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Chute parabolique

Posté par
fille_59 03-05-10 à 20:06

Bonjour,
pourrais-je avoir un peu d'aide pour commencer cet exercice s'il vous plaît??

Dans ce problème, on étudie un service au tennis, on considère la balle comme objet ponctuel et la résistance de l'air est négligée.

Le joueur frappe la balle avec sa raquette quand elle atteint son altitude maximale: celle ci part alors avec un vecteur vitesse v1 horizontal. Le joueur souhaite que la balle passe 10 cm au dessus du filet situé à 12m du pt de service et dont la hauteur vaut 90 cm.

1. Etudier le mouvement de la balle dans le repère (O;ox;oz) dessiné sur la figure, l'instant où la balle quitte le point B est choisi comme origine des temps. Quelle est la nature de la trajectoire?

Je n'arrive pas du tout à démarrer...

Chute parabolique

Posté par re : Chute parabolique 03-05-10 à 22:41

Bonsoir,

Système étudié : {balle de tennis}

Référentiel : terrestre considéré galiléen

$\vec{v_1}$ a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) :

$3$\vec{v_1}\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ v_1x=v_1 \\ \\ v_1z=0 \\ \end{array} \\ \right.$

Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (balle en chute libre) donc :

$3$\Bigsum\vec{F_{ext}}=\vec{P}$

Seconde loi de Newton :

$3$\Bigsum\vec{F_{ext}}=\vec{P}\Leftrightarrow m\vec{g}=m\vec{a_G}\Leftrightarrow\fbox{a_G=g}$

Par projection sur les 3 axes du repère (O; Ox, Oz), les 3 équations différentielles du mouvement :

$3$\vec{a_G}\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ a_Gx=\frac{dv_x}{dt}=0 \\ \\ a_Gz=\frac{dv_z}{dt}=-g \\ \end{array} \\ \right.$

Intégration :

$3$\vec{v_G}\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ v_Gx=k_1 \\ \\ v_Gz=-gt+k_2 \\ \end{array} \\ \right.$

Où $k_1$ et $k_2$ sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

à $t=0$ $v_Gx(0)=v_1$ d'où $k_1=v_1$
à $t=0$ $v_Gz(0)=0$ d'où $k_2=0$

$3$\vec{v_G}\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ v_Gx=v_1 \\ \\ v_Gz=-gt \\ \end{array} \\ \right.$

Intégration :

$3$\vec{OG}\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ x=v_1t+k_3 \\ \\ z=-\frac{1}{2}gt^2+k_4 \\ \end{array} \\ \right.$

à $t=0$ $x(0)=0$ d'où $k_3=0$
à $t=0$ $z(0)=OB$ d'où $k_4=OB$ (longueur)

On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :

$4$\fbox{\vec{OG}\left\{ \\ \begin{array}{ll} \\ x=v_1t \\ \\ z=-\frac{1}{2}gt^2+OB \\ \end{array} \\ \right.}$

Le mouvement est donc composé de :

- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante $v_1$ sur (Ox)
- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale nulle sur (Oz).

Équation de la trajectoire :

On a :

$3$x=v_1t \\ z=-\frac{1}{2}gt^2+OB$

d'où : $t=\frac{x}{v_1}$

$3$\fbox{z(x)=-\frac{g}{2{v_1}^2}x^2+OB}$

La trajectoire est donc une demi-parabole.

Voilà _{sauf erreur bien entendu...}

Posté par re : Chute parabolique 04-05-10 à 17:59

Merci beaucoup =)

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