Voici ma démarche pour la 1ère question
1) Étude du mouvement :
L'abscisse de M est : x = t² - 4t + 9
Sa vitesse à l'instant t est :
Son accélération est
Étudions le signe du produit a.v = 2(2t-4)=0
Soit t = 2 s.

Je fais un tableau de signe puis j'en déduis :
Pour t € [-1 , 2[, le mouvement est retardé ;
Pour t € ]2 , +[, le mouvement est accéléré.
Est-ce vrai jusque là ??

Bonjour,

En effet ton étude est correcte.
Il y manque le diagramme demandé à la question 1

Pour le diagramme, je fais un tableau de valeurs

Voici le diagramme :
J'ai pris l'échelle : sur l'axe des ordonnées 2 cm pour 2 traits ;
Sur l'axe des abscisses 1 carreau pour 1 seconde

OK
Ci dessous la même chose en plus lisible.

Merci.
Maintenant la 2ème question.
Le mobile M' est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse V.
Je pose : X_M'= Vt
Si j'ai compris, le diagramme de ce mouvement est une droite qui passe par l'origine du repère. C'est ça ??

Oui, c'est en effet une droite de pente "V" qui passe par l'origine du repère.

Expliquez moi svp, comment vous avez fait pour représenter ici, avec les outils en bas, votre diagramme. C'est très bien fait !
Sinon, à chaque fois je dois attacher des images de mes diagrammes, svp

Maintenant la question suivante.
Comment faut-il choisir V pour que M' rejoigne M ?
Ma démarche est la suivante :
M' rejoint M s'ils ont même abscisse en ce point, c'est à dire : x_M = x_M'
Donc t² - 4t + 9 = Vt
             t² - (V + 4)t + 9 = 0    (E)
Je passe par Delta

Soit


L'équation E admet une solution si Delta est positif ou nul.
Donc je pose :
Les racines sont -10 et 2. On considère seulement la valeur positive.
Alors, M' rejoint M si
Est-ce vrai jusque là ???

Oui, c'est exact.
Ne pas oublier les unités :
M' rejoint M si V >= 2cm/s

Le diagramme que j'ai posté est une image attachée.

D'accord, merci.
3. On prend V =9/4
Instants et points de rencontre des deux mobiles
Il y'a rencontre si X(M) = X(M')
Donc
Soit 4t² - 25t + 36 = 0
Les racines de cette équation sont les instants de rencontre : t₁ = 0,38 s et t₂ = 5,87 s
En remplaçant dans l'équation horaire de M' ou de M on obtient les points de rencontre :
X₁ = 0,855 cm et X₂ = 13,2 cm.
Est-ce vrai ??

D'accord avec ton équation : 4t² - 25t + 36 = 0
Pas d'accord avec tes solutions t₁ et t₂ de cette équation et par suite avec X₁ et X₂

OK c'est moi qui suis trompé avec l'utilisation de Delta.
Les racines sont t₁ = 2,25 s et t₂ = 4 s
Du coup X₁ = 5,06 cm et X₂ = 9 cm.
C'est bon ??

Oui, c'est bon.
Attention X₁ = 5,06cm est une valeur approchée.
Si la valeur de X₁ doit être  utilisée dans la suite de l'exercice il conviendra d'utiliser sa valeur "exacte"
X₁ = 81/16 = 5,0625 cm

calcul de la vitesse moyenne de M entre ces deux instants:
Par définition
X(2) = (4)² - 4(4) + 9 = 9 cm
X(1) = (2,25)² - 4(2,25) + 9 = 5,0625 cm
t₂-t₁ = 4 - 2,25 = 1,75 s
D'où V_moy = 2,25 cm/s.

Au milieu de l'intervallede temps, la vitesse de M est:
A un instant t quelconque, la vitesse de M est :

Le milieu de cet intervalle de temps est :
Alors V = 2(3,125)-4 = 2,25 cm/s

interprétationgraphique:
Dans un MRUV, la vitesse moy entre deux instants t₁ et t₂ est égale à la vitesse à l'instant (t₁+t₂)/2

C'est bon ??

Merci beaucoup et à la prochaine.
Que Dieu vous paie !