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Cyclotron 1

Posté par
hdiallo
06-05-24 à 05:35

Bonjour, aidez-moi svp.
Problème :
On donne : masse du proton m = 1,67.10-27kg ; charge élémentaire e = 1,6.10-19 C ; d = 1 cm ; U = 4000 V.
Un cyclotron est un dispositif constitué de deux demi-cylindres D1 et D2 séparés par une distance très faible d devant leur diamètre. Le tout est placé dans le vide. Un champ magnétique \vec B perpendiculaire au plan de la figure est créé dans D1 et D2. Une source S (Voir croquis) émet des protons dont la vitesse initiale est nulle. Entre les deux demi cylindres (《dees》) et sur la distance d agit un champ électrique uniforme \vec E.
\vec E est constamment nul à l'intérieur des 《dees》. Cyclotron 1 Cyclotron 1

Posté par
vanoise
re : Cyclotron 1 06-05-24 à 10:33

Bonjour
Qu'as-tu réussi à faire pour l'instant ? Qu'est ce qui te bloque ?

Posté par
hdiallo
re : Cyclotron 1 06-05-24 à 11:36

Question 1)
Le Théorème de l'énergie cinétique appliqué sur le proton en mouvement dans le champ électrique donne :

\Delta E_c = \sum{W(\vec F_{ex})}

Seule la force électrique est appliquée, le poids du proton est négligeable.

½mV1² = eU V_1 = \sqrt {\frac {2eU}{m}}

AN : V1 8,75.105 m/s

Posté par
vanoise
re : Cyclotron 1 06-05-24 à 12:04

OK. Pour la suite, il faut démonter que le mouvement est circulaire uniforme. Cela se fait en 4 étapes :
1° : le mouvement est plan (perpendiculaire au vecteur champ magnétique) ;
2° : le mouvement est uniforme ;
3° : le mouvement est circulaire uniforme ;
4° : expression du rayon de trajectoire.

Posté par
hdiallo
re : Cyclotron 1 06-05-24 à 15:53

2.a) Expression du rayon R1
- système : proton de masse m ;
- référentiel : terrestre (supposé galiléen) ;
- bilan des forces : le poids \vec P = m\vec g et la force magnétique \vec F = q\vec V vectoriel \vec B

Je demande le code pour taper le produit vectoriel.

Mais le poids est négligeable devant la force magnétique.

Le TCI donne : \vec a = \frac {q}{m}\vec V vectoriel \vec B    (1)

Soit R(O, \vec i, \vec j, \vec k) un repère orthogonal de projection tel que O\vec k est parallèle à \vec B et de même sens.

Selon la relation (1) : \vec a est perpendiculaire à \vec B, mais \vec B est parallèle à l'axe (Oz), ce qui implique que \vec a est perpendiculaire à (Oz). Donc a_Z = 0

Par intégration successive de aZ, on trouve Z = 0.
La côte Z étant nulle, le mouvement est plan. La trajectoire est située dans le plan XOY.

• la puissance de la force magnétique est : P = \vec F.\vec V= 0  ( car \vec F est perpendiculaire à \vec V

D'autre part, la puissance est : P = \frac {W_{\vec F}}{t}\Rightarrow W_{\vec F}=P.t =0

En appliquant le TEC entre l'instant où la particule pénètre dans le dee D1 et l'instant où elle sort, on obtient : \Delta E_c = 0 \Rightarrow V = V_0 = constante

Le mouvement est donc uniforme.

• selon l'expression du vecteur accélération, \vec a est perpendiculaire au vecteur vitesse \vec V à chaque instant. Donc \vec a est normal. Le mouvement est Circulaire.

Expression du rayon :

\vec a  étant normal, je pose : a = \frac {V²}{R}

En remplaçant a par son expression on trouve enfin :

R = \frac {mV}{qB}

Posté par
vanoise
re : Cyclotron 1 06-05-24 à 16:00

Très bien pour la démonstration !
Sous Tex :
\vec F=q\cdot\vec v \wedge\vec B
donne :

\vec F=q\cdot\vec v \wedge\vec B

Posté par
hdiallo
re : Cyclotron 1 18-05-24 à 02:11

Merci bien.
Maintenant j'écris : R_1 = \frac {mV_1}{qB}
Je remplace V_1 = \sqrt {\frac {2eU}{m}}

Donc R_1=\frac{1}{B}\sqrt{\frac {2mU}{e}}

2.b) Temps de transit du dee D1

Le mouvement dans un dee étant circulaire uniforme, le temps de transition dans un dee est la durée d'un demi-tour. C'est la moitié d'une période (durée d'un tour complet)

\tau = T/2 = \frac {2\pi R_1}{2V_1} = \frac {\pi m}{eB}

AN : = 31,8 ns

Ce temps est trop petit vanoise.

Posté par
vanoise
re : Cyclotron 1 18-05-24 à 11:00

Résultat correct. On applique entre les dees une tension accélératrice de fréquence relativement élevée.

Posté par
hdiallo
re : Cyclotron 1 20-05-24 à 04:34

3.a) le temps de transit dans un temps étant indépendant de la vitesse du proton, je trouve toujours pour le dee 2 :


\tau_2 = T/2 = \frac {2\pi R_1}{2V_1} = \frac {\pi m}{eB}

AN : = 31,8 ns

Posté par
vanoise
re : Cyclotron 1 20-05-24 à 13:27

OK !



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