Fiche de physique - chimie
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Cinématique du point matériel

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exercice 1. Équations horaires et trajectoire

Les équations horaires du mouvement d'un point matériel tiré dans l'espace sont : \left\lbrace\begin{array}l x(t)= 2t \\ y(t) = 0 \\ z(t) = -5t^2 + 4t \end{array}

Toutes les unités sont dans le système international SI.

1.Trouver l'équation cartésienne de la trajectoire.
2. A quoi correspond-elle ?
3. Écrire l'expression du vecteur position au temps t = 2 ~ s.



exercice 2. Vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne

Le mouvement (dans une seule direction) d'un point est défini par l'équation horaire : s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12 t + 1

a. Calculer la vitesse et l'accélération à la date t.
b. Étudier le mouvement du point lorsque t croît de 0 à + \infty (expliquer dans quel sens se déplace le point et si le mouvement est accéléré ou retardé).



exercice 3: Mouvement curviligne

Dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}), le mouvement d'un mobile M est défini par les équations suivantes: \left\lbrace\begin{array}l x(t) = t^3 - 3t \\ y(t) = -3t^2 \\ z(t) = t^3 + 3t \end{array}

a.Calculer les coordonnées à la date t, du vecteur vitesse \vec{v} et celles du vecteur accélération \vec{\gamma} du mobile M.
b.Calculer la norme du vecteur \vec{v} et montrer que ce vecteur fait un angle constant avec (Oz).









exercice 1. Équations horaires et trajectoire



1. Etablir l'équation cartésienne de la trajectoire :

Il s'agit d'établir, en éliminant le paramètre temps, la relation (ou les relations) associant les coordonnées cartésiennes du mobile M.

On remarque tout d'abord; qu'à tout instant y = 0, la trajectoire de M se situe donc dans le plan (xOz), l'équation cartésienne va relier x et z :

x(t) = 2t  \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} x

Reste à substituer t dans l'autre équation :

z(t) = -5t^2 + 4t = -5( \dfrac{1}{2}x)^2 + 4( \dfrac{1}{2}x) = -\dfrac{5}{4}x^2+2x

Il faut également se poser la question de l'intervalle de variation de l'abscisse x du mobile. Supposons que le mouvement soit étudié pour:  t \in [0, 30 s] pendant cet intervalle de temps, x varie de 0 à 60 m.

L'équation cartésienne de la trajectoire est donc

\left\lbrace\begin{array}l y = 0 \\ z = -\frac{5}{4}x^2+2x\end{array} x \in [0 ~ m ; 60 ~ m]

2. z(x) est un polynôme du 2nd degré en x : la trajectoire est donc parabolique, son axe (de symétrie) ayant la direction de (Oz).

3. Position du mobile à t = 2 s

\vec{OM} \begin{pmatrix} x(t=2) \\y(t=2) \\z(t=2) \\ \end{pmatrix}

soit \boxed{\vec{OM} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-12 \\ \end{pmatrix}}



exercice 2. Vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne



a. On commence par bien prendre note que le mouvement se fait "dans une seule direction", la trajectoire est donc rectiligne :

\vec{OM},  \vec{v} et \vec{a} sont portés par la même direction

v(t) = \dfrac{ds}{dt} et a(t) = \dfrac{dv}{dt}  = \dfrac{d^2s}{dt^2}

Soit en dérivant 2 fois s(t):

v(t) = 6t^2 - 18t +12

a(t) = 12t - 18

L'étude de ce mouvement dont on sait qu'il est rectiligne, va consister à déterminer dans quel sens se déplace le mobile (c'est le signe de la vitesse qui va nous le dire) et à savoir quand il accélère (accélération positive) et quand il décélère (accélération négative)

v(t) = 6t^2 - 18t +12 = 6(t-1)(t-2)

\boxed{a(t) = 12t - 18 = 6(2t-3)}

b. \begin{array}{|c|ccccccccc|}{t&0&&1&&1,5&&2&& + \infty\\ {v(t)}&&+&0&-&&-&0&+& \\ {a(t)}&&-&&-&0&+&&+&& \end{array}

Le mouvement se décompose en 4 phases :
- entre 0 et 1 s: le mobile se déplace d'un sens en décélérant (vecteurs vitesse et accélération ont des sens opposés). A t = 1 s sa vitesse devient nulle ;
- entre 1 s et 1,5 s: le mobile se déplace dans l'autre sens en accélérant (vecteurs vitesse et accélération ont même sens). A t = 1,5 s son accélération devient nulle :
- entre 1,5s et 2 s: le mobile poursuit dans le même sens en décélérant cette fois. A t = 2 s sa vitesse s'annule à nouveau ;
- ensuite, le mobile répare dans le sens initial, en accélérant indéfiniment.



exercice 3. Mouvement curviligne

Cinématique du point matériel : image 1


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