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Bille réfléchissante (réflexion/réfraction)
Bonjour,
J'essaie de m'entrainer sur un exercice mais je bloque totaltement à partir de la seconde question, voici l'énnoncé :
Certains panneaux routiers utilisent des billes réfléchissantes pour que leurs inscriptions apparaissent lumineuses à la lueur des phares.
On cherche à modéliser ce dispositif (voir schéma). On considère une sphère de rayon R de verre d'indice n frappé par un rayon lumineux incident parallèle à un axe de la bille et situé à
une distance h de cet axe. On se placera dans tout l'exercice dans le cadre de l'approximation de Gauss, ce qui correspond à un angle d'incidence i petit : teta<<1, cos(teta)~1, sin(teta)~0 et tan(teta)~0.
1) Exprimer l'angle d'incidence i en fonction de R et h dans l'approximation des petits angles.
J'ai fait sin (i) = i = h/R (en considération géométrique du schéma).
2) En déduire l'expression des angles r, α et β en fonction de R, h et n.
Pour r, on utilise la formule de réfraction avec n1.sin(i1)=n2.sin(i2) avec ici n1 = 1 (air) soit :
1.sin(i) = n.sin(r) <=> i = n x r <=> h/r = n x r <=> r = h/(R x n)
Par contre pour α et β, je ne vois pas comment faire. Et par la suite je suis bloqué.
3) Déterminer la distance h' de l'axe à laquelle le rayon lumineux frappe la deuxième face de la bille ; en déduire la valeur de n permettant d'avoir h' = 0.
J'ai quand même essayé de commencer cette question en faisant : tan β = β = h'/R soit h' = R x β
4) En I', une couche de matériau réfléchissant provoque la réflexion du rayon lumineux.
Faire, dans le cas où h' = 0, un schéma de la trajectoire du rayon lumineux depuis son entrée dans la bille en I jusqu'à sa sortie
Bonjour milobil,
attention à ne pas confondre r (angle de réfraction en I) et R (rayon de la boule). Tes expressions sont correctes mais il faut écrire sini = h/R et sinr = sini/n = h/(nR).
En supposant les angles petits (supposition douteuse à mon avis, car on peut très bien avoir h proche de R, ce qui donne un angle i proche de 
/2, mais passons), on obtient i = h/R et r = h/(nR). Jusque là tout va bien.
Pour l'angle 
, pas de difficulté : il suffit de remarquer que le triangle IOI' est isocèle, donc = - 2r (la somme des angles d'un triangle vaut 180 degrés... tout bêtement !).
Quant à l'angle 
, il faut partir de l'axe de ton schéma et retrancher : = - i - (j'ai tourné dans le sens antitrigo). Ce qui donne = 2r - i en remplaçant par l'expression précédente.
Passons maintenant à l'expression des angles en cas d'angles petits : = 2h/(nR) - h/R, soit (h/R).(2/n - 1). OK ?
la hauteur h' se calcule comme h : h' = OI'.sin = R.sin. Pour avoir h' = 0, il faut nécessairement que sin soit nul, donc aussi. Donc cela conduit à 2/n - 1 = 0 soit n = 2.
D'un point de vue commercial ce n'est pas très intéressant car les matériaux pouvant atteindre des valeurs aussi élevées ne sont pas nombreux, et ce sont pas non plus les moins chers : clique sur la maison, 
.
En supposant levées les contradictions soulevées ci-dessus, la question 4 est facile : le rayon incident arrivant sous un angle i faible donne un réfracté qui arrive sur la face opposée de la bille en I', il se réfléchit donc sur la couche argentée et repart vers la gauche en faisant avec l'axe de la figure un angle de réflexion égal à son angle d'incidence. Il suit donc un trajet identique au rayon incident, mais tracé en-dessous de l'axe, et ressort de la boule parallèlement à l'axe.
Si tu as des questions n'hésite pas.
J'y ai pensé mais je ne vois pas comment avancer avec ca :
IOI' est isocèle soit : 180 = α + 2r <=> α = 2 x (h/rxn) - 180 avec α en degrés)
Et β = 180 - (α + i) <=> β = 180 - 2 x (h/rxn) + 180 - h/R <=> - 2 x (h/rxn) - h/R
Ah bonjour Priam,
en tapant ma réponse je n'ai pas vu que tu avais déjà répondu avant moi. J'ai répondu en détail car je trouve cet exercice un peu surréaliste, et d'autant plus difficile que les dioptres et miroirs sphériques ne sont pas au programme de terminale. Il y a des exos plus simples...
PS : je suis sur le forum depuis 13h, donc j'abandonne le combat pour cause de lassitude... Priam répondra sûrement à tes autres questions. A bientôt.
Merci de votre aide.
J'ai tout compris à part cette ligne :
Passons maintenant à l'expression des angles en cas d'angles petits : = 2h/(nR) - h/R, soit (h/R).(2/n - 1).
Je ne parviens pas à comprendre comment on aboutit à ce résultat : (h/R).(2/n - 1)
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