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Cyclotron 1

Posté par
hdiallo 06-05-24 à 05:35

Bonjour, aidez-moi svp.
Problème :
On donne : masse du proton m = 1,67.10-27kg ; charge élémentaire e = 1,6.10-19 C ; d = 1 cm ; U = 4000 V.
Un cyclotron est un dispositif constitué de deux demi-cylindres D1 et D2 séparés par une distance très faible d devant leur diamètre. Le tout est placé dans le vide. Un champ magnétique \vec B perpendiculaire au plan de la figure est créé dans D1 et D2. Une source S (Voir croquis) émet des protons dont la vitesse initiale est nulle. Entre les deux demi cylindres (《dees》) et sur la distance d agit un champ électrique uniforme \vec E.
\vec E est constamment nul à l'intérieur des 《dees》. Cyclotron 1 Cyclotron 1

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 06-05-24 à 10:33

Bonjour
Qu'as-tu réussi à faire pour l'instant ? Qu'est ce qui te bloque ?

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 06-05-24 à 11:36

Question 1)
Le Théorème de l'énergie cinétique appliqué sur le proton en mouvement dans le champ électrique donne :

\Delta E_c = \sum{W(\vec F_{ex})}

Seule la force électrique est appliquée, le poids du proton est négligeable.

½mV1² = eU V_1 = \sqrt {\frac {2eU}{m}}

AN : V1 8,75.105 m/s

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 06-05-24 à 12:04

OK. Pour la suite, il faut démonter que le mouvement est circulaire uniforme. Cela se fait en 4 étapes :
1° : le mouvement est plan (perpendiculaire au vecteur champ magnétique) ;
2° : le mouvement est uniforme ;
3° : le mouvement est circulaire uniforme ;
4° : expression du rayon de trajectoire.

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 06-05-24 à 15:53

2.a) Expression du rayon R1
- système : proton de masse m ;
- référentiel : terrestre (supposé galiléen) ;
- bilan des forces : le poids \vec P = m\vec g et la force magnétique \vec F = q\vec V vectoriel \vec B

Je demande le code pour taper le produit vectoriel.

Mais le poids est négligeable devant la force magnétique.

Le TCI donne : \vec a = \frac {q}{m}\vec V vectoriel \vec B    (1)

Soit R(O, \vec i, \vec j, \vec k) un repère orthogonal de projection tel que O\vec k est parallèle à \vec B et de même sens.

Selon la relation (1) : \vec a est perpendiculaire à \vec B, mais \vec B est parallèle à l'axe (Oz), ce qui implique que \vec a est perpendiculaire à (Oz). Donc a_Z = 0

Par intégration successive de aZ, on trouve Z = 0.
La côte Z étant nulle, le mouvement est plan. La trajectoire est située dans le plan XOY.

• la puissance de la force magnétique est : P = \vec F.\vec V= 0  ( car \vec F est perpendiculaire à \vec V

D'autre part, la puissance est : P = \frac {W_{\vec F}}{t}\Rightarrow W_{\vec F}=P.t =0

En appliquant le TEC entre l'instant où la particule pénètre dans le dee D1 et l'instant où elle sort, on obtient : \Delta E_c = 0 \Rightarrow V = V_0 = constante

Le mouvement est donc uniforme.

• selon l'expression du vecteur accélération, \vec a est perpendiculaire au vecteur vitesse \vec V à chaque instant. Donc \vec a est normal. Le mouvement est Circulaire.

• Expression du rayon :

\vec a  étant normal, je pose : a = \frac {V²}{R}

En remplaçant a par son expression on trouve enfin :

R = \frac {mV}{qB}

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 06-05-24 à 16:00

Très bien pour la démonstration !
Sous Tex :
\vec F=q\cdot\vec v \wedge\vec B
donne :

\vec F=q\cdot\vec v \wedge\vec B

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 18-05-24 à 02:11

Merci bien.
Maintenant j'écris : R_1 = \frac {mV_1}{qB}
Je remplace V_1 = \sqrt {\frac {2eU}{m}}

Donc R_1=\frac{1}{B}\sqrt{\frac {2mU}{e}}

2.b) Temps de transit du dee D1

Le mouvement dans un dee étant circulaire uniforme, le temps de transition dans un dee est la durée d'un demi-tour. C'est la moitié d'une période (durée d'un tour complet)

\tau = T/2 = \frac {2\pi R_1}{2V_1} = \frac {\pi m}{eB}

AN : = 31,8 ns

Ce temps est trop petit vanoise.

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 18-05-24 à 11:00

Résultat correct. On applique entre les dees une tension accélératrice de fréquence relativement élevée.

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 20-05-24 à 04:34

3.a) le temps de transit dans un temps étant indépendant de la vitesse du proton, je trouve toujours pour le dee 2 :


\tau_2 = T/2 = \frac {2\pi R_1}{2V_1} = \frac {\pi m}{eB}

AN : = 31,8 ns

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 20-05-24 à 13:27

OK !

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 28-06-24 à 20:04

comparaison des temps : le temps est le même.

3.b) Description du mouvement :
Le temps de transit de le champ électrique était trop faible (tension accélératrice grande), le mouvement du proton dans un dee est circulaire uniforme.

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 28-06-24 à 21:51

Dans chaque dee, le mouvement de la particule est bien circulaire et uniforme mais cela n'a rien à voir avec le fait que la durée d'un demi tour reste constante. Quand n augmente, le rayon de trajectoire augmente mais, comme la vitesse augmente proportionnellement, on obtient une durée indépendante de n. Cela présente un intérêt pratique. La tension accélératrice peut être obtenue en reliant les deux dees aux deux bornes d'un générateur de tension sinusoïdale dont on pourrait déterminer la fréquence...

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 28-06-24 à 22:54

D'accord j'ai compris cela. Cette fréquence est appelée fréquence du cyclotron.

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 10-03-25 à 02:38

3.c) Calcul de la quantité V22-V12

Application de TEC entre les dees :
Ec = W(Fex

Donc \frac {1}{2}m(V_2^2-V_1^2) = qU

Alors V_2^2-V_1^2 =\frac {2qU}{m}

Maintenant, quand je fais l'application numérique, je trouve ceci :

V22- V12 = 7,66.1011 m2.s-2

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 10-03-25 à 03:17

Déduisons-en V32, puis V42

De la relation V_2^2-V_1^2 =\frac {2qU}{m} , on tire : V_2^2 =2.V_1^2

De même
V_3^2-V_2^2 =\frac {2qU}{m}

En remplaçant V22 par son expression, on trouve :

V_3^2 =3.V_1^2

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 10-03-25 à 12:17

D'accord !

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 20-03-25 à 19:55

Alors V4² devient :

V_4^2 =4.V_1^2

Et ainsi de suite.... V_n^2 =n.V_1^2

Question 3.d)

V_1 = \sqrt {\frac {2eU}{m}}

Donc R_1=\frac{1}{B}\sqrt{\frac {2mU}{e}}

Donc on déduit que  R_1=\frac{1}{B}V_1

Ainsi R2 sera    R_2=\frac{1}{B}V_2

En remplaçant V2 par son expression et en arrangeant la relation, je trouve :

R_2 = R_1\sqrt 2

Et aussi R_3 = R_1\sqrt 3

Et ainsi de suite...  R_n = R_1\sqrt n

Calculons n pour Rn = 0,14 m

À partir de la dernière relation,  on a

n = \frac {R_n}{R_1}

Avec  R_1=\frac{1}{B}V_1

D'où    n = \frac {B.R_n}{V_1}

J'ai trouvé n = 1,6.10-7 , résultat qui ne me convient pas du tout

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 20-03-25 à 20:55

Question 3d : à revoir à partir de la troisième ligne.

Posté par
hdiallore : Cyclotron 1 21-03-25 à 15:14

Ohhh merci, j'ai vu l'erreur !
Je retravaille, puis je reviens.

J'étais absent tout ce temps là, j'ai changé de téléphone, maintenant j'utilise un iPhone 12 Pro Max. Quand je tape un code dans l'éditeur de codes LtX puis je l'insère, il m'est impossible de revenir ensuite dans la zone de texte. Je ne sais pas si le cas est général pour tous les iPhone.
Avant j'utilisais un Samsung et c'était vraiment simple et rapide de revenir dans la zone de texte.

Présentement, pour taper une formule dans le LtX, je suis obligé de prendre le téléphone de mon jeune frère.

Y'a-t-il une solution pour ça ?

Posté par
vanoisere : Cyclotron 1 21-03-25 à 15:21

\frac{a}{b}

Pas de problème chez moi. Le problème ne vient pas du site apparemment.


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