), et établir l'équation
différentielle du mouvement
b- En déduire l'expression littérale de la vitesse limite .
c- Calculer la valeur de k.
d- En utilisant l'équation différentielle, trouver la valeur de l'accélération de la goutte
à l'instant t =0. En déduire l'expression littérale de t , temps caractéristique du
système, puis calculer ce temps.
e- Tracer alors le graphe v = f ( t ) le plus précisément possible.

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Pour la question 3, de la seconde partie, je trouve donc :

Equation différentielle :

Lorsque la goutte d'eau atteint sa vitesse limite, l'accélération devient nulle. On en déduit donc l'expression de la vitesse limite :



D'où :

On en déduit donc directement l'expression de k :

unités

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Voici donc pour l'énoncé et mon raisonnement. Et je ne sais finalement quelle unité prendre....

Autre question, si je veux déterminer v(t) en fonction de V_lim. Est-ce que le raisonnement suivant est juste

On a précédemment trouvé :
D'où :


Donc :

Or :
D'où :

Et donc :

f = krv

N = [k]*m*m/s

[k] = N.m^-2*s

Et si on veut remettre cela en Unité de base du système SI :

le Newton équivaut à kg.m.s^-2

[k] = kg.m.s^-2.m^-2.s
[k] = kg.m^-1.s^-1
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Pour v(t) :

mg - krv = ma
mg - krv = m.dv/dt

en notant v' la dérivée de v par rapport au temps, on a:

mg - krv = m.v'
mv' + krv = g

v' + (kr/m)v = g

Il faut résoudre cette équation différentielle.

a) solutions de v' + (kr/m)v = 0
v = C.e^((-kr/m)t)

b) solution particulière de v' + (kr/m)v = g
v = mg/(kr)

c) Solutions générales de v' + (kr/m)v = g
v(t) = mg/(kr) + C.e^((-kr/m)t)

au départ de la goutte (en t = 0, on a v = 0) -->

0 = mg/(kr) + C
C = -mg/kr

v(t) = (mg/(kr))*[1 - e^((-kr/m)t)]

v(t) = Vlim *[1 - e^((-kr/m)t)]
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Sauf distraction.  

Waouh !

J'ai repris au fur et à mesure sur une feuille, et j'ai tout compris !
Je vais dorénavant essayer de le refaire tout seul.

En tout cas, merci beaucoup !