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désintégration des noyaux radioactifs
Bonjour,
Je bloque sur un exercice.
Si N(t) est le nombre de noyaux d'un corps radioactif présents à l'instant t (en années), la variation ΔN(t) de ce nombre pendant la durée Δ(t)(par désintégration) est proportionnelle à N(t) et à Δ(t):
ΔN(t)= -λ Δt N(t) (λ˃0)
1) On suppose que N(t) est dérivable. Ecrire une équation différentielle vérifiée par N et la résoudre.
2) On appelle temps caractéristique le nombre τ=1/λ. Exprimer en fonction de τ le temps t0,5 au bout duquel N(t) a diminué de moitié (t0,5 est la demi-vie).
3) Le carbone 14 est renouvelé constamment chez les êtres vivants. A leur mort, celui-ci se désintègre avec une demi-vie de 5730 ans. Si un fragment d'os contient 71 % de sa quantité initiale de carbone 14, quel âge a-t-il ?
Merci d'avance.
1)
dN/dt = - Lambda.N
N(t) = C * (1/Lambda) * e^(-Lambda.t)
Et si on pose N(0) = No, alors :
N(t) = No * e^(-Lambda.t)
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2)
N(t0,5) = No * e^(-Lambda.t0,5) = N(0)/2
avec N(0) = No
No * e^(-Lambda.t0,5) = No/2
e^(-Lambda.t0,5) = 1/2
-Lambda.t0,5 = ln(1/2)
Lambda.t0,5 = ln(2)
t0,5 = ln(2)/Lambda
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3)
N(t) = No.e^(- Lambda*t)
Lambda = ln(2)/t0,5 = ln(2)/5730 = 1,21.10^-4 an^-1
0,71.No = No.e^(- 1,21.10^-4 * t) (avec t en années)
0,71 = e^(- 1,21.10^-4 * t)
- 1,21.10^-4 * t = ln(0,71)
t = 2830 ans
Age de l'os : 2830 ans
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Recopier sans comprendre est inutile.
Sauf distraction. 
Merci pour votre réponse.
A quoi correspond C ? Et pourquoi doit on utiliser la fonction exponentielle ? (On a pas encore réellement étudié les équations différentielles)
"C" est une constante d'intégration... qui se détermine à partir d'une condition initiale.
Pour ta réflexion :
Et pourquoi doit on utiliser la fonction exponentielle ? (On a pas encore réellement étudié les équations différentielles)
Je ne peux que t'inciter à acquérir les connaissances mathématiques nécessaires pour répondre à l'énoncé : qui dit : "Ecrire une équation différentielle vérifiée par N et la résoudre."
Cela devrait faire partie du cours de Math.
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