Le condensateur possède deux armatures, l'une est chargée positivement et l'autre négativement.
Soit la charge de l'armature positive, c'est également la charge du condensateur , et est la charge portée par la deuxième armature.
Soit la tension aux bornes du condensateur. La flèche tension est orientée de l'armature négative vers l'armature positive. Puisque , alors est positive comme .
-Lors d'une charge, l'intensité est orientée vers l'armature positive. Le condensateur se chargeant, augmente, sa variation est positive:
-Lors d'une décharge, il est souhaitable de représenter l'intensité dans l'autre sens. Le condensateur se déchargeant, diminue, sa variation est donc négative:
On rappelle qu'on garde toujours la convention récepteur pour les dipôles inductifs et les résistors.
Condition de continuité:
La condition de continuité portera sur l'intensité du courant électrique pour une bobine, et sur la tension électrique pour un condensateur.
Conditions initiales:
L'indication précise des conditions initiales est primordiale, car elle permet de déterminer correctement les constantes d'intégration.
Nous rappelons que ces conditions doivent être appliquées à la solution complète de l'équation différentielle, c'est-à-dire à la somme de la solution particulière et de la solution homogène de l'équation sans second membre.
Équivalence d'un condensateur:
Dans le cadre du régime impulsionnel ou lorsque le condensateur est soumis à un échelon de tension, le condensateur déchargé est équivalent à un court-circuit (interrupteur fermé). En effet, la tension à ses bornes proportionnelle à la charge est nulle. Un condensateur chargé est équivalent à un coupe-circuit (interrupteur ouvert). Il ne laisse pas passer le courant électrique. Ces deux résultats permettent souvent de vérifier rapidement la justesse des calculs aux dates initiales et finales.
exercice 1
Réponse à un signal créneau
On branche, aux bornes d'un condensateur de capacité en série avec une résistance , une source de tension de force électromotrice alternative, rectangulaire , de période , comme suit:
Le condensateur est initialement non chargé, et on suppose qu'à la fin de chaque alternance , le régime limite est atteint pratiquement.
Notons respectivement les tensions aux bornes de la résistence et du condensateur.
1) Exprimer .
2) Calculer , on donne . Puis vérifier numériquement l'hypothèse du régime limite.
exercice 2
Charge et décharge
Un générateur de f.é.m. et de résistance interne négligeable peut alimenter deux branches d'un circuit. La branche a une bobine et une résistance . La branche a un condensateur et une résistance ; le condensateur est initialement déchargé.
1) À l'instant , on ferme l'interrupteur . Exprimer l'intensité du courant dans la branche .
2) Exprimer de même l'intensité dans la branche et calculer l'énergie électrique du condensateur à l'état final. À quel instant a-t-on ?
3) Le régime permanent étant établi, on ouvre l'interrupteur à un instant que l'on choisira pour . Quel sera, aussitôt après l'ouverture de l'interrupteur, le sens du courant dans le circuit ? Écrire l'équation différentielle relative à la charge du condensateur, puis donner les expressions de cette charge et de l'intensité du courant en tenant compte des conditions intiales.
exercice 3
Réponse à un échelon de tension
Entre les bornes d'entrée du circuit ci-dessous, on applique à l'instant un échelon de tension .
Initialement, les courants sont nuls, et le condensateur est déchargé.
1) Former le système différentiel que vérifient .
2) Donner les valeurs de puis les valeurs de au bout d'un temps très long. En déduire l'allure du graphe .
exercice 4
Décharge d'un condensateur dans un circuit
Un condensateur de capacité , de charge , est mis en contact à , avec un condensateur de capacité (initialement déchargé) en série avec une résistance .
1) Déterminer:
a) L'intensité du courant circulant dans le circuit.
b) Les charges des condensateurs dans leur nouvel état d'équilibre.
2) En déduire l'énergie dissipée par effet Joule au cours de l'opération
a) D'une manière directe.
b) À partir d'un bilan énergétique
exercice 5
Étude d'un circuit oscillant
À l'instant , un condensateur de capacité et de charge initiale est connecté à un groupement série .
Le condensateur de capacité est initialement déchargé. On suppose que et on note les charges des condensateurs sous les tensions respectivement.
Le sens positif du courant est indiqué sur la figure ci-dessus.
On pose
1)Établir les expressions de et , puis représenter l'allure des graphes correspondants.
2) Effectuer un bilan énergétique instantannée entre et , puis sur une période .
exercice 6
Circuit de Wien*
À l'aide de deux résistances et de deux condensateurs , on réalise le montage de la figure suivante:
On ferme l'interrupteur à l'instant , étant chargé et étant déchargé.
On pose
1) À partir des considérations physiques, préciser les valeurs de la tension lorsque , puis lorsque .
2) Établir l'équation différentielle dont la tension est solution.
3) Exprimer sachant que , déterminer le temps au bout duquel passe par un maximum et tracer le graphe de .
*Max Karl Werner Wien, physicien allemand, a inventé une variante de ce circuit pour identifier les propriétés de composants électriques dont on ne connaît pas les caractéristiques. De nos jours, ce circuit est largement utilisé en électronique, notamment pour produire un signal sinusoïdal stable ou pour filtrer certains types de signaux.
exercice 7
Dipôle R,L,C parallèle
Considérons un dipôle parallèle, alimenté à l'instant par une source pure de courant de c.é.m. (Figure).
Données numériques:
1) Montrer que l'équation différentielle en se met sous la forme: . Calculer la pulsation propre et le facteur de qualité .
2) Quel est le régime de variations de ? À l'instant , le courant est nul dans la bobine et le condensateur n'est pas chargé. Donner les expressions littérale et numérique de .
exercice 8
Condensateur en série avec un groupement parallèle résistance et inductance
Le condensateur de capacité étant intialement déchargé, on abaisse l'interrupteur à l'instant .
La source de tension est de force électromotrice continue . Et on note
1) Quelles sont les valeurs de
2) Établir l'équation différentielle satisfaite par
exercice 9
Régime oscillatoire amorti
Une bobine, d'inductance propre et de réssitance , est alimentée par un générateur de f.é.m. et de résistance interne . On branche à ses bornes, à un instant que l'on prendra comme origine des temps, un condensateur non chargé de capacité .
1) Quelle est l'équation différentielle du second ordre satisfaite par circulant dans la bobine?
2) Calculer les valeurs , puis donner l'expression numérique de .
exercice 10
Couplage par condensateur
Deux circuits sont branchés en parallèle sur un condensateur de capacité . Le condensateur de capacité , possédant une charge initiale , commence à se décharger à l'instant ( est abaissé).
La capacité est initialement déchargé.
1) Quelles sont les équations différentielles (couplées) vérifiées par les intensités ?
2) Les solutions proposées pour sont sinusoïdales, de la forme a) Déterminer les pulsations propres du système possibles, notées .
b) Comparer les courant lorsque .
On obtient l'équation différentielle du premier ordre suivante:
Nous obtenons par intégration:
Déterminons les constantes , on a les conditions initiales suivantes:
à (condensateur est initialement déchargé), d'où: À (régime permanent est atteint), il s'ensuit que:
L'expression de entre
On en tire directement l'expression de
2)Application numérique:
On en déduit:
Commentaire:
On observe que le condensateur est quasiment chargé à , sa tension approchant la valeur , et que le courant devient quasi nul, ce qui confirme l'hypothèse du régime limite.
On remarque aussi la discontinuité de la tension , et donc du courant, lors du basculement de de à .
exercice 2
1) L'intensité vérifie l'équation suivante:
Par intégration, nous retrouvons l'expression suivante:
Comme , alors , il vient:
Application numérique:
2) Dans la suite de cet exercice, on note la charge de l'armature d'entrée du courant et on note
Expression de
Nous avons , donc, d'après la loi des mailles:
Il en résulte:
Et comme (condensateur initialement déchargé) , donc:
On conclut alors que:
Application numérique:
Remarque: Dans cette branche sans bobine, est discontinue en .
L'énergie électrique du condensateur à l'état final:
À l'état final, c'est-à-dire pour
Dans l'état final d'équilibre (condensateur complètement chargé), l'énergie emmagasinée par le condensateur a pour expression:
Application numérique:
L'instant tel que
Nous obtenons:
Application numérique:
3) Avec les notations du schéma suivant:
La décharge du condensateur se caractérise par:
Le courant circule réellement dans le sens conformément à la continuité du courant dans la bobine.
L'équation électrique s'écrit:
En différentiant, on trouve:
Déterminons le régime de variation du circuit, comparons pour cela numériquement à
Application numérique:
Nous sommes en présence d'un régime critique, donc:
Sachant que (correspondant à la charge finale de la question précédente) et (par continuité du courant dans la bobine), nous obtenons:
D'où:
exercice 3
1) Exprimons le système différnetiel que vérifient
D'après la loi de mailles, nous avons:
Et en notant la tension entre les bornes du condensateur:
Or, d'après la loi des noeuds, le courant traversant le condensateur est , donc , il s'ensuit que:
les équations forment le système différentiel demandé:
Remarque: Nous pouvions aussi écrire:
2) Cherchons les valeurs de
On sait que , alors, par continuité des courants dans les inductances, on a:
De plus, le condensateur est intialement déchargé, ce qui veut dire que , et par continuité de la tension entre ses bornes:
On en tire alors que:
Et:
Déterminons
Après un temps très long, le condensateur est complètement chargé, donc , et donc , ce qui veut dire que
Nous obtenons:
On en déduit l'allure de
exercice 4
1-a) D'après la convention d'orientation ci-dessous:
Les charges sont liées par les relations suivantes:
Conservation de la charge:
Or, à
D'où:
De plus, l'équation de maille se traduit par:
En différentiant l'équation
On se retrouve avec une équation différentielle linéaire du 1er ordre en réponse de courant , on obtient donc:
La constante d'intégration , égale à , s'obtient en considérant l'équation à
En définitive:
Remarque: Nous avons obtenu car le condensateur se décharge.
b) En régime établi, lorsque , nous avons
Le circuit retrouve un état d'équilibre caractérisé, d'après et , par:
Remarque: Le condensateur se décharge partiellement, mais il reste chargé. Le condensateur se charge avec un signe opposé à celui de , car il est polarisé en sens inverse.
2-a) Calcul direct de
On a:
On en tire que:
b) Bilan énergétique:
Multiplions la relation par , nous aboutissons à:
L'intégration entre donne:
Avec:
Nous en déduisons:
Nous retrouvons ainsi:
exercice 5
1) La convention d'orientation étant imposée dans la figure, l'équation de maille se traduit par:
Or, la charge dans le circuit est conservée, donc:
Or, à
D'où:
Il s'ensuit que:
De plus:
L'équation de maille devient donc:
Par intégration, nous obtenons:
Les conditions initiales (par continuité du courant dans la bobine) se traduisent par:
Il en résulte:
Finalement:
Représentations graphiques de et :
2) Effectuons le bilan énergétique instantané du circuit:
L'équation de maille s'écrit:
En multipliant les deux membres de l'équation par , on obtient le bilan énergétique instantané du circuit:
Ou encore, en notant:
Analysons le bilan énergétique sur une période
Par intégration entre
Avec Soit:
Commentaire:
Ainsi, entre , le condensateur se décharge ( décroît) tandis que le condensateur se charge ( croît car ) . Le phénomène est inversé entre et (décharge de et charge de ).
La bobine s'oppose aux variations du courant, c'est-à-dire qu'elle prélève de l'énergie au circuit des deux condensateurs lorsque croît ( augmente) et elle restitue cette énergie lorsque décroît: Entre Entre Elle n'intervient donc pas dans le bilan énergétique global de la charge et décharge des condensateurs
exercice 6
1) Précisons
Initialement, le condensateur est déchargé, donc , et par continuité de la tension entre ses bornes, on a à
Au bout d'un temps très long, les condensateurs sont entièrement déchargés à cause de l'effet Joule dans les deux résistances du circuit, il s'ensuit alors que:
2) L'équation différentielle en
On a:
De plus:
Appliquons la loi de mailles:
En sachant que
De plus, on a
Nous aboutissons à l'équation différentielle du circuit étudié:
3)Expression de
On écrit l'équation différentielle sous la forme canonique:
Par identification, nous trouvons:
Puisque , le régime du circuit est apériodique, et la solution s'écrit sous la forme:
Déterminons les constantes d'intégration
Calculons
Nous en tirons que:
Finalement:
Application numérique:
Nous concluons donc que:
Déterminons le temps au bout duquel pase par un maximum:
On a:
Le signe de est celui de
Donc:
On vérifie facilement que :
De plus,
Conclusion:
Graphe de
exercice 7
1) L'équation différentielle en
Notons:
le courant dans la résistance .
le courant dans la bobine .
le courant dans la condensateur.
D'après la loi des noeuds:
En différentiant et en multiplions par , nous trouvons:
Nous en déduisons l'équation différentielle recherchée:
Elle est écrite sous la forme , avec:
Applications numériques:
2) Puisque le facteur de qualité , alors nous avons directement:
L'expression de
Le condensateur est initialement déchargé :
Le courant dans la bobine est unitialement nul, donc .
Nous en déduisons, en remplaçant dans
Calculons la dérivée par rapport au temps de
Nous en tirons que:
De , nous obtenons l'expression litérale de
Application numérique:
Finalement, l'expression numérique de s'écrit:
exercice 8
1) Conditions initiales:
Le condensateur est initialement déchargé , donc, par continuité de la tension aux bornes de :
En notant le courant traversant la résistance , au tout premier instant après le fermeture de
Notons le courant traversant l'inductance. Le circuit étudié était ouvert avant l'abaissement de , donc , et par continuité du courant traversant la bobine:
En sachant que le courant qui traverse le condensateur est
2) Équation différentielle en
Notons la tension aux bornes de (et donc de ). On a d'après la loi de maille:
Et d'après la loi des noeuds:
Finalement:
exercice 9
1) Équation différentielle satisfaite par
Notons la tension entre les bornes du condensateur et le courant le traversant, on a:
D'après la loi des noeuds, le courant passant par le générateur de tension est:
Donc, d'après la loi des mailles:
Nous obtenons donc, en remplaçant par son expression
Nous aboutissons à l'équation différentielle recherchée:
2) Valeurs initiales:
Avant la fermeture de , c'est-à-dire lorsque , la bobine était branchée en série avec la source de tension . L'état final du courant circulant dans ce circuit sans condensateur représente la condition intiale passant par la bobine lorsqu'on ferme l'interrupteur .
Lors de l'étude de ce circuit, nous notons la variable du temps en secondes afin d'éviter toute ambiguïté:
L'équation différentielle satisfaite par est:
La solution est:
Sans chercher , on a, lorsque
On en tire que, juste avant la fermeture de :
Ensuite, par continuité du courant dans la bobine:
D'autre part, le condensateur est initialement déchargé, et par continuité de la tension entre les bornes d'un condensateur:
à la fermeture de , on a, d'après
D'où:
Établissons l'expression numérique de
Écrivons pour cela l'équation différentielle sous sa forme canonique:
Avec:
Application numérique:
Puisque
Calculons les constantes d'intégration
Pour trouver , il faut appliquer , dérivons par rapport au temps
On en tire:
L'expression litérale de
Application numérique:
On conclut que l'expression numérique de est:
exercice 10
1) Déterminons les équations différentielles vérifiées par
On note:
est orienté en convention générateur.
On a donc, à la fermeture de :
D'autre part, d'après la loi des mailles, on a:
Et:
Nous obtenons le système d'équations différentielles vérifiées par
2-a) Déterminons les pulsations possibles, notées
On a:
Calculons
En remplaçant dans le système trouvé en 1), nous obtenons:
Nous en déduisons que:
Il s'ensuit que:
En sachant que la pulsation propre est une valeur positive, nous concluons que:
b) Comparaison de lorsque
En remplaçant par son expression dans
Fin
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en série avec une résistance 
, une source de tension de force électromotrice alternative, rectangulaire )
, de période 
, comme suit:
)
, le régime limite est atteint pratiquement.
 \text{ et }u_C(t))
respectivement les tensions aux bornes de la résistence et du condensateur.
 \text{ et }u_R(t) \text{ entre }t=0\text{ et }t=T)
.
, on donne 
. Puis vérifier numériquement l'hypothèse du régime limite.
et de résistance interne négligeable peut alimenter deux branches d'un circuit. La branche 
a une bobine 
et une résistance 
. La branche 
a un condensateur 
et une résistance 
, on ferme l'interrupteur 
. Exprimer l'intensité )
du courant dans la branche 
dans la branche 
?
? Écrire l'équation différentielle relative à la charge 
du condensateur, puis donner les expressions de cette charge et de l'intensité du courant 
en tenant compte des conditions intiales.
du circuit ci-dessous, on applique à l'instant 
.
sont nuls, et le condensateur est déchargé.
\text{ et }i_2(t))
.
\text{ , }i_2(0^+)\text{ , }\dfrac{\text{d}i_1}{\text{d}t}(0^+)\text{ , }\dfrac{\text{d}i_2}{\text{d}t}(0^+)\text{ , })
puis les valeurs de )
.
, est mis en contact à 
(initialement déchargé) en série avec une résistance 
)
du courant circulant dans le circuit.
des condensateurs dans leur nouvel état d'équilibre.
et de charge initiale 
est connecté à un groupement série 
.
est initialement déchargé. On suppose que 
et on note 
les charges des condensateurs sous les tensions 
respectivement.
)
et 
et 
, puis sur une période 
.
et de deux condensateurs 
, on réalise le montage de la figure suivante:
lorsque 
.
)
sachant que =3V)
, déterminer le temps au bout duquel 
parallèle, alimenté à l'instant 
(Figure).
)
se met sous la forme: 
. Calculer la pulsation propre 
et le facteur de qualité 
. Et on note 
 \text{ et }\dot{u}(0)\text{ ?})
.)
et de réssitance 
, est alimentée par un générateur de f.é.m. 
et de résistance interne 
. On branche à ses bornes, à un instant que l'on prendra comme origine des temps, un condensateur non chargé de capacité 
.
\text{ et }\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(0^+))
, puis donner l'expression numérique de )
sont branchés en parallèle sur un condensateur de capacité 
, possédant une charge initiale 
est initialement déchargé.
)
.
.
=u_R(t)+u_C(t))
=\begin{cases} E &\text{ pour } 0 \leq t\leq \dfrac{T}{2}\\ -E &\text{ pour } \dfrac{T}{2} \leq t\leq T \end{cases}\enskip\enskip , \enskip\enskip u_R(t)=R i(t) \enskip\enskip \text{ et }\enskip\enskip i(t)=C\dfrac{\text{d}u_C(t)}{\text{d}t})
}{\text{d}t}+u_C(t)=e(t) \iff \begin{cases} \tau \dfrac{\text{ d}u_C(t)}{\text{d}t}+u_C(t)=E & \text{pour } 0 \leq t\leq \dfrac{T}{2}\\ \tau \dfrac{\text{ d}u_C(t)}{\text{d}t}+u_C(t)=-E &\text{ pour } \dfrac{T}{2} \leq t\leq T \end{cases}\enskip\enskip (\tau=RC) )
=A_1 e^{-t/\tau}+E & \text{pour } 0 \leq t\leq \dfrac{T}{2}\\ u_C(t)=A_2e^{-t/\tau}-E &\text{ pour } \dfrac{T}{2} \leq t\leq T \end{cases}\enskip\enskip \text{ tels que }A_1\text{ et }A_2 \text{ sont des constantes d'intégration .})
, on a les conditions initiales suivantes:
=0)
(condensateur est initialement déchargé), d'où: 
=E)
(régime permanent est atteint), il s'ensuit que: 
)
entre 
![\boxed{\begin{cases} u_C(t)=E\left(1- e^{-t/\tau}\right) & \text{pour } 0 \leq t\leq \dfrac{T}{2}\\ u_C(t)=-E\left[1-2e^{ -\left(t-T/2\right)\tau/2}\right]&\text{ pour } \dfrac{T}{2} \leq t\leq T \end{cases}}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\boxed{\begin{cases} u_C(t)=E\left(1- e^{-t/\tau}\right) & \text{pour } 0 \leq t\leq \dfrac{T}{2}\\ u_C(t)=-E\left[1-2e^{ -\left(t-T/2\right)\tau/2}\right]&\text{ pour } \dfrac{T}{2} \leq t\leq T \end{cases}})
:)
= e(t)-u_C(t) \Longrightarrow \boxed{\begin{cases} u_R(t)=Ee^{-t/\tau} & \text{pour } 0 \leq t\leq \dfrac{T}{2}\\ u_R(t)=-2Ee^{ -\left(t-T/2\right)\tau/2}&\text{ pour } \dfrac{T}{2} \leq t\leq T \end{cases}} )
\tau/2}=e^0=1)
![u_C(t_1^-)=E\left(1- e^{-t_1/\tau}\right)\Longrightarrow u_C(t_1^-)\simeq E \enskip\enskip \text{ et }\enskip\enskip u_C(t_1^+)=-E\left[1-2e^{ -\left(t_1-T/2\right)\tau/2}\right]\Longrightarrow u_C(t_1^+)= E \enskip\enskip\text{ , d'où: }\enskip\enskip \boxed{u_C(t_1)=E=10V}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?u_C(t_1^-)=E\left(1- e^{-t_1/\tau}\right)\Longrightarrow u_C(t_1^-)\simeq E \enskip\enskip \text{ et }\enskip\enskip u_C(t_1^+)=-E\left[1-2e^{ -\left(t_1-T/2\right)\tau/2}\right]\Longrightarrow u_C(t_1^+)= E \enskip\enskip\text{ , d'où: }\enskip\enskip \boxed{u_C(t_1)=E=10V} )
=Ee^{-t_1/\tau}\Longrightarrow u_R(t_1^-)\simeq 0 \enskip\enskip \text{ et }\enskip\enskip u_R(t_1^+)=-2Ee^{ -\left(t_1-T/2\right)\tau/2}\Longrightarrow u_R(t_1^+)= -2E \enskip\enskip\text{ , conclusion: }\enskip\enskip \boxed{u_R(t_1^-)= 0V \text{ et }u_R(t_1^+)= -2E=-20V} )
, sa tension approchant la valeur 
, et donc du courant, lors du basculement de 
.
vérifie l'équation suivante:
=A e^{-t/\tau_1}+\dfrac{E}{R}\enskip\enskip\enskip \text{ tel que }\tau_1=\dfrac{L}{R}\text{ et }A \text{ une constante d'intégration. })
=0)
, alors 
, il vient:
=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau_1}\right) }\enskip\enskip ; \enskip\enskip \left(\tau_1=\dfrac{L}{R}\right))
=0,2\left(1-e^{-250t}\right)})
\text{ : })
, donc, d'après la loi des mailles:
=CE+Be^{-t/\tau_2} \text{ avec }\tau_2=RC\text{ et }B \text{ une constante d'intégration })
=0)
(condensateur initialement déchargé) , donc: 
=CE\left(1-e^{-t/\tau_2}\right))
=\dot{q}(t) \Longrightarrow \boxed{i_2(t)=\dfrac{E}{R}e^{-t/\tau_2}} \enskip\enskip ; \enskip\enskip \left(\tau_2=RC\right))
=0,2\text{.}e^{-250t}\right)})
)
est discontinue en 
=i_2(t) \Longrightarrow 0,2(1-e^{-250t})=0,2e^{-250t} \Longrightarrow e^{-250t}=\dfrac{1}{2} )
 \Longrightarrow \boxed{t\simeq 2,77\text{.}10^{-3}s})
Le courant circule réellement dans le sens )
à 
=(\alpha+\beta t) e^{-\lambda t} \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip i(t)=\dot{q}(t)=(-\lambda \alpha +\beta -\lambda \beta t)e^{-\lambda t} \enskip\enskip \text{ ; tels que }\alpha\text{ et }\beta \text{ deux constantes à déterminer })
=CE)
(correspondant à la charge finale de la question précédente) et =-\dfrac{E}{R})
(par continuité du courant dans la bobine), nous obtenons:
+\lambda CE= 0 )
=CE e^{-\lambda t} \Longrightarrow q(t)=8.10^{-4}e^{-250t }\\\\i(t)=-\lambda CE e^{-\lambda t} \Longrightarrow i(t)=-0,2e^{-250t }\end{matrix}} )
+Ri_2=U}\enskip (1))
la tension entre les bornes du condensateur: 
, donc 
, il s'ensuit que:
\end{matrix})
\text{ et }(2))
forment le système différentiel demandé:
+Ri_2=U \\ LC\dfrac{\text{d}^2i_2}{\text{d}t^2}+RC\dfrac{\text{d}i_2}{\text{d}t}=i_1-i_2 \end{cases}})
\text{ , }i_2(0^+)\text{ , }\dfrac{\text{d}i_1}{\text{d}t}(0^+)\text{ et }\dfrac{\text{d}i_2}{\text{d}t}(0^+)\text{ : })
=i_2(0^-)=0)
, alors, par continuité des courants dans les inductances, on a:
=i_1(0^-)=0\enskip\text{ et }\enskip i_2(0^+)=i_2(0^-)=0})
=0)
, et par continuité de la tension entre ses bornes: =u_C(0^-)=0)
_{(t=0^+)} \Longrightarrow 0=L\dfrac{\text{d}i_2}{\text{d}t}(0^+)+0\Longrightarrow \boxed{\dfrac{\text{d}i_2}{\text{d}t}(0^+)=0})
+Ri_2=U\right)_{(t=0^+)}\Longrightarrow L\left(\dfrac{\text{d}i_1}{\text{d}t}(0^+)+0\right)+0=U\Longrightarrow \boxed{\dfrac{\text{d}i_1}{\text{d}t}(0^+)=\dfrac{U}{L}} )
\text{ et }i_2(\infty)\text{ : })
=\text{Cte})
, et donc =0)
, ce qui veut dire que =i_2(\infty)=\text{Cte})
+Ri_2=U\right)_{(t=\infty)}\Longrightarrow L\left(0+0\right)+Ri_2(\infty)=U\Longrightarrow \boxed{i_2(\infty)=i_1(\infty)=\dfrac{U}{R}} )
\text{ :})
sont liées par les relations suivantes:
=q'(t)+k\enskip\enskip (k\text{ constante d'intégration}))
=q_0\text{ et }q'(0)=0 \enskip \text{ , donc } \enskip k=q(0)-q'(0)=q_0)
=q'(t)+q_0\enskip \red (1))
)
)
i+R\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}=0\underbrace{\Longrightarrow}_{\begin{matrix}C_{eq}=\dfrac{CC'}{C+C'}\\ \\ \tau=RC_{eq}\end{matrix}}\enskip\enskip\enskip \boxed{ \tau \dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+i=0} )
=A\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right) )
, égale à )
, s'obtient en considérant l'équation )
à 
}{C}+\dfrac{q'(0)}{C'}+Ri(0)=0\Longrightarrow i(0)=A=-\dfrac{q_0}{RC})
=-\dfrac{q_0}{RC}\text{ exp}\left(-\dfrac{(C+C')t}{CC'R}\right)})
car le condensateur )
se décharge.
, nous avons 
)
et 
![\begin{matrix}W_{J}&=&\displaystyle\int_{0}^{\infty} Ri^2\text{ d}t \\\\&=& \displaystyle \dfrac{q_0^2}{RC^2}\int_0^{\infty} \exp\left(-\dfrac{2t}{RC_{eq}}\right)\text{ d}t\\\\&=& -\dfrac{q_0^2 R C_{eq}}{2RC^2}\displaystyle \left[\exp\left(-\dfrac{2t}{RC_{eq}}\right) \right]_{0}^{\infty} \end{matrix}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\begin{matrix}W_{J}&=&\displaystyle\int_{0}^{\infty} Ri^2\text{ d}t \\\\&=& \displaystyle \dfrac{q_0^2}{RC^2}\int_0^{\infty} \exp\left(-\dfrac{2t}{RC_{eq}}\right)\text{ d}t\\\\&=& -\dfrac{q_0^2 R C_{eq}}{2RC^2}\displaystyle \left[\exp\left(-\dfrac{2t}{RC_{eq}}\right) \right]_{0}^{\infty} \end{matrix})
}})
, nous aboutissons à:
+\text{ d}\left(\dfrac{q'^2}{2C'}\right)+R i^2 \text{ d}t=0 )
 })
donne:
\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \left(\dfrac{q_f'^2}{2C'}\text{ : énergie emmagasinée par le condensateur }C'\right))
![W_J=\dfrac{q_0^2}{2C}-\dfrac{q_f^2}{2C}-\dfrac{q_f'^2}{2C'}=\dfrac{q_0^2}{C}\left[\dfrac{1}{C}\left(1-\dfrac{C^2}{(C+C')^2}\right)-\dfrac{C'^2}{(C+C')^2}\right]](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?W_J=\dfrac{q_0^2}{2C}-\dfrac{q_f^2}{2C}-\dfrac{q_f'^2}{2C'}=\dfrac{q_0^2}{C}\left[\dfrac{1}{C}\left(1-\dfrac{C^2}{(C+C')^2}\right)-\dfrac{C'^2}{(C+C')^2}\right])
=-q_1(t)+k\enskip\enskip (k\text{ constante d'intégration}))
=Q_0\text{ et }q_2(0)=0 \enskip \text{ , donc } \enskip k=q(0)-q'(0)=Q_0)
=-q_1(t)+Q_0\enskip )
=a \cos\left(\omega_0t + \varphi\right)+\dfrac{Q_0}{LC^2\omega_0^2}\enskip ;\enskip\enskip\enskip \text{ avec }a\text{ et }\varphi \text{ des constantes d'intégration. })
=\dfrac{Q_0}{C}\text{ et }i(0)=-C\left(\dfrac{\text{ d}u_1}{\text{d} t}\right)_{t=0} =0)
(par continuité du courant dans la bobine) se traduisent par:
_{t=0} =0\enskip\Longrightarrow\enskip C\omega_0 a\sin\varphi=0\enskip\Longrightarrow\enskip a\sin \varphi =0\enskip\Longrightarrow \enskip\sin \varphi =0 \enskip\Longrightarrow \enskip\varphi =0 )
=\dfrac{Q_0}{C}\enskip\Longrightarrow \enskip a \cos \varphi +\dfrac{Q_0}{LC^2\omega_0^2}=\dfrac{Q_0}{C} \enskip\Longrightarrow \enskip a = \dfrac{Q_0}{C}-\dfrac{Q_0}{LC^2\omega_0^2} \enskip\Longrightarrow \enskip a = \dfrac{Q_0}{2C})
=\dfrac{Q_0}{2C}\left(1+\cos(\omega_0t)\right)})
=-C\left(\dfrac{\text{ d}u_1}{\text{d} t}\right)\Longrightarrow \boxed{i(t)=\dfrac{Q_0\omega_0}{2}\sin(\omega_0 t)})
, on obtient le bilan énergétique instantané du circuit:
+\text{d}\left(\dfrac{q_2^2}{2C}\right)+\text{d}\left(\dfrac{1}{2}Li^2\right)=0)
![\displaystyle \left[\Delta\mathcal{E}_{e_1}\right]_0^{T_0/2} +\left[\Delta\mathcal{E}_{e_2}\right]_0^{T_0/2}+\left[\Delta\mathcal{E}_{m}\right]_0^{T_0/2}=0](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\displaystyle \left[\Delta\mathcal{E}_{e_1}\right]_0^{T_0/2} +\left[\Delta\mathcal{E}_{e_2}\right]_0^{T_0/2}+\left[\Delta\mathcal{E}_{m}\right]_0^{T_0/2}=0)
![\left[\Delta\mathcal{E}_{m}\right]_0^{T_0/2}=\left[\dfrac{1}{2}Li^2\right]_0^{T_0/2}=0](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\left[\Delta\mathcal{E}_{m}\right]_0^{T_0/2}=\left[\dfrac{1}{2}Li^2\right]_0^{T_0/2}=0)
![\boxed{\left[\Delta\mathcal{E}_{e_2}\right]_0^{T_0/2} =-\left[\Delta\mathcal{E}_{e_1}\right]_0^{T_0/2}=\dfrac{Q_0^2}{2C}}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\boxed{\left[\Delta\mathcal{E}_{e_2}\right]_0^{T_0/2} =-\left[\Delta\mathcal{E}_{e_1}\right]_0^{T_0/2}=\dfrac{Q_0^2}{2C}})
, le condensateur 
décroît) tandis que le condensateur 
croît car 
) . Le phénomène est inversé entre 
et 
(décharge de 
croît (
augmente) et elle restitue cette énergie lorsque ^2=\dfrac{Q_0^2}{4C})
\text{ et }v(\infty)\text{ : })
=\dfrac{q(0^-)}{C}=0)
, et par continuité de la tension entre ses bornes, on a à =v(0^-)=0V})
sont entièrement déchargés à cause de l'effet Joule dans les deux résistances du circuit, il s'ensuit alors que:
=\dfrac{q(\infty)}{C}\Longrightarrow \boxed{v(\infty)=0})
\text{ :})
=C\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}&\text{ et }& i'(t)=-C'\dfrac{\text{d}u(t)}{\text{d}t}\end{matrix})
=i(t)+\dfrac{v(t)}{R} &\text{ (Loi des noeuds) }\end{matrix})
=R'i'(t)+v(t) &\Longrightarrow & u(t)=R'i(t)+\dfrac{R'}{R}v(t)+v(t) \\\\&\Longrightarrow & u(t)=R'C \dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+\left(\dfrac{R'}{R}+1\right)v(t) & \red \text{ (eq1)}\\\\&\Longrightarrow & \dfrac{\text{d}u(t)}{\text{d}t}=R'C \dfrac{\text{d}^2 v(t)}{\text{d}t^2}+\left(\dfrac{R'}{R}+1\right)\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}\end{matrix} )
}{\text{d}t}=R'C \dfrac{\text{d}^2 v(t)}{\text{d}t^2}+2\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}\end{matrix})
}{\text{d}t}=\tau \dfrac{\text{d}^2 v(t)}{\text{d}t^2}+2\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} &\Longrightarrow & -\dfrac{i'(t)}{C'}=\tau \dfrac{\text{d}^2 v(t)}{\text{d}t^2}+2\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}\\\\ &\Longrightarrow & -i(t)-\dfrac{1}{R}v(t)=\tau C' \dfrac{\text{d}^2 v(t)}{\text{d}t^2}+2C'\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}\\\\ &\Longrightarrow & -C\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}-\dfrac{1}{R}v(t)=\tau C' \dfrac{\text{d}^2v(t)}{\text{d}t^2}+2C'\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} \\\\&\Longrightarrow & -\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}-\dfrac{1}{\tau}v(t)=\tau \dfrac{C'}{C} \dfrac{\text{d}^2v(t)}{\text{d}t^2}+2\dfrac{C'}{C}\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} \\\\&\Longrightarrow & \tau \dfrac{\text{d}^2v(t)}{\text{d}t^2}+2\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t} +\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+\dfrac{1}{\tau}v(t)=0 \end{matrix})
}{\text{d}t^2}+\dfrac{3}{\tau}\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+\dfrac{1}{\tau^2}v(t)=0 })
}{\text{d}t^2}+2\lambda\dfrac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+\omega_0^2 v(t)=0)
, le régime du circuit est apériodique, et la solution =e^{-\lambda t} \left(A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right) \enskip\enskip\text{ , avec }\Omega=\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\tau})
=0\\ u(0)=3\end{cases}\text{ , donc: })
=0\Longrightarrow A+B=0\Longrightarrow A=-B )
=3 \enskip\enskip \underbrace{\Longrightarrow}_{\red \text{(eq1)}} \enskip\enskip \tau \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}(0)+2v(0)=3 \enskip\enskip \Longrightarrow \enskip\enskip \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}(0)=\dfrac{3}{\tau} )
![\begin{matrix} \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}(t)&=& \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left[e^{-\lambda t} \left(A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right)\right] \\\\&=& -\lambda e^{-\lambda t} \left(A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right) +e^{-\lambda t} \left(\Omega A e^{\Omega t}-\Omega B e^{-\Omega t}\right) \\\\&=& e^{-\lambda t}\left[\left(\Omega-\lambda \right)A e^{\Omega t} - \left(\Omega+\lambda \right)B e^{-\Omega t}\right] \end{matrix}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}(t)&=& \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left[e^{-\lambda t} \left(A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right)\right] \\\\&=& -\lambda e^{-\lambda t} \left(A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right) +e^{-\lambda t} \left(\Omega A e^{\Omega t}-\Omega B e^{-\Omega t}\right) \\\\&=& e^{-\lambda t}\left[\left(\Omega-\lambda \right)A e^{\Omega t} - \left(\Omega+\lambda \right)B e^{-\Omega t}\right] \end{matrix})
=\dfrac{3}{\tau} &\Longrightarrow & \left(\Omega-\lambda \right)A - \left(\Omega+\lambda \right)B =\dfrac{3}{\tau} \\\\ &\Longrightarrow & \left(\Omega-\lambda \right)A + \left(\Omega+\lambda \right)A =\dfrac{3}{\tau} \\\\ &\Longrightarrow & A\left(\Omega-\lambda +\Omega+\lambda \right) =\dfrac{3}{\tau} \\\\ &\Longrightarrow & A =\dfrac{3}{2\Omega\tau}\\\\ &\Longrightarrow & A =\dfrac{3}{2\dfrac{\sqrt{5}}{2\tau}\tau}\\\\ &\Longrightarrow & A =\dfrac{3\sqrt{5}}{5} \end{matrix})
=e^{-\lambda t} \left(A e^{\Omega t}+B e^{-\Omega t}\right)=A \left(e^{(\Omega-\lambda)t}-e^{-(\Omega+\lambda)t}\right))
\times (0.1\text{ . }10^{-6}) =10^{-3} s)
\text{ s'écrit: }v(t)=1,34 \left(e^{-382t}-e^{-2618t}\right) })
au bout duquel =1,34\left(-382 e^{-382t}+2618e^{-2618t}\right)=512e^{-382 t }\left(\dfrac{2618}{382}e^{-2236t}-1\right)\simeq 512e^{-382 t }\left(6,85e^{-2236t}-1\right))
)
est celui de \text{ : })
=0 \iff -2236t_m=-\ln 6,85 \iff t_m=\dfrac{\ln 6,85 }{2236})
<0 \text{ pour }t>t_m \enskip\enskip\enskip \text{ et que }\enskip\enskip\enskip \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}(t)>0 \text{ pour }t<t_m)
= 1,34 \left(e^{-382t_m}-e^{-2618t_m}\right)\underbrace{\Longrightarrow }_{\text{ Application numérique }} v(t_m)\simeq 0,82V)
=0,82\enskip V \text{ au bout de }t_m=0,86\enskip ms})
\text{ : })
\text{ :})
le courant dans la résistance 
le courant dans la bobine 
.
le courant dans la condensateur.
)
, alors nous avons directement:
\text{ est le régime critique, elle a } \\ \text{ donc pour expression: } u(t)=(a+bt)e^{-\omega_0 t}\enskip\enskip (a,b \text{ constantes})})
=0 \Longrightarrow a=0\enskip\enskip (1))
=0)
.
\text{ : }i_L(0)+\dfrac{u(0)}{R}+C\dfrac{\text{d} u}{\text{d}t}(0)=i_0\Longrightarrow \dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}(0)=\dfrac{i_0}{C})
\text{ : })
}{\text{d}t}&=& be^{-\omega_0 t}-\omega_0 (a+bt)e^{-\omega_0 t} \\&=& e^{-\omega_0 t}\left(b-\omega_0 b t -\omega_0 a \right) \end{matrix})
=\dfrac{i_0}{C}\\ a=0\end{cases} \Longrightarrow b=\dfrac{i_0}{C} \enskip (2) )
=\dfrac{i_0}{C}t\enskip e^{-\omega_0 t}}\enskip\enskip ; \enskip\enskip \left(\omega_0=1/\sqrt{LC}\right))
=10^6 t\enskip e^{-10^6 t}})
=u(0^-)=\dfrac{q(0)}{C}\Longrightarrow \boxed{u(0)=0})
le courant traversant la résistance 
+R i_R(0) \Longrightarrow E=R i_R(0)\enskip (*))
le courant traversant l'inductance. Le circuit étudié était ouvert avant l'abaissement de =0)
, et par continuité du courant traversant la bobine:
=i_L(0^-)=0 \Longrightarrow i_L(0)=0)
=C \dot{u}(0)\text{ , et en remplaçant dans }(*)\text{ : })
\Longrightarrow \boxed{\dot{u}(0)=\dfrac{E}{RC}} )
la tension aux bornes de 
=\dfrac{u'(t)}{R}+i_L(t) &\iff& C\dot{u}(t)=\dfrac{E-u(t)}{R}+i_L(t) \\&\iff& C\ddot{u}(t)=0-\dfrac{1}{R}\dot{u}(t)+\dfrac{\text{d}i_L}{\text{d}t}(t) &\text{ (Par différentiation: )} \\&\iff& C \ddot{u}(t)=-\dfrac{1}{R}\dot{u}(t)+\dfrac{1}{L} u'(t) \\&\iff& C \ddot{u}(t)=-\dfrac{1}{R}\dot{u}(t)+\dfrac{E}{L} -\dfrac{1}{L}u(t) \end{matrix})
\text{ est: }\ddot{u}(t)+\dfrac{1}{RC}\dot{u}(t)+\dfrac{1}{LC}u(t)=\dfrac{E}{LC}})
\text{ :})
la tension entre les bornes du condensateur et 
le courant le traversant, on a:
\enskip\enskip \text{ et }\enskip\enskip i'=C\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t})
\iff u=E-r\left(i+C\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}\right))
\text{ : })
 &\iff & L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+Ri=E-ri-rC \dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+Ri\right) \\ &\iff& L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+Ri=E-ri-rLC\dfrac{\text{d}^2i}{\text{d}t^2}-rRC\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t} \\&\iff& rLC\dfrac{\text{d}^2i}{\text{d}t^2}+(L+rRC)\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+(R+r)i=E \end{matrix})
\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+\dfrac{1}{LC}\left(1+\dfrac{R}{r}\right)i=\dfrac{E}{rLC} })
, la bobine )
était branchée en série avec la source de tension )
. L'état final du courant  })
circulant dans ce circuit sans condensateur représente la condition intiale )
passant par la bobine lorsqu'on ferme l'interrupteur 
la variable du temps en secondes afin d'éviter toute ambiguïté:
)
est:
=L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t'}+Ri(t')\Longrightarrow \dfrac{\text{d}i}{\text{d}t'}+\dfrac{R+r}{L}i(t')=\dfrac{E}{L})
=A e^{-t'L/(r+R)}+\dfrac{E}{R+r}\enskip \enskip (A\text{ constante}))
=i_f=\dfrac{E}{R+r})
=i_f=\dfrac{E}{R+r} )
=i(0^-)=\dfrac{E}{R+r}})
=0\Longrightarrow u(0^+)=u(0^-)=0)
=L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(0^+)+Ri(0^+)\Longrightarrow \dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(0^+)=-\dfrac{R}{L}i(0^+) )
=-\dfrac{ER}{L(R+r)}})
\text{ : })
)
 \Longrightarrow \omega_0=\sqrt{\dfrac{1}{LC}\left(1+\dfrac{R}{r}\right)})
=\lambda= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{0,1}{0,2}+\dfrac{1}{40\text{ . }100\text{ . }10^{-6}}\right)\simeq 125\text{ rad}\text{. }s^{-1})
}=\sqrt{\dfrac{1}{0,2\text{ . }10^{-4}}\left(1+\dfrac{0,1}{10}\right)}\simeq 284 \text{ rad}\text{. }s^{-1})
=A e^{-\lambda t}\cos(\Omega t+\varphi)+\dfrac{E}{r+R}\enskip\enskip , \enskip \text{ avec }\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2})
: )
=\dfrac{E}{R+r}\Longrightarrow A\cos\varphi =0 \Longrightarrow \boxed{\varphi=\dfrac{\pi}{2}})
=-\dfrac{ER}{L(R+r)})
, dérivons par rapport au temps &=&-\lambda A e^{-\lambda t}\cos (\Omega t+\varphi)-\Omega A e^{-\lambda t}\sin(\Omega t+\varphi)\\\\&=&-\lambda A e^{-\lambda t}\cos (\Omega t+\pi/2)-\Omega A e^{-\lambda t}\sin(\Omega t+\pi/2)\\\\&=& \lambda A e^{-\lambda t}\sin(\Omega t)-\Omega A e^{-\lambda t}\cos (\Omega t) \\\\&=& A e^{-\lambda t}\left(\lambda\sin(\Omega t)-\Omega \cos(\Omega t)\right)\end{matrix})
=-\dfrac{ER}{L(R+r)}\Longrightarrow-A\Omega=-\dfrac{ER}{L(R+r)}\Longrightarrow \boxed{A=\dfrac{ER}{L(R+r)\Omega}})
\text{ s'écrit donc : })
=\dfrac{E}{R+r}-\dfrac{ER}{L(R+r)\Omega}e^{-\lambda t}\sin\left(\Omega t\right)} )
\Omega}=\dfrac{120\text{ . }0,1}{0,2\text{ . }40,1\text{ . }186}\simeq 8\text{ . }10^{-3})
=3-8\text{.}10^{-3} e^{-125 t }\sin(186 t)})
}\end{matrix})
+L\dfrac{\text{d}^2i_1}{\text{d}t^2}\\ &\Longrightarrow & \dfrac{\text{d}^2i_1}{\text{d}t^2}+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_1+\dfrac{1}{LC'}i_2=0\end{matrix})
=0\\ &\Longrightarrow & \dfrac{\text{d}^2i_2}{\text{d}t^2}+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_2+\dfrac{1}{LC'}i_1=0\end{matrix})
i_1+\dfrac{1}{LC'}i_2=0 \\ \dfrac{\text{d}^2i_2}{\text{d}t^2}+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_2+\dfrac{1}{LC'}i_1=0 \end{cases}})
=I_1\cos(\omega t+\varphi_1) \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip i_2(t)=I_2\cos(\omega t+\varphi_2) )
&=&\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\left(-\omega I_1\sin(\omega t +\varphi_1)\right)&=&-\omega^2I_1\cos(\omega t +\varphi_1)&=& -\omega^2 i_1(t)\end{matrix})
&=& -\omega^2 i_2(t)\end{matrix})
![\begin{matrix} \begin{cases} \dfrac{\text{d}^2i_1}{\text{d}t^2}+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_1+\dfrac{1}{LC'}i_2=0 \\ \dfrac{\text{d}^2i_2}{\text{d}t^2}+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_2+\dfrac{1}{LC'}i_1=0 \end{cases} &\iff& \begin{cases} -\omega^2 i_1+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_1+\dfrac{1}{LC'}i_2=0 \\ -\omega^2 i_2+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_2+\dfrac{1}{LC'}i_1=0 \end{cases} \\\\ &\iff& \begin{cases} i_2=\left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]i_1 \\\\ i_1=\left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]i_2 \end{cases} \enskip\enskip (*)\end{matrix}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \begin{cases} \dfrac{\text{d}^2i_1}{\text{d}t^2}+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_1+\dfrac{1}{LC'}i_2=0 \\ \dfrac{\text{d}^2i_2}{\text{d}t^2}+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_2+\dfrac{1}{LC'}i_1=0 \end{cases} &\iff& \begin{cases} -\omega^2 i_1+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_1+\dfrac{1}{LC'}i_2=0 \\ -\omega^2 i_2+\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C'}\right)i_2+\dfrac{1}{LC'}i_1=0 \end{cases} \\\\ &\iff& \begin{cases} i_2=\left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]i_1 \\\\ i_1=\left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]i_2 \end{cases} \enskip\enskip (*)\end{matrix})
![\begin{matrix} \left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]^2=1&\iff& \left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)-1\right]\left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)+1\right]=0 \end{matrix}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]^2=1&\iff& \left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)-1\right]\left[LC'\omega^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)+1\right]=0 \end{matrix} )
}})
par son expression dans \text{ , on obtient })
![\bullet \text{ Lorsque }\omega=\omega'=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\text{ :}\enskip\enskip\enskip \begin{matrix} i_1=\left[LC'\omega'^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]i_2 &\iff& i_1=\left(\dfrac{C'}{C} -\dfrac{C'}{C}-1\right)i_2 &\iff& \boxed{i_1=-i_2}\end{matrix}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Lorsque }\omega=\omega'=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\text{ :}\enskip\enskip\enskip \begin{matrix} i_1=\left[LC'\omega'^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]i_2 &\iff& i_1=\left(\dfrac{C'}{C} -\dfrac{C'}{C}-1\right)i_2 &\iff& \boxed{i_1=-i_2}\end{matrix} )
![\bullet \text{ Lorsque }\omega=\omega''=\sqrt{\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{2}{C'}+\dfrac{1}{C}\right)}\text{ :}\enskip\enskip\enskip \begin{matrix} i_1=\left[LC'\omega''^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]i_2 &\iff& i_1=\left(2+\dfrac{C'}{C} -\dfrac{C'}{C}-1\right)i_2 &\iff& \boxed{i_1=i_2}\end{matrix}](https://latex.ilephysique.net/latex-0.tex?\bullet \text{ Lorsque }\omega=\omega''=\sqrt{\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{2}{C'}+\dfrac{1}{C}\right)}\text{ :}\enskip\enskip\enskip \begin{matrix} i_1=\left[LC'\omega''^2 -\left(\dfrac{C'}{C}+1\right)\right]i_2 &\iff& i_1=\left(2+\dfrac{C'}{C} -\dfrac{C'}{C}-1\right)i_2 &\iff& \boxed{i_1=i_2}\end{matrix} )
la charge de l'armature positive, c'est également la charge du condensateur 
est la charge portée par la deuxième armature.
la tension aux bornes du condensateur. La flèche tension est orientée de l'armature négative vers l'armature positive. Puisque 
, alors 
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