Fiche de physique - chimie

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Régimes transitoires d'un circuit R, L, C

Il est recommandé d'avoir des connaissances en équations différentielles avant de commencer ce cours, nous invitons le lecteur à consulter le document suivant.

I- Charge et décharge d'un condensateur d'un circuit R, C

1- Echelons de tension ou de courant

a- Définition d'un échelon

Définition

Un échelon de tension (ou de courant) est un signal électrique $x(t)$ , produit par une source libre de tension ( ou de courant) de la forme:

$\begin{matrix} x(t)=x_0 f(t) \text{ tel que : } \\ f(t)=1 \text{ pour }t\geq 0 \enskip\text{ et }f(t)=0 \text{ pour } t<0 \end{matrix}$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 1

b- réalisation d'un échelon

Considérons une source libre de tension (ou de courant) branchée en série avec un interrupteur $K$ alimentant un circuit quelconque.

Si l'on bascule l'interrupteur $K$ à $t=0$ , le signal délivré par la source est de la forme $x(t)=x_0 f(t) \text{ avec }x_0=e\text{ ou }x_0=\eta$

$\left( f(t)=1 \text{ pour }t\geq 0 \enskip\text{ et }f(t)=0 \text{ pour } t<0 \right)$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 10

2- Réponse à un échelon de tension: charge d'un condensateur

a- Conditions initiales

Une source libre de tension, de f.é.m. $E$ est susceptible d'alimenter un circuit $R,C$ en série.

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 14

Pour $t<0$ , l'interrupteur $K$ est ouvert et le condensateur de capacité $C$ est non chargé, soit:

$\boxed{q(0^-)=0\enskip , \enskip u(0^-)=0\enskip;\enskip i(0^-)=0}$

On ferme l'interrupteur $K$ à $t=0$ .

La continuité de la tension aux bornes du condensateur (voir Dipôles électrocinétiques. , paragraphe II-2-b) se traduit par:

$\boxed{u(0^-)=u(0^+)=0}$

Remarque: La résistance interne du générateur est supposée négligeable devant $R$ , sinon $R$ représente la résitance totale du circuit.

b- Expressions de $\red u(t)$ et de $\red i(t)$

Exprimons $u(t)$ et $i(t)$ pour $t>0$ .

La loi des mailles s'écrit: $E=u(t)+Ri(t) \text{ avec } i(t)=C\dfrac{\text{ d}u(t)}{\text{d}t}$

Soit: $\boxed{RC\dfrac{\text{ d}u(t)}{\text{d}t}+u(t)=E}$

On pose $\tau=RC\text{ : constante de temps du circuit }R,C$

Rappel

La résolution de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre, de la forme $\tau \dfrac{\text{ d}u}{\text{d}t}+u=E$ , nécessite deux étapes:

$u(t)=u_1(t)+u_2$

1) $u_1(t)$ : solution générale de l'équation sans second membre: $\enskip \tau \dfrac{\text{ d}u_1}{\text{d}t}+u_1=0\enskip \Longrightarrow\enskip u_1(t)=K \text{exp}\left(\dfrac{-t}{\tau}\right)$

2) $u_2$ : Solution particulière de l'équation complète, soit $u_2=E$ en prenant $u_2=\text{cte}$

On obtient donc: $u(t)=K\text{exp}\left(\dfrac{-t}{\tau}\right)+E$

La constante d'intégration $K$ se déduit de la valeur initiale $u(0)=0$ :

$K=-E\enskip \Longrightarrow\enskip \boxed{u(t)=E\left[1-\text{exp}\left(\dfrac{-t}{\tau}\right)\right]}$

Le courant de charge est donc:

$i=C\dfrac{\text{ d}u(t)}{\text{d}t}\enskip\Longrightarrow \enskip \boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}\text{exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}$

Remarque: On en tire aussi l'expression de la charge $q\text{ : }q(t)=Cu(t)\Longrightarrow \boxed{q(t)=CE\left[1-\text{exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right]}$

On représente les graphes de $u(t) \text{ et }i(t)\text{ :}$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 3

En effet: $u(\tau)= E\left[1-\text{exp}\left(-1\right)\right] \approx 0,63E$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 32

La charge du condensateur est caractérisée par la continuité de la tension $u(t)$ et la discontinuité du courant $i(t)$ en $t=0$ .

Résultat: Interprétation graphique de la constante de temps

La tangente à l'origine coupe respectivement les asymptotes $u=E$ et $i=0$ en $t=\tau$

c- Régime transitoire - temps de relaxation

Initialement, le système $R,C$ se trouve dans l'état $(u_0=u(0)=0 \text{ et }i_0=i(0)=0)$

À l'instant $t=0$ , le système $R,C$ est soumis à une perturbation extérieure (connexion du dipôle source de tension) et il évolue en fonction du temps.

Pour $t>>\tau\text{ , }u\simeq E \text{ et }i\simeq 0$ , le système se trouve alors en régime établi, indépendant du temps.

Précisons à présent la condition $t>>\tau\text{ : }$

Soit $t_0$ la durée nécessaire au système pour approcher le régime établi $u_f=E$ à $10^{-n}$ près $(n=2;3;\cdots)$

$\dfrac{u_f-u(t_n)}{u_f-u_0}=10^{-n} \Longrightarrow \dfrac{E-u(t_n)}{E}=10^{-n} \Longrightarrow \exp\left(-\dfrac{t_n}{\tau}\right)=10^{-n}$

On en tire: $\boxed{ t_n=\ln(10).n\tau }\enskip\enskip\text{ , ou encore } t_n\simeq 2,3 n \tau \text{ ( quelque fois }\tau \text{ )}$

Résultat

Le système $R,C$ transite entre l'état initial $(u_0=0)$ et le régime établi $(u_f=E)$ .
La constante de temps $\tau$ , de l'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, est appelée temps de relaxation

Ordre de grandeur numérique:

Des valeurs usuelles de $R$ et $C\text{ : }$ $R=1k\Omega \text{ et }C=0,1\mu F\Longrightarrow \tau=10^{-4} s$
Le phénomène de charge du condensateur est en général très bref.

d- Aspect énergétique

Bilan instantané:
En multipliant les deux membres de l'équation de maille $u+Ri=E$ par $i=C\dfrac{\text{ d}u(t)}{\text{d}t}$ , on obtient:

$\boxed{\dfrac{\text{ d}}{\text{d}t}\left(\dfrac{1}{2}C u^2\right)+Ri^2=Ei }$
Avec:

$\begin{matrix} \bullet & Ei&\text{ : Puissance fournie par la source de tension } \\ \bullet & Ri^2 &\text{ : Puissance liée à l'effet Joule dans le résistor } \\ \bullet & \mathcal{E}_{e}=\dfrac{1}{2}C u^2 &\text{ : Énergie électrique emmagasinée dans le condensateur } \end{matrix}$

Bilan de la charge:
Intégrons le bilan instantanné en $t=0$ et $t=\infty$ (correspondant au régime établi, égale en pratique à quelques $\tau$ ) en multipliant les membres par $\text{d} t$ :

$\displaystyle \int_{0}^{E} \text{d}\left(\dfrac{1}{2}C u^2\right)+\int_{0}^{\infty} R i^2(t) \text{ d}t = \int_{0}^{\infty} E i(t) \text{ d}t$

On obtient: $\displaystyle \dfrac{1}{2}C E^2+\int_{0}^{\infty} R i^2(t) \text{ d}t = \int_{0}^{\infty} E C \dfrac{\text{ d}u(t)}{\text{ d}t}\text{ d}t$

Ou encore: $\displaystyle \dfrac{1}{2}C E^2+\int_{0}^{\infty} R i^2(t) \text{ d}t = \int_{0}^{E} E C \text{ d}u(t)=CE^2$

On conclut qu'il y a égale répartition de l'énergie entre condensateur et résistance:

$\boxed{\underbrace{\mathcal{W}_J}_{\text{ Effet Joule }} = \displaystyle \int_{0}^{\infty} R i^2(t) \text{ d}t\enskip\enskip = \enskip\enskip \underbrace{CE^2}_{\text{Fournie par la source }}-\underbrace{\dfrac{1}{2}CE^2}_{\text{Emmagasinée par le condensateur }} \enskip\enskip = \enskip\enskip \dfrac{1}{2}CE^2}$

e- Exercice d'application

Charge d'un condensateur

Considérons le circuit ci-dessous. Le condensateur de capacité $C$ étant déchargé, on abaisse l'interrupteur $k$ à l'instant $t=0$ .

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 23

1) Établir l'équation différentielle satisfaite par la tension $u(t)$ aux bornes du condensateur.
En déduire la constante de temps $\tau$ de ce circuit.

2) Quelles sont les expressions de $u(t)$ et $i(t)$ ?

Correction:

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3- Décharge d'un condensateur - régime libre

a- Régime libre d'un circuit $\red R,C$

Définition: Régime libre

Le régime libre (ou régime propre) caractérise l'évolution du circuit $R,C$ en l'absence de source.

b- Conditions initiales

On dispose d'un interrupteur $k$ à deux positions:

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 30

Pour $t<0$ , l'interrupteur $k$ en position $(1)$ permet la charge du condensateur (initialement déchargé). Après un intervalle de temps, égal à quelques $\tau$ , la tension $u$ atteint la valeur $E$ .

À $t=0$ , l'interrupteur $k$ est basculé en position $(2)$ , on se trouve alors dans les conditions du régime libre.

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 24

La continuité de la tension $u$ aux bornes du condensateur se traduit par:
$u(0^-)=u(0^+)=u_0=E$

c- Expressions de $\red u(t) \text{ et } i(t)$

Nous avons $u+Ri=0\text{ et }i=C\dfrac{\text{ d}u(t)}{\text{d}t}$

Soit: $\boxed{u+\tau \dfrac{\text{ d}u(t)}{\text{d}t}=0 }\enskip \enskip\enskip \enskip (\tau =RC)$

On obtient donc: $u(t)=K\text{exp}\left(\dfrac{-t}{\tau}\right)$

La constante d'intégration $K$ se déduit de la valeur initiale $u(0)=E$ :

$K=E\enskip \Longrightarrow\enskip \boxed{u(t)=E\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}$

Le courant de charge est donc:

$i=C\dfrac{\text{ d}u(t)}{\text{d}t}=-\dfrac{CE}{\tau}\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\enskip\Longrightarrow \enskip \boxed{i(t)=-\dfrac{E}{R}\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}$

Remarque: On a de plus $\text{ : }q(t)=Cu(t)\Longrightarrow \boxed{q(t)=CE\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}$

On représente les graphes de $u(t) \text{ et }i(t)\text{ :}$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 31

Continuité de $u(t)$ en $t=0$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 4

Discontinuité de $i(t)$ en $t=0$

Comme dans le cas du circuit $R,C$ soumis à un échelon de tension, le temps de relaxation $\tau=RC$ nous fournit un ordre de grandeur de la durée du régime libre.

d- Aspect énergétique

En multipliant les deux membres de l'équation de maille $u+Ri=0$ par $i\text{d}t=C\text{ d}u$ , on obtient:

$C u \text{ d}u+R i^2\text{d}t=0 \Longrightarrow \boxed{ \text{d}\left(\dfrac{1}{2} C u^2 \right)+R i^2 \text{d}t=0} \enskip \enskip \left(\text{ bilan énergétique instantané }\right)$
Intégrons le bilan instantané entre $t=0$ et $t=\infty$ (égale en pratique à quelques $\tau$ ) :

$\boxed{\dfrac{1}{2}CE^2=\mathcal{W}_J=\displaystyle\int_0^{\infty} R i^2\text{ d}t}$

Résultat

Le condensateur restitue, au cours de la décharge, sous forme d'effet Joule, l'énergie qu'il avait emmagasinée pendant la charge

II- Régimes transitoires d'un circuit R,L

1- Réponse d'un circuit R,L à un échelon de tension

a- Conditions initiales

Une source libre de tension, de f.é.m. $E$ est susceptible d'alimenter un circuit $R,L$ et on dispose de l'interrupteur $k$ à deux positions.

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 18

Pour $t<0$ , le courant circulant dans le circuit $R,L$ est supposé nul, l'interrupteur $k$ est placé en position $(1)$ à $t=0$ .

La continuité du courant dans la bobine (voir Dipôles électrocinétiques. , paragraphe II-3-b) se traduit par:

$\boxed{i(0^-)=i(0^+)=0}$

b- Expressions de $\red u(t)$ et de $\red i(t)$

Exprimons $u(t)$ et $i(t)$ pour $t>0$ .

La loi des mailles s'écrit: $E=u(t)+Ri(t) \text{ avec } u(t)=L\dfrac{\text{ d}i(t)}{\text{d}t}$

Soit: $\boxed{\dfrac{L}{R}\dfrac{\text{ d}i(t)}{\text{d}t}+i(t)=\dfrac{E}{R}}$

Posons $\tau=\dfrac{L}{R}\text{ : temps de relaxation du circuit }R,L$

On obtient donc : $i(t)=K\text{exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right) +\dfrac{E}{R}$

La constante d'intégration $K$ se déduit de la valeur initiale $i(0)=0$ :

$K=-\dfrac{E}{R}\enskip \Longrightarrow\enskip \boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)}$

La tension aux bornes de la bobine est:

$u(t)=L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}=\dfrac{LE}{R\tau}\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\enskip\Longrightarrow \enskip \boxed{u(t)=E \text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}$

Représentons les graphes de $i(t)\text{ et }u(t)\text{ :}$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 9

Continuité de $i$ en $t=0$
En effet: $i(\tau) = \dfrac{E}{R}\left(1-\text{ exp}\left(-1\right)\right)\simeq 0,63\enskip \dfrac{E}{R}$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 11

Discontinuité de $u$ en $t=0$

c- Aspect énergétique

En multipliant l'équation de maille $E=Ri+L\dfrac{\text{d}i}{\text{ d}t} \text{ par }i\text{ d}t$ , on établit le bilan énergétique instantané:

$\boxed{Ei\text{ d}t= Ri^2\text{ d}t+\text{ d}\left(\dfrac{1}{2}Li^2\right) }$
Avec:

$\mathcal{E}_m\text{ : }$ Énergie électromagnétique emmagasinée dans la bobine idéale.

Par intégration entre $t=0\text{ et }t=\infty$ (quelques $\tau$ en pratique), on en déduit le bilan énergétique de l'établissement du courant dans la bobine:

$\boxed{\mathcal{W}_{\text{Générateur}}=\mathcal{W}_{\text{Joule}}+\dfrac{1}{2}L i_M^2 } \enskip \enskip , \enskip \enskip \text{ avec } i_M=\dfrac{E}{R}$

d- Exercice d'application

Réponse d'un circuit $R,L$ à un échelon de courant

Un générateur de courant de c.é.m. $\eta$ et de résistance interne $r$ , alimente à $t=0$ le groupement série $R,L$ .

Pour $t<0$ , l'interrupteur $k$ est ouvert. On suppose que $R>>r$ .

Déterminer l'intensité $i(t)$ pour $t\geq 0$ .

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 2

Correction

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2- Régime libre du circuit R,L

a- Conditions initiales

Pour $t<0$ , l'interrupteur $k$ en position $(1)$ permet l'établissement du courant $i=i_M=\dfrac{E}{R}$ .

À $t=0$ , l'interrupteur $k$ est basculé en position $(2)$ , on se trouve alors dans les conditions du régime libre, en l'absence de source de tension

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 26

La continuité du courant dans la bobine impose:
$i(0^-)=i(0^+)=i_M=\dfrac{E}{R}$

b- Expressions de $\red i(t) \text{ et } u(t)$

Nous avons $u+Ri=0\text{ et }u=L\dfrac{\text{ d}i(t)}{\text{d}t}$

Soit: $\boxed{i+\tau \dfrac{\text{ d}i(t)}{\text{d}t}=0 }\enskip \enskip\enskip \enskip \left(\tau =\dfrac{L}{R}\right)$

On obtient donc: $i(t)=K\text{exp}\left(\dfrac{-t}{\tau}\right)$

La constante d'intégration $K$ se déduit de la valeur initiale $i(0)=i_M=\dfrac{E}{R}$ :

$K=\dfrac{E}{R}\enskip \Longrightarrow\enskip \boxed{i(t)=\dfrac{E}{R}\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}$

La tension aux bornes de la bobine est donc:

$u=L\dfrac{\text{ d}i(t)}{\text{d}t}=-\dfrac{E}{R\tau}\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\enskip\Longrightarrow \enskip \boxed{u(t)=-E\text{ exp}\left(-\dfrac{t}{\tau}\right)}$

On représente les graphes de $i(t) \text{ et }u(t)\text{ :}$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 21

Continuité de $i(t)$ en $t=0$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 20

Discontinuité de $u(t)$ en $t=0$

c- Aspect énergétique

Multiplions $u+Ri=0$ par $i\text{d}t$ , on obtient:

$L\dfrac{\text{ d}i}{\text{d}t} i\text{ d}t+R i^2\text{d}t=0 \Longrightarrow \boxed{ \text{d}\left(\dfrac{1}{2} L i^2 \right)+R i^2 \text{d}t=0}$
Par intégration entre $t=0$ et $t=\infty$ (égale en pratique à quelques $\tau$ ) :

$\boxed{\dfrac{1}{2}Li_M^2=\mathcal{W}_J=\displaystyle\int_0^{\infty} R i^2\text{ d}t}$

Résultat

L'énergie électromagnétique initiale de la bobine s'est complètement dissipée par effet Joule dans la résistance

III- Régime libre d'un circuit R,L,C série

1- Conditions initales

Considérons un groupement série de dipôles $R,L,C$ . En agissant sur un interrupteur $k$ , on fait varier le courant $i$ à partir de l'instant $t=0$ .

Dans le domaine $t>0$ , on va étudier le régime libre du circuit en l'absence de source de tension ou de courant. Ce type de circuit est caractérisé par les conditions initiales suivantes:

Continuité du courant $i$ circulant dans la bobine: $i(0^-)=i(0^+)=i_0$

Continuité de la tension $u$ aux bornes du condensateur: $u(0^-)=u(0^+)=u_0$

En outre, en sachant que le courant circulant dans la bobine et dans le condensateur est le même, le groupement série $L,C$ satisfait à:

$i_{\text{bobine}}(0^+)=i_{\text{condensateur}}(0^+)=C\left(\dfrac{\text{d} u }{\text{d}t}\right)_{(0^+)}\Longrightarrow \boxed{\left(\dfrac{\text{d} u }{\text{d}t}\right)_{(0^+)}=\dfrac{i_0}{C}}$

Quelques exemples:

Exemple 1: Décharge d'un condensateur dans un groupement série résistance-bobine:

Examinons le cas usuel de la décharge d'un condensateur $C$ de charge initiale $q_0$ dans un groupement série $(R;L)$ .

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 12

Interrupteur $k$ ouvert à $t<0\text{ : }\enskip\enskip\enskip i(0^-)=0 \enskip\text{ ; }\enskip u(0^-)=\dfrac{q_0}{C}$

Interrupteur $k$ fermé à $t\geq 0\text{ : }\enskip\enskip\enskip u_0=\dfrac{q_0}{C}\enskip \text{ ; }\enskip i_0=C\left(\dfrac{\text{d} u }{\text{d}t}\right)_{0}=0$

Exemple 2:

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 6

Pour $t<0$ ; en supposant le régime établi, le groupement $R;L$ est parcouru par $i_0=\dfrac{e}{R}$ (l'interrupteur $k$ est en position $(1)$ )

À l'instant $t=0$ , l'interrupteur $k$ est basculé en position $(2)$ , le groupement $R;L$ est alors connecté aux bornes d'un condensateur initialement chargé $q_0$ :

$u_0=\dfrac{q_0}{C}\enskip\enskip ; \enskip\enskip i_0=\dfrac{e}{R}$

2- Équation différentielle - pulsation propre - facteur de qualité

Considérons le groupement série de dipôles $R,L,C$ suivant:

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 16

Sachant que $i=C\left(\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}\right)$ , l'équation de maille du circuit s'écrit:

$\begin{matrix} L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+Ri+u=0 &\iff& LC \dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+RC\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+u=0 \\\\ &\iff& \boxed{\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{R}{L}\dfrac{\text{d} u}{\text{d}t}+\dfrac{1}{LC}u=0}\end{matrix}$

Remarque: En multipliant par $C$ , on obtient aussi $\boxed{\dfrac{\text{d}^2 q}{\text{d}t^2}+\dfrac{R}{L}\dfrac{\text{d} q}{\text{d}t}+\dfrac{1}{LC}q=0}$

La tension aux bornes du condensateur $u(t)$ , ainsi que sa charge $q(t)$ , sont donc solutions d'une équation différentielle linéaire de second ordre.

Faisons intervenir les paramètres suivants:

$\begin{matrix} \bullet & \text{ Coefficient d'amortissement}& : & \lambda=\dfrac{R}{2L} \text{ , } \text{ homogène à l'inverse d'un temps} \\ \bullet & \text{ Pulsation propre} &: & \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\text{ , } \text{ homogène à l'inverse d'un temps. } \\ \bullet &\text{ Facteur de qualité} &: & Q=\dfrac{L\omega_0}{R}=\dfrac{1}{RC\omega_0}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\text{ , }\text{ sans dimension.}\end{matrix}$

L'équation différentielle linéaire de second ordre s'écrit alors:

$\boxed{\begin{matrix} \dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+2\lambda \dfrac{\text{d} u}{\text{d}t}+\omega_0^2u=0 &\text{ ou } &\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\text{d} u}{\text{d}t}+\omega_0^2u=0 & \text{ (Réponse en tension) } \\ \dfrac{\text{d}^2 q}{\text{d}t^2}+2\lambda \dfrac{\text{d} q}{\text{d}t}+\omega_0^2 q=0 & \text{ ou }& \dfrac{\text{d}^2 q}{\text{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\text{d} q}{\text{d}t}+\omega_0^2 q=0 & \text{ (Réponse en charge) } \end{matrix} }$

3- Les divers régimes de variations

Le circuit $R, L, C$ se comporte comme un oscillateur harmonique amorti. On cherche des solutions de l'équation différentielle linéaire de second ordre $\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+2\lambda \dfrac{\text{d} u}{\text{d}t}+\omega_0^2u=0$ du type $u(t)=Ke^{rt}$ , sachant que $\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}=r^2 u \text{ et }\dfrac{\text{d} u}{\text{d}t}=ru$ , il suffit de résoudre l'équation caractéristique suivante:

$\boxed{r^2+2\lambda r +\omega_0^2=0}\enskip\enskip\enskip \text{ avec }\lambda=\dfrac{\omega_0}{2Q}$
Selon le signe du discriminant réduit $\Delta'=\lambda^2-\omega_0^2 =\omega_0^2\left(\dfrac{1}{4Q^2}-1\right)$ , on distingue les régimes suivants:

a- Régime apériodique

Pour un amortissement élevé, tel que $\Delta '>0 \enskip\text{ ; }\enskip\lambda> \omega_0\enskip \text{ ; }\enskip Q<\dfrac{1}{2}\enskip \text{ ; }\enskip 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}<R\enskip\text{ , on obtient deux racines réelles négatives : } r=-\lambda \pm \sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}$

Résultat:

$\boxed{\displaystyle u(t)=e^{-\lambda t}\left(a\enskip e^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\enskip t}+b\enskip e^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\enskip t}\right)}$

$\text{Les constantes d'intégration }a\text{ et }b \text{ étant déterminées par les conditions initiales .}$

b- Régime pseudo-périodique

Pour un amortissement faible, tel que $\Delta '<0 \enskip\text{ ; }\enskip\lambda< \omega_0\enskip \text{ ; }\enskip Q>\dfrac{1}{2}\enskip \text{ ; }\enskip 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}>R\enskip\text{ , on obtient deux racines complexes conjuguées : } r=-\lambda \pm j\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}$

_{(On rappelle que est l'unité imaginaire , on évite de le noter en physique afin de ne pas le confondre avec la notation de l'intensité électrique)}

On pose $\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}$ , et on transforme les exponentielles complexes en fonctions sinusoïdales, soit:

$\boxed{u(t)=a\enskip e^{-\lambda t }\cos\left(\Omega t+\varphi\right) }$

$\text{Les constantes d'intégration }a\text{ et }\varphi \text{ étant déterminées par les conditions initiales .}$

$\Omega$ est parfois appelé pseudo-pulsation

c- Régime critique

Pour $\Delta'=0\enskip\text{ ; }\enskip \lambda_c=\omega_0 \enskip\text{ ; }\enskip Q_c=\dfrac{1}{2} \enskip\text{ ; }\enskip R_c=2\sqrt{\dfrac{L}{C}}\text{ , on obtient une racine double : } r=-\lambda$

$\boxed{u(t)=(a+bt)e^{-\omega_0 t}}$

$\text{Les constantes d'intégration }a\text{ et }b \text{ étant déterminées par les conditions initiales .}$

4- Aspect graphique

a- Préliminaires

L'allure d'un graphe $u(t)$ , pour un certain régime de variations, dépend des conditions initiales $(u_0;i_0)$ .

On peut aisément tracer le graphe de $i$ à partir de celui de $u$ , puisque $i(t)=C\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}$ , sachant que:

$\boxed{\begin{matrix} \bullet & \left( \text{ Si }u\text{ croît , alors } i>0 \right) \enskip\enskip\text{ et } \left( \text{ si }u\text{ décroît , alors } i<0 \right)\\\\ \bullet & \left( \text{ Extrémum de }u \Longrightarrow \text{ nullité de } i\right) \enskip\enskip\text{ et } \left( \text{ inflexion de }u \Longrightarrow \text{ extrémum de } i \right) \end{matrix}}$

On examinera les régimes associés à la décharge du condensateur de capacité $C$ , intialement chargé $q_0$ . Les conditions initiales seront donc, dans toute la suite de ce cours $u_0=\dfrac{q_0}{C}\text{ et }i_0=0$

b- Régime apériodique - régime critique

On suppose que $Q\leq 0,5$ . Cherchons l'ordre de grandeur de la durée du régime libre.

Dans le cas du régime apériodique, nous avons:
$u(t)=e^{-\lambda t}\left(a\enskip e^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\enskip t}+b\enskip e^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\enskip t}\right)$

Soit pour $t$ suffisamment élevé: $u(t)\simeq a\enskip e^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\enskip t} =ae^{-t/\tau}\enskip\enskip \text{ avec }\tau=\dfrac{1}{\lambda - \sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}}=\dfrac{\lambda+\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}}{\omega_0^2} \enskip\enskip\text{ (temps de relaxation du système ) }$

Par conséquent, la durée du régime libre, de l'ordre de $\tau$ , varie avec $Q$ selon:

$Q \text{ croît }\enskip\enskip , \enskip\enskip \lambda=\dfrac{\omega_0}{2Q} \text{ décroît }\enskip\enskip , \enskip\enskip \tau \text{ décroît }$

Dans le cas du régime critique: $\lambda_c=\omega_0 \text{ et }Q_c=0,5$

On obtient $\tau_c\simeq \dfrac{1}{\omega_0}$ , qui correspond à la durée la plus brève du régime transitoire lorsque $Q\leq 0,5$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 5

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 7

c- Régime pseudo-périodique

Le facteur de qualité $Q$ étant supérieur à $Q_c=0,5$ , le signal $u(t)$ s'écrit:

$u(t)=ae^{-\lambda t}\cos(\Omega t+\varphi)$

Avec: $\lambda=\dfrac{\omega_0}{2Q}\enskip\enskip\text{ , et la pseudo-pulsation: }\enskip\enskip \Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}=\omega_0\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}<\omega_0$

Pseudo-période: Il s'agit de la période $T$ de la fonction sinusoïdale $t\mapsto \cos(\Omega t+\varphi)$ que l'on peut exprimer en fonction de la période propre $T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}$ et du facteur de qualité $Q$ :

$\boxed{T=\dfrac{2\pi}{\Omega}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\lambda}{\omega_0}\right)^2}}=\dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}}>T_0}$

Décrément logarithmique: Nous avons:

$u(t+T)=e^{-\lambda T} u(t)$

La quantité $\lambda T$ , notée $\delta$ , est appelée décrément logarithmique, et on a:

$\delta=\lambda T=\dfrac{\omega_0}{2Q}\enskip \dfrac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{1}{4Q^2}}} \text{ ; soit : }\enskip \boxed{\delta=\dfrac{2\pi}{\sqrt{4Q^2-1}}=\ln\left(\dfrac{u(t)}{u(t+T)}\right)}$

Après $n$ pseudo-périodes, $u(t+nT)$ est lié à $u(t)$ par $\boxed{\delta=\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{u(t)}{u(t+nT)}\right)}$

On trace en pratique le graphe de $u(t)$ en effectuant le produit "point par point" des graphes associés à $f_1(t)=ae^{-\lambda t}\enskip\text{ et }\enskip f_2(t)=\cos(\Omega t+\varphi)$ .

$\cos(\Omega t+\varphi)=0 \Longrightarrow u(t)=0 \enskip\text{ , et }\enskip \cos(\Omega t+\varphi)=\pm 1 \Longrightarrow u(t)=\pm ae^{-\lambda t}$

Signalons que la durée du régime pseudo-périodique, de l'ordre de $\tau=\dfrac{1}{\lambda} =\dfrac{2Q}{\omega_0}$ , augmente avec le facteur de qualité $Q$ .

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 29

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 13

5- Bilans énergétiques

On multiplie l'équation $L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+Ri+u=0\enskip \text{ par }\enskip i\text{ d}t=C\text{ d}u$ , on obtient:

$Li\text{ d}i+Cu\text{ d}u+Ri^2\text{ d}t=0\enskip\text{ soit }\enskip\text{ d}\left(\dfrac{1}{2}Li^2+\dfrac{1}{2}Cu^2\right)=-Ri^2\text{ d}t<0$

L'énergie $\boxed{\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}Cu^2+\dfrac{1}{2}Li^2 }$ emmagasinée dans le condensateur et la bobine diminue à cause de l'effet Joule dans la résistance:

$\boxed{\text{ d}\mathcal{E}=-\delta W_J }$
(Bilan énergétique instantané entre $t\text{ et }t+\text{ d}t$ )

Par intégration, entre l'état inital et le régime établi (état final d'équilibre), le bilan énergétique s'écrit:

$\boxed{\Delta\mathcal{E}=\Delta\left(\dfrac{1}{2}Cu^2+\dfrac{1}{2}Li^2\right)=-W_J=-\displaystyle \int_0^{\infty} Ri^2 \text{ d}t}$
Exercice d'application:

Interprétation énergétique du facteur de qualité

On considère un circuit $R, L,C$ série, en régime pseudo-périodique, faiblement amorti, tel que $\lambda<<\omega_0 \enskip(\text{ ou }Q>>1\text{ , facteur de qualité très élevé })$ .

1) Montrer que $T\simeq T_0\left(1+\dfrac{\delta^2}{8\pi^2}\right)$ .

2-a) Sachant que $u(t)=ae^{-\lambda t}\cos(\Omega t+\varphi)$ , quelle est l'expression approchée de l'énergie $\mathcal{E}(t)=\dfrac{1}{2}Cu^2(t)+\dfrac{1}{2}Li^2(t)\text{ ?}$

b) Exprimer le rapport $\dfrac{\mathcal{E}(t)-\mathcal{E}(t+T)}{\mathcal{E}(t)}$ en fonction du facteur de qualité $Q$ . Conclusion?

Correction

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6- Cas particulier: Oscillateur idéal L,C

On suppose à présent le cas idéal avec un amortissement nul, soit $R=0$ .

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 19

L'équation différentielle pour un circuit $L,C$ se simplifie en:
$\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\omega_0^2 u=0\enskip\enskip \text{ où }\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} \text{ la pulsation propre. }$
En conséquence, la tension $u(t)$ et le courant $i(t)=C\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}$ sont purement sinusoïdaux. Leurs expressions sont les suivantes :

$\boxed{u(t)=a\cos(\omega_0t+\varphi)\enskip\enskip\text{ , }\enskip\enskip i(t)=Ca\omega_0 \cos\left(\omega_0t+\varphi+\dfrac{\pi}{2}\right)}$

Les grandeurs $u(t) \text{ et }i(t)$ , déphasées de $\dfrac{\pi}{2}$ , sont dites en quadrature.

Lorsque $u(t)$ est extrémale, c'est-à-dire $u(t)=\pm a$ , on a $i(t)=0$ , et ceci pour tout $t$ vérifiant $\omega_0 t+\varphi=n\pi$

Lorsque $u(t)=0$ , alors $i(t)$ est extrémale, égale à $\pm Ca \omega_0$ , et ceci pour tout $t$ vérifiant $\omega_0 t+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$

Le bilan énergétique devient pour $R=0\text{ : }$

$\text{d}\mathcal{E}=0\text{ , soit: }\boxed{\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}Cu^2+\dfrac{1}{2}Li^2 = \text{cte}}$

L'énergie électromagnétique se conserve dans un circuit $L,C$ idéal.

IV- Réponse d'un circuit R,L,C série à un échelon de tension

Pour $t<0$ , l'interrupteur $k$ est ouvert et le condensateur est déchargé .

À l'instant $t=0$ , le groupement $R,L,C$ série est connecté à une source de tension de f.e.m. $E$ . Par continuité, nous avons $u_0=0\text{ et }i_0=0$ .

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 25

1- Régime transitoire - régime établi

En remplaçant $u$ par $u-E$ dans les équations différentielles du III-2) , il vient:

$\boxed{\dfrac{\text{d}^2 u}{\text{d}t^2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}+\omega_0^2 u= \omega_0^2 E}$

La solution $u(t)$ de cette équation différentielle se met sous la forme $u(t)=E+u_1(t)$ , avec:

$E=u_2\text{ : }$ Solution particulière de l'équation différentielle.

$u_1(t)\text{ : }$ Solution générale sans second membre de l'équation.

La partie $u_1(t)$ correspond au régime libre, étudié en III) (régime apériodique, critique, ou pseudo-périodique, suivant les valeurs de $Q$ ).

Pendant la durée d'existence du régime libre, le circuit $R,L,C$ se trouve en régime transitoire. Cependant, au bout d'un temps égal à quelques $\tau$ (temps de relaxation), on parvient à un régime établi, indépendant du temps, tel que $u_1\simeq 0\text{ et }u\simeq E$ .

Graphiques:

Cas $R<2\sqrt{\dfrac{L}{C}}\text{ , régime pseudo périodique :}$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 27

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 17

Cas $R\geq 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}\text{ , régime apériodique :}$

Régimes transitoires d'un circuit R, L, C : image 15

Signalons que le régime établi ne dépend pas des conditions initiales $(u_0, i_0)$ puisque $u_1(t)\to 0$ lorsque $t\to\infty$ quelles que soient les conditions d'intégration.

2- Aspect énergétique

On multiplie l'équation $L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}+Ri+u=E\enskip \text{ par }\enskip i\text{ d}t=C\text{ d}u$ , on obtient:

$Li\text{ d}i+Cu\text{ d}u+Ri^2\text{ d}t=E i\text{ d}t\enskip\text{ soit }\enskip \boxed{Ei\text{ d}t=\text{ d}\left(\dfrac{1}{2}Li^2+\dfrac{1}{2}Cu^2\right)+Ri^2\text{ d}t=\text{ d}\mathcal{E}+\delta W_J }$
$Ei\text{ d}t=E\text{ d}q$ étant l'énergie fournie par le générateur entre $t\text{ et }t+\text{ d}t$

Par intégration, entre l'état inital et le régime établi (état final d'équilibre):

$E \displaystyle \int_{q(0)}^{q(\infty)} \text{ d}q = \dfrac{1}{2} L (i^2(\infty)-i^2(0))+\dfrac{1}{2} C(u^2(\infty)-u^2(0))+\int_0^{\infty} R i^2\text{ d}t$

Comme $q(0)=u(0)=i(0)=0 \text{ et }q(\infty)=CE \text{ car }u(\infty)=E \text{ , tandis que }i(\infty)=0\text{ , on aboutit à: }$

$CE^2=\dfrac{1}{2}CE^2+W_J \Longrightarrow \boxed{W_J=\dfrac{1}{2}CE^2}$

La bobine n'intervient pas dans le bilan énergétique global de la charge du condensateur. L'énergie fournie par le générateur se répartit à égalité entre résistance (effet Joule) et condensateur (énergie emmagasinée qui sera restituée lors de la décharge).

Publié par malou/Panter le 29-08-2025

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Régimes transitoires d'un circuit R, L, C

I- Charge et décharge d'un condensateur d'un circuit R, C

1- Echelons de tension ou de courant

2- Réponse à un échelon de tension: charge d'un condensateur

3- Décharge d'un condensateur - régime libre

II- Régimes transitoires d'un circuit R,L

1- Réponse d'un circuit R,L à un échelon de tension

2- Régime libre du circuit R,L

III- Régime libre d'un circuit R,L,C série

1- Conditions initales

2- Équation différentielle - pulsation propre - facteur de qualité

3- Les divers régimes de variations

4- Aspect graphique

5- Bilans énergétiques

6- Cas particulier: Oscillateur idéal L,C

IV- Réponse d'un circuit R,L,C série à un échelon de tension

1- Régime transitoire - régime établi

2- Aspect énergétique

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