Cinématique du point matériel

exercice 1. Équations horaires et trajectoire

Les équations horaires du mouvement d'un point matériel tiré dans l'espace sont : $\left\lbrace\begin{array}l x(t)= 2t \\ y(t) = 0 \\ z(t) = -5t^2 + 4t \end{array}$

Toutes les unités sont dans le système international SI.

1.Trouver l'équation cartésienne de la trajectoire.
2. A quoi correspond-elle ?
3. Écrire l'expression du vecteur position au temps $t = 2 ~ s$ .

exercice 2. Vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne

Le mouvement (dans une seule direction) d'un point est défini par l'équation horaire : $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12 t + 1$

a. Calculer la vitesse et l'accélération à la date $t$ .
b. Étudier le mouvement du point lorsque t croît de $0$ à $+ \infty$ (expliquer dans quel sens se déplace le point et si le mouvement est accéléré ou retardé).

exercice 3: Mouvement curviligne

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ ), le mouvement d'un mobile $M$ est défini par les équations suivantes: $\left\lbrace\begin{array}l x(t) = t^3 - 3t \\ y(t) = -3t^2 \\ z(t) = t^3 + 3t \end{array}$

a.Calculer les coordonnées à la date $t$ , du vecteur vitesse $\vec{v}$ et celles du vecteur accélération $\vec{\gamma}$ du mobile $M$ .
b.Calculer la norme du vecteur $\vec{v}$ et montrer que ce vecteur fait un angle constant avec $(Oz)$ .

Voir la correction

exercice 1. Équations horaires et trajectoire

1. Etablir l'équation cartésienne de la trajectoire :

Il s'agit d'établir, en éliminant le paramètre temps, la relation (ou les relations) associant les coordonnées cartésiennes du mobile $M$ .

On remarque tout d'abord; qu'à tout instant $y = 0$ , la trajectoire de $M$ se situe donc dans le plan $(xOz)$ , l'équation cartésienne va relier $x$ et $z$ :

$x(t) = 2t \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} x$

Reste à substituer $t$ dans l'autre équation :

$z(t) = -5t^2 + 4t = -5( \dfrac{1}{2}x)^2 + 4( \dfrac{1}{2}x) = -\dfrac{5}{4}x^2+2x$

Il faut également se poser la question de l'intervalle de variation de l'abscisse x du mobile. Supposons que le mouvement soit étudié pour: $t \in [0, 30 s]$ pendant cet intervalle de temps, x varie de 0 à 60 m.

L'équation cartésienne de la trajectoire est donc

$\left\lbrace\begin{array}l y = 0 \\ z = -\frac{5}{4}x^2+2x\end{array}$ $x \in [0 ~ m ; 60 ~ m]$

2. $z(x)$ est un polynôme du 2nd degré en $x$ : la trajectoire est donc parabolique, son axe (de symétrie) ayant la direction de $(Oz)$ .

3. Position du mobile à t = 2 s

$\vec{OM} \begin{pmatrix} x(t=2) \\y(t=2) \\z(t=2) \\ \end{pmatrix}$

soit $\boxed{\vec{OM} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-12 \\ \end{pmatrix}}$

exercice 2. Vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne

a. On commence par bien prendre note que le mouvement se fait "dans une seule direction", la trajectoire est donc rectiligne :

$\vec{OM}, \vec{v}$ et $\vec{a}$ sont portés par la même direction

$v(t) = \dfrac{ds}{dt}$ et $a(t) = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$

Soit en dérivant 2 fois s(t):

$v(t) = 6t^2 - 18t +12$

$a(t) = 12t - 18$

L'étude de ce mouvement dont on sait qu'il est rectiligne, va consister à déterminer dans quel sens se déplace le mobile (c'est le signe de la vitesse qui va nous le dire) et à savoir quand il accélère (accélération positive) et quand il décélère (accélération négative)

$v(t) = 6t^2 - 18t +12 = 6(t-1)(t-2)$

$\boxed{a(t) = 12t - 18 = 6(2t-3)}$

b. $\begin{array}{|c|ccccccccc|}{t&0&&1&&1,5&&2&& + \infty\\ {v(t)}&&+&0&-&&-&0&+& \\ {a(t)}&&-&&-&0&+&&+&& \end{array}$

Le mouvement se décompose en 4 phases :
- entre 0 et 1 s: le mobile se déplace d'un sens en décélérant (vecteurs vitesse et accélération ont des sens opposés). A t = 1 s sa vitesse devient nulle ;
- entre 1 s et 1,5 s: le mobile se déplace dans l'autre sens en accélérant (vecteurs vitesse et accélération ont même sens). A t = 1,5 s son accélération devient nulle :
- entre 1,5s et 2 s: le mobile poursuit dans le même sens en décélérant cette fois. A t = 2 s sa vitesse s'annule à nouveau ;
- ensuite, le mobile répare dans le sens initial, en accélérant indéfiniment.