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Cinématique (croisement)
Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour résoudre cet exercice qui me colle ici bien.
Problème
Deux mobiles M1 (le plus rapide) et M2 bougent en même temps (à 8h 30min) respectivement des villes A et B situées le long d'une route rectiligne et horizontale. Ils roulent l'un vers l'autre d'un mouvement uniforme.
Quand le plus rapide atteint le milieu du parcours AB, l'autre est à 48 km ; alors ils croisent 24 minutes plus tard.
Lorsque M2 atteint le milieu du parcours AB, alors 80 km lui sépare de M1.
1) Déterminer les vitesses V1 et V2 (en km/h) de M1 et M2.
2) Calculer (en km) la distance AB.
3) Déterminer les heures d'arrivées à destination de chaque mobile.
Bonsoir,
Il faut definir un axe (O,x) pour reperer A, B , M1 et M2, puis ecrire les equations horaires de M1 et M2 en fct des inconnues: v1, v2 et d=AB
Ensuite, il faut ecrire les relations entre les inconnues traduisant les contraintes concernant le mouvement des voitures (et qui sont indiquees dans l'énoncé), ce qui donne 3 equations pour 3 inconnues...
D'accord, voici ma proposition d'abord.
Soit C le milieu du segment [AB].
Je pose AC = CB = d, alors AB = 2d
Prenons pour origine des espaces le point de départ de chaque mobile et pour origine des temps l'instant de ce départ.
À t=0, M1 est en A et M2 en B.
• M1 est au milieu et M2 est à 48 km du milieu (Voir figure 1) :
Soit t la durée du mouvement. Les équations horaires sont :
x1 = v1t et x2 = v2t
Alors (avec x1=d et x2=d-48)
Donc (équation 1)
• M1 et M2 se rencontrent 24 min plus tard :
Je convertis : 24 min = ⅖ heure.
Il s'agit d'un croisement qui dure ⅖h. Donc :
x1 = v1.⅖ et x2 = v2.⅖
x1 + x2 = ⅖(v1 + v2) Avec x1 + x2 = 48 km
Alors 48 = ⅖(v1 + v2)
Donc (équation 2)
• M2 est au milieu et M1 est à 80 km de M2 (Voir figure 2)
Soit 
la durée du mouvement. Les distances parcourues par M1 et M2 sont :
x1 = v1 et x2 = v2
Le rapport des distances est : (avec x1=d+80 et x2=d)
Donc (équation 3)
Je combine les équations (1) et (3) et je tire la distance d. Je trouve d = 120 km.
Dans l'équation (3), je remplace d par sa valeur et j'obtiens une nouvelle équation :
(équation 4)
En fin, je combine les équations 2 et 4 puis je tire v1 et v2. Je trouve :
v1 = 75 km/h et v2 = 45 km/h
C'est trop long, je ne sais pas si mes raisonnements sont corrects.
Oui, on peut raisonner comme tu le fais.
Qqes remarques:
D'accord, voici ma proposition d'abord.
Soit C le milieu du segment [AB].
Je pose AC = CB = d, alors AB = 2d
Prenons pour origine des espaces le point de départ de chaque mobile et pour origine des temps l'instant de ce départ.
À t=0, M1 est en A et M2 en B.
Il manque un dessin pour bien preciser le parametrage, et il faut aussi orienter les axes (cf croquis) meme si, ici, x1 et x2 sont tjs positifs.
[...]
• M1 et M2 se rencontrent 24 min plus tard :
Je convertis : 24 min = ⅖ heure.
Il s'agit d'un croisement qui dure ⅖h. Donc :
x1 = v1.⅖ et x2 = v2.⅖
Attention! Tu as changé le parametrage sans le dire. Il faut bien redefinir x1 et x2 sinon on risque de ne pas comprendre ce que tu ecris.
C'est trop long, je ne sais pas si mes raisonnements sont corrects.
C'est long mais ce n'est pas un probleme, car l'exo est loin d'etre trivial
Merci.
Y'a-t-il une méthode plus courte et simple ?
Question 2) : la distance AB est : AB = 2d
Je trouve : AB = 2 * 120 = 240 km
Question 3) : heure d'arrivée à destination pour chaque mobile.
Je calcule d'abord la durée du trajet AB pour chaque mobile que j'ajoute ensuite à l'heure de départ (8h30') pour trouver les heures d'arrivées à destination.
• Pour le mobile M1
AB = v1t1 
t1 = AB/v1 = 240/75 = 3,2 h = 3h12'
Son heure d'arrivée à destination est :
T1 = To + t1 = 8h30' + 3h12' = 11h42'
Donc T1 = 11 h 42 min
• pour le mobile M2 :
AB = v2t2 t2=AB/v2 = 240/45 = 16/3 h = 5h18'
Son heure d'arrivée à destination est :
T2 = To + t2 = 8h30' + 5h18'
Je trouve T2 = 13 h 48 min
Merci.
Y'a-t-il une méthode plus courte et simple ?
Non, je ne pense pas.
Tu peux essayer la methode "purement" algebrique avec un seul axe (A,x) orienté de A vers B et en ecrivant:
x1= v1 t
x2 = 2d - v2 t
puis en ecrivant les 3 conditions donnees, mais il y a aussi des calculs...
Question 2) : la distance AB est : AB = 2d
Je trouve : AB = 2 * 120 = 240 km
Oui
Question 3) : heure d'arrivée à destination pour chaque mobile.
Je calcule d'abord la durée du trajet AB pour chaque mobile que j'ajoute ensuite à l'heure de départ (8h30') pour trouver les heures d'arrivées à destination.
Oui
• pour le mobile M2 :
AB = v2t2
t2=AB/v2 = 240/45 = 16/3 h = 5h18'
1/3 h = .... min
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