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Champs de pesanteur variable

Posté par
Khola22 02-07-21 à 23:12

Bonjour.
Je vous prie  de m'aider avec cette énoncée :

Citation :

Un point matériel M de masse m est lâché sans vitesse initiale d'une hauter h. On suppose que les frottements sont négligeables. Le champs de pesanteur se met sous la forme suivante : g(z) = g0R2/( R-z)2 avec R le rayon de la terre et z l'altitude du point M. Quelle est la durée suffisante pour l'arrivée du point M au sol ?


Après le bilan de forces qui ne comprend que le poids, j'ai appliqué la 2e loi de Newton, j'ai alors : ( a l'accélération )

a = d2z / dt2 = g(z)

J'essaie de retrouver z ou vz avec des intégrales mais je me suis perdue entre les variables : j'intègre par t ou par z ?

Merci.

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 03-07-21 à 08:06

Bonjour,

\dfrac{d^2z}{dt^2}=g(z)

z{''}=g(z)

la méthode consiste à multiplier les 2 membres par z{'}

z{'}\dfrac{dz{'}}{dt}=g(z)\dfrac{dz}{dt}

z{'}dz{'}=g(z)dz équation à variables z{'} et z séparables

en en remplaçant g(z) par sa valeur  et en primitivant

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{g(z)} dz\end{aligned}+C


z{'}=... d'où \dfrac{dz}{dt}=...  soit  z=...

je suppose que tu as étudié la méthode en cours...

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 03-07-21 à 08:15

je viens de me rendre compte que tu es en terminale.

c'est possible de résoudre une telle équation différentielle en terminale

Posté par
Khola22re : Champs de pesanteur variable 03-07-21 à 10:00

Pirho @ 03-07-2021 à 08:15

je viens de me rendre compte que tu es en terminale.

c'est possible de résoudre une telle équation différentielle en terminale


Bonjour.  C'est vrai qu'on a eu dans le programme le cours des équations différentielles, mais on avait seulement les équations de type : y' = ay +b
Et ay" + by' + cy =0 .

Pirho Merci pour votre réponse

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 03-07-21 à 11:17

de rien

ok ; mais ici tu as a une fonction de y au lieu d'une constante multipliée par y

si tu as le temps dis-nous comment vous avez résolu l'équation

merci d'avance

Posté par
Khola22re : Champs de pesanteur variable 03-07-21 à 12:39

Bonjour Pirho,
En suivant ce que vous aviez indiqué, j'ai trouvé :

z'^{2}=-2g_{0}R^{2}(\frac{1}{R+z}-\frac{1}{R+h}) .

J'ai trouvé la constante en se référant aux conditions initiales : z0 = h et v0= 0.

Le problème se pose du fait que j'ai besoin d'une durée, et pour trouver l'expression de z, j'ai besoin de résoudre l'équation différentielle si-dessus, cependant je n'ai pas d'outils pour cela. Pourriez vous m'aidez svp.

Je pense à intégrer et poser dans les bornes 0 et h, mais cela ne me donnera qu'une distance, n'est ce pas ?

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 03-07-21 à 17:53

il y a un petite coquille dans ce que j'ai écrit

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{g(z)} dz\end{aligned}+C le +C n'existe pas

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{\dfrac{g_0\, R^2}{(R-z)^2}dz\end{aligned} \\

montre un peu tes calculs pour trouver z{'}   ,à partir de la ligne précédente

Posté par
Khola22re : Champs de pesanteur variable 05-07-21 à 13:28

Bonjour Pirho,
quand j'arrive à l'étape juste après la multiplication par z', c'est ce que je fais :

z' \frac{dz'}{dt}=g_{0}\frac{R^{2}}{(R+z)^{2}}z'

et j'intègre directement, ce qui me donne :

\frac{1}{2}z'^{2}=-g_{0}\frac{R^{2}}{R+z}.

Mais je pense que cela n'est pas ce que vous aviez indiqué, en suivant cela

Pirho @ 03-07-2021 à 17:53

il y a un petite coquille dans ce que j'ai écrit

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{g(z)} dz\end{aligned}+C le +C n'existe pas

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{\dfrac{g_0\, R^2}{(R-z)^2}dz\end{aligned} \\

montre un peu tes calculs pour trouver z{'}   ,à partir de la ligne précédente



je n'arrive pas à trouver z', et franchement, je me suis perdue.

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 05-07-21 à 16:16

en partant de

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{\dfrac{g_0\, R^2}{(R-z)^2}dz\end{aligned}

z{'}^2=2\begin{aligned}\int{\dfrac{g_0\, R^2}{(R-z)^2}dz\end{aligned} \\

tu calcules une primitive du second membre, tu prends la racine de ton résultat

tu tiens compte de z{'}(0)=0,~~z(0)=h

ce qui te permettra d'éliminer la constante que tu as trouvée dans le calcul

tu modifies le radicande en remplaçant la constante par sa valeur

et tu continues en sachant que \dfrac{dz}{dt}=... expression trouvée

P.S. : j'ai quand même du mal à croire que ton prof t'a donné un exercice tel que celui-ci alors que tu étudies en terminale.

Tu vas obtenir toute à la fin une expression qui je crois tu ne peux calculer avec la matière vue en math

Posté par
Khola22re : Champs de pesanteur variable 05-07-21 à 17:07

Khola22 @ 05-07-2021 à 13:28

Bonjour Pirho,
quand j'arrive à l'étape juste après la multiplication par z', c'est ce que je fais :

z' \frac{dz'}{dt}=g_{0}\frac{R^{2}}{(R+z)^{2}}z'

et j'intègre directement, ce qui me donne :

\frac{1}{2}z'^{2}=-g_{0}\frac{R^{2}}{R+z}.

Mais je pense que cela n'est pas ce que vous aviez indiqué, en suivant cela
Pirho @ 03-07-2021 à 17:53

il y a un petite coquille dans ce que j'ai écrit

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{g(z)} dz\end{aligned}+C le +C n'existe pas

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{\dfrac{g_0\, R^2}{(R-z)^2}dz\end{aligned} \\

montre un peu tes calculs pour trouver z{'}   ,à partir de la ligne précédente



je n'arrive pas à trouver z', et franchement, je me suis perdue.


Bonjour,
n'est ce pas le résultat que j'ai écrit dans la 5e ligne ?

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 05-07-21 à 18:13

attention déjà au départ ton dénominateur est faux ; c'est (R-z)^2 donc forcément ce qui suit est faux aussi

\dfrac{1}{2}z{'}^2=\begin{aligned}\int{\dfrac{g_0\, R^2}{(R-z)^2}dz\end{aligned}

z{'}^2=2\begin{aligned}\int{\dfrac{g_0\, R^2}{(R-z)^2}dz\end{aligned} \\

z{'}^2=...+2\,C_1 ensuite z{'}=\sqrt{...+2\,C_1}

on tient compte des conditions initiales pour trouver C_1

on remplace et on poursuit le calcul

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 06-07-21 à 06:52

en relisant ton énoncé, je me pose une question:

as-tu bien choisi l'axe des z vers le haut?, dans l'affirmative

\dfrac{d^2z}{dt^2}=\textcolor{red}{-}g(z)

\dfrac{d^2z}{dt^2}=-\dfrac{g_0\, R^2}{(R-z)^2}

on a bien  z(0)=h, z{'}(0)=0

Posté par
krinn Correcteurre : Champs de pesanteur variable 06-07-21 à 10:48

Bonjour,

L'énoncé est curieux (ou mal recopié ).
Si l'axe (O,z) est la verticale ascendante, g(z) = goR2/(R+z)2
(la pesanteur décroit avec l'altitude)

et effectivement: z" = - g(z)

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 06-07-21 à 11:49

Bonjour krinn

effectivement ça m'a échappé, merci

que penses-tu de ce type d'exercice donné en terminale?

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 06-07-21 à 12:00

après correction

\dfrac{d^2z}{dt^2}=-\dfrac{g_0\, R^2}{(R+z)^2}

on a bien  z(0)=h, z{'}(0)=0

Posté par
krinn Correcteurre : Champs de pesanteur variable 06-07-21 à 13:56

En France , cette equa. diff. est hors programme au lycee.

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 06-07-21 à 14:06

krinn @ 06-07-2021 à 13:56

En France , cette equa. diff. est hors programme au lycee.


je m'en doutais, mais merci!

Posté par
krinn Correcteurre : Champs de pesanteur variable 06-07-21 à 14:12

Khola est peut etre dans un pays où c'est au programme, qui sait?

Posté par
krinn Correcteurre : Champs de pesanteur variable 07-07-21 à 16:43

bonjour à tous,

Citation :
En suivant ce que vous aviez indiqué, j'ai trouvé :

z'^{2}=-2g_{0}R^{2}(\frac{1}{R+z}-\frac{1}{R+h}) . \\
J'ai trouvé la constante en se référant aux conditions initiales : z0 = h et v0= 0.


oui, c'est ca au signe près, puisqu'il faut partir de z" = -g(z) et non pas z" = g(z), comme l'a indiqué Pirho, si on oriente (Oz) positivement vers le haut.

donc:

z'^{2}= +2g_{0}R^{2}(\frac{1}{R+z}-\frac{1}{R+h}) .

z' = dz/dt = - \sqrt{2g_{0}R^{2}(\frac{1}{R+z}-\frac{1}{R+h}) }

ce qui peut se mettre sous la forme:

dz/dt = -K \sqrt{\frac{h - z}{R+z} avec K = cste

ou encore :

dz \sqrt{\frac{h - z}{R+z} = -K dt

c'est une équation diff. à variable séparable inaccessible à un lycéen (et s'il y a une solution analytique, elle ne doit pas être simple).

Même en faisant l'approximation: z << R (donc R + z R ) - donc en limitant l'altitude de départ -
je ne vois pas comment un élève de terminale peut résoudre ceci.

D'où vient cet énoncé ?

Posté par
Pirhore : Champs de pesanteur variable 08-07-21 à 06:48

@krinn : oui j'arrive à la même chose que toi

en posant  \sqrt{\dfrac{h-z}{R+z}}=u, il vient

\sqrt{\dfrac{h-z}{R+z}}dz=-\dfrac{2(R+h)u^2}{(u^2+1)^2}}du

en développant, on trouve -2(h+R)(u-arctan(u))

je poursuivrai le développement si Kola22 revient vers nous


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