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chute libre dans le champs de pesanteur terrestre

Posté par
coeurtis 29-05-10 à 21:14

Bonjour...
svp je suis entrain de me préparer pour un concours et je suis tombe sur une épreuve antérieur de physique et qui me coince et dont je vous serai gré de bien vouloir m'aider: voici l'énonce

    un corps s parachute, de masse constante m effectue un mouvement de chute libre, suivant l'axe vertical descendant (O,x), en subissant une force de freinage F=-kv, proportionnelle a la vitesse v (ou k est un réel positif, est le coefficient de forme).
on suppose que l'intensité de la pesanteur terrestre g est uniforme dans toute la région ou se déroule la chute

1- en appliquant la relation fondamentale de la dynamique a  établir l'équation différentielle a laquelle obéit la vitesse v(t) du corps en mouvement.En déduire la vitesse limite.
2-en supposant que la vitesse initiale est nulle a l'origine du mouvement au point O
a-déterminer la loi d'évolution de la vitesse, v(t), en fonction de m,g,k,t.
b-en déduire l'expression de la loi horaire du mouvement x(t) du corps S en fonction de mg,k, et t
3-[/u]application numérique[u]: on donne g= 10m/s2, m=25kg et k=10N.s/m
a-calculer la vitesse limite atteinte par le corps dans son mouvement de chute?
b-déterminer la position du corps par rapport a l'origine du mouvement a la date t=10s

Posté par
masterrrre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 29-05-10 à 22:41

Bonjour,

Déjà l'énoncé est faux... Il ne s'agit pas d'une "chute libre". Par définition, on ne prend en compte que l'influence de la pesanteur lors d'une chute libre. Alors qu'ici on considère également une force de freinage. Bref, c'est simplement un problème de vocabulaire.

1. Que fournit la relation fondamentale de la dynamique ?

Posté par
masterrrre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 29-05-10 à 23:21

1. Le corps est soumis à son poids 3$ \vec{P}=m\vec{g} et à une force de freinage 3$ \vec{F}=-k\vec{v}(t).

La relation fondamentale de la dynamique (aussi appelée deuxième loi de Newton) s'écrit 3$ m\frac{d\vec{v}}{dt}=m\vec{g}-k\vec{v}(t), ou encore 3$ \frac{d\vec{v}}{dt}+\frac{k}{m}\vec{v}(t)=\vec{g}. En projetant cette équation vectorielle sur 3$ (Ox), on obtient 3$ \fbox{\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v=g}.

Lorsque le corps atteint sa vitesse limite, 3$ v(t)=v_{\text{lim}} (qui est une constante) donc 3$ \frac{dv}{dt}=0 et la relation fondamentale de la dynamique devient 3$ 0+\frac{k}{m}v_{\text{lim}}=g, d'où 3$ \fbox{v_{\text{lim}}=\frac{mg}{k}}.

2.a. À la question 1, on a obtient la relation 3$ \fbox{\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v(t)=g}. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et avec second membre vérifiée par 3$ v. Cette équation différentielle est de la forme 3$ y^'+ay=b avec 3$ y=v, a=\frac{k}{m} et 3$ b=g.

Les solutions de cette équation différentielle sont donc de la forme 3$ y(t)=A\exp(-at)+\frac{b}{a} où 3$ A est une constante. Ici, cela donne donc 3$ v(t)=A\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{mg}{k}.

Or la vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire 3$ v(0)=0, d'où 3$ v(0)=A\exp(0)+\frac{mg}{k}=A+\frac{mg}{k} donc 3$ A=-\frac{mg}{k}.

Il vient donc 3$ v(t)=-\frac{mg}{k}\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{mg}{k}, soit 3$ \fbox{v(t)=\frac{mg}{k}\left(1-\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)\right)}.

2.b. On a 3$ v(t)=\frac{dx}{dt}. On obtient donc la position 3$ x en intégrant la vitesse 3$ v. Or 3$ v(t)=-\frac{mg}{k}\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{mg}{k}, d'où 3$ x(t)=-\frac{m}{k}\left(-\frac{k}{m}\right)\exp\left(-\frac{mg}{k}t\right)+\frac{mg}{k}t+B.

Or à l'origine le corps est au point 3$ O, c'est-à-dire 3$ x(0)=0. Donc 3$ x(0)=\frac{m^2g}{k^2}+B=0, d'où 3$ B=-\frac{m^2g}{k^2}.

Il vient donc 3$ x(t)=\frac{m^2g}{k^2}\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{mg}{k}t-\frac{m^2g}{k^2}, ou encore 3$ \fbox{x(t)=\frac{m^2g}{k^2}\left(\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{k}{m}+1\right)}.

3.a. Numériquement, il vient 3$ v_{\text{lim}}=\frac{mg}{k}=\underline{25\text{m.s}^{-1}}.

3.b. Numériquement, il vient 3$ x(t=10\text{s})=\frac{m^2g}{k^2}\left(\exp\left(-\frac{k}{m}\times 10\right)+\frac{k}{m}+1\right)=\underline{19.10^1\text{m}}.

Sauf erreur

Posté par
masterrrre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 29-05-10 à 23:26

Oups, j'ai mal tapé quelques lignes à partie de la 2.b. Voilà la correction de la fin de mon message précédent.

2.b. On a 3$ v(t)=\frac{dx}{dt}. On obtient donc la position 3$ x en intégrant la vitesse 3$ v. Or 3$ v(t)=-\frac{mg}{k}\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{mg}{k}, d'où 3$ x(t)=-\frac{m}{k}\left(-\frac{k}{m}\right)\exp\left(-\frac{mg}{k}t\right)+\frac{mg}{k}t+B.

Or à l'origine le corps est au point 3$ O, c'est-à-dire 3$ x(0)=0. Donc 3$ x(0)=\frac{m^2g}{k^2}+B=0, d'où 3$ B=-\frac{m^2g}{k^2}.

Il vient donc 3$ x(t)=\frac{m^2g}{k^2}\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{mg}{k}t-\frac{m^2g}{k^2}, ou encore 3$ \fbox{x(t)=\frac{m^2g}{k^2}\left(\exp\left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{k}{m}t-1\right)}.

3.a. Numériquement, il vient 3$ v_{\text{lim}}=\frac{mg}{k}=\underline{25\text{m.s}^{-1}}.

3.b. Numériquement, il vient 3$ x(t=10\text{s})=\frac{m^2g}{k^2}\left(\exp\left(-\frac{k}{m}\times 10\right)+\frac{k}{m}\times 10-1\right)=\underline{19.10^1\text{m}}.

Posté par
coeurtisre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 14:54

merci bcp je suis entrain de comprendre le procédé je t'en dirais....c'est vrai que ecrit chute libre meme moi je sait que c'est pas correct sauf que j'ai voulu recopier l'integralite de l'exercice
a tout a l'heure

Posté par
nutsdzre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 15:24

Bonjour,
Il y a quelque chose qui me chagrine pour la question 1.
Pas de problème pour établir l'équation différentielle, mais je ne vois pas comment à partir de cette seule équa. diff. (sans avoir la solution donc) on peut savoir que la vitesse du corps va atteindre une valeur limite ??
Si on pose cela comme une hypothèse, je suis entièrement d'accord avec le raisonnement de masterr et son résultat (confirmé par la solution v(t)). C'est le terme "en déduire" qui me gène.
Quelqu'un peut éclairer ma lanterne ?
Bonne journée,

Posté par
masterrrre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 15:32

Bonjour nutsdz,

Les frottements sont des forces dissipatives. Il y a donc dissipation d'énergie. La vitesse du corps ne peut donc pas tendre vers l'infini, mais atteint une valeur limite (contrairement au cas de la chute libre, qui de toute façon est une situation idéale et donc irréaliste).

Posté par
masterrrre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 15:42

Au fait, coeurtis, tu prépares quel concours ?

Posté par
nutsdzre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 15:44

OK, ça me convainc "à moitié" !! D'après moi, pas besoin d'établir l'équa. diff. pour cela, il faut "seulement" réfléchir à ce qui se passe physiquement...
Je sais que je cherche la petite bête, et que tout cela sort du cadre du programme de terminal. C'est juste que pour moi, ce résultat ne se déduit pas de l'équa. diff.  
Encore merci en tout cas.
Bonne journée,

Posté par
masterrrre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 16:14

Ah d'accord, je comprends ce que tu veux dire.

Néanmoins, et sans vouloir défendre la personne qui a écrit cet énoncé, il n'est pas demandé "en déduire qu'il existe une vitesse limite" mais "en déduire la vitesse limite".

Le fait qu'il existe une vitesse limite est justifiée par les frottements, mais son expression est bien déduite du principe fondamentale de la dynamique.

Tu comprends ?

Posté par
masterrrre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 16:16

Ben physiquement, il arrive un moment où les frottements compensent exactement le poids. Et le corps est donc en mouvement rectiligne uniforme

Posté par
nutsdzre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 17:46

oui oui oui, mea culpa... Quand on veut pinailler, il faut être très rigoureux et sûr de soi... Au temps pour moi sur ce coup là, pas d'ambiguïté mais une mauvaise lecture de l'énoncé !!!
Merci pour cet éclaircissement "hors sujet".

Posté par
masterrrre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 17:51

Ce n'est rien ! Il arrive fréquemment que les énoncés soient mal posés. Bon, pas ce coup-ci d'accord...

Au passage, comme ça fait plusieurs fois que tu réagis avec moi dans des topics, es-tu étudiant ? (quel niveau ?) Simple question de curiosité

Posté par
nutsdzre : chute libre dans le champs de pesanteur terrestre 30-05-10 à 18:50

Heu oui et non pour l'étudiant...
Je ne pense pas que ce soit vraiment très intéressant pour cette discussion de t'en dire plus ici...
Je ne trouve pas le moyen de te contacter "en privé" ??
Si tu veux, écris moi à cette adresse, je me ferais un plaisir de te détailler mon profil
nutsdz A gmail POINT com

Bonne journée,


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