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3e loi de Kepler.

Posté par
kamikaz 21-01-21 à 22:55

Bonsoir ,

Merci d'avance.

On considère une planète de masse m en mouvement circulaire uniforme autour du soleil de masse M.

1) Donner l'expression de la troisième loi de Kepler.

2) Montrer en utilisant cette loi , que le mouvement de la planète autour du soleil implique que cette planète est soumise à une force en \dfrac{1}{r²}.

Réponses

1) D'après la troisième loi de Kepler , le carré de la période T de révolution est proportionnelle au cube de la distance r au soleil.

\dfrac{T²}{r^{3}}=\dfrac{4\pi}{GM}

2) Je n'y arrive pas..

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 21-01-21 à 23:26

Bonsoir
Il faut utiliser la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel héliocentrique en se souvenant de l'expression de l'accélération d'un point animé d'un mouvement circulaire uniforme. Revois si nécessaire ton cours sur ce sujet...
Je te laisse réfléchir et proposer une solution.

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 21-01-21 à 23:29

Le problème est que je ne comprends pas vraiment la question posée..

Posté par
gbm Webmasterre : 3e loi de Kepler. 22-01-21 à 06:09

Bonjour à vous deux,

@ kamikaz : si on s'implique depuis fin 2019 pour remettre à jour les fiches du lycée de l', c'est pour qu'elles servent : Mouvement dans un champ de gravitation

Je vous laisse poursuivre, bonne journée,

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 22-01-21 à 12:37

Citation :
Le problème est que je ne comprends pas vraiment la question posée

Tiens compte de mon message du 21-01-21 à 23:26 en notant tout simplement F l'intensité de la force gravitationnelle. Tu devrais, en utilisant le raisonnement que j'ai proposé, arriver à quelque chose de la forme :

F=\frac{k}{r^2}
où k est une constante à déterminer.

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 12:27

F=mg=mG×\dfrac{M}{r²}

Avec g : la valeur du champ gravitationnelle à la surface du soleil.

F=\dfrac{mMG}{r²}

==> r²×F=mMG

==> r²=\dfrac{mMG}{F}

D'après la 3e loi de Kepler ,  \dfrac{T²}{r^{3}}=\dfrac{4\pi}{GM}

==> \dfrac{T²}{r×\dfrac{mMG}{F}}=\dfrac{4\pi}{GM}

==> F=\dfrac{4\pi×m×r}{T²}

Or T²=\dfrac{4\pi×r³}{GM}

Donc F=\dfrac{4\pimr}{\dfrac{4\pi ×r³}{GM}}

Est ce que c'est la bonne voie ?

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 12:41

Non : tu utilises d'entrée la loi de Newton sur la gravitation or, justement, on demande ici de la retrouver à partir de la troisième loi de Kepler.
Comme déjà dit, il faut noter F la force gravitationnelle sans faire d'hypothèse sur son expression. Tu appliques alors la relation fondamentale de la dynamique. Ce qui te manque pour l'instant pour aboutir : c'est l'expression de l'accélération dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme. C'est un grand classique du cours. Si tu as oublié : elle est rappelée sur la fiche indiquée par gbm dans le paragraphe concernant la démonstration de la troisième loi de Képler pour un mouvement circulaire uniforme. Mais attention, le raisonnement demandé n'est pas du tout celui de la fiche : sur la fiche, on part de la loi sur la gravitation pour démontrer la loi de Kepler. Ici, il faut partir de la loi de Kepler pour retrouver la loi sur la gravitation.

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 12:59

\dfrac{T²}{r³}=\dfrac{4\pi²}{GM}.

Et l'accélération a=r×\dfrac{GM}{r³}

Je ne vois pas vraiment comment intervient a ici..

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 14:07

Tu n'as pas compris mon message précédent. Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est égale à l'accélération normale centripète dont la norme est :

a=\dfrac{v^{2}}{r}

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 14:12

Ok , comment faire intervenir cette accélération ici ?

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 14:35

Applique la relation fondamentale de la dynamique : tu vas obtenir une relation entre m, v, r et F.
Reporte l'expression de v ainsi obtenue dans la loi de Kepler et tu vas obtenir l'expression de F.

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 14:48

Ok

F = m a

F= m × \dfrac{v²}{r}

v : la vitesse de rotation du soleil et r le rayon du soleil.

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 14:58

C'est un début. Ensuite, quelle est la relation simple entre T, v et r ?

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 15:39

Je ne vois pas vraiment..

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 16:02

Le mouvement étant uniforme, la période est la distance parcourue en un tour sur la durée d'un tour (la période).

T=\frac{2.\pi.r}{v}

T^{2}=\frac{4.\pi^{2}.r^{2}}{v^{2}}

Or, selon ton message de 14h48 :

v^{2}=\frac{F.r}{m} ; donc : T^{2}=\frac{4.\pi^{2}.r^{2}.m}{F.r}=\frac{4.\pi^{2}.r.m}{F}

En tenant compte de la loi de Kepler :

\frac{4.\pi^{2}.r.m}{F}=\frac{4.\pi^{2}.r^{3}}{G.M}

Je te laisse en déduire l'expression de F...

Tu avais oublié le carré de   dans ta réponse du 21-01-21 à 22:55... J'avais oublié de le signaler.

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 16:18

J'arrive à F=\dfrac{mGM}{r²}

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 18:14

C'est bien cela. Tu retrouves la loi de Newton sur la gravitation.

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 19:29

Oui , mais et le 1/r² de l'énoncé

Posté par
vanoisere : 3e loi de Kepler. 23-01-21 à 19:36

L'énoncé demande de montrer que la force est proportionnelle à 1/r2. C'est bien ce que tu as montré  !

Posté par
kamikazre : 3e loi de Kepler. 24-01-21 à 14:38

Ok merci


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