Fiche de physique - chimie
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MODÉLISATION DE L'ÉCOULEMENT D'UN FLUIDE

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Cette fiche est la suite du cours sur la statique des fluides et aborde les sujets suivants :

La poussée d'Archimède ;
L'écoulement d'un fluide parfait incompressible (loi de Bernoulli).

On suppose dans toute la suite que le référentiel d'étude est galiléen.

I. Notions fondamentales : rappels

* Cette fiche fait appel à des notions déjà abordées en classe de première :
notions de fluide et de particule fluide ;
description d'un système : notions de pression, volume, densité, etc. ;
phases d'un corps : solide, liquide, gaz.

* Les fiches suivantes permettent de revoir ces notions si nécessaire :
fiches Statique des fluides ;
fiches Les transformations physiques ;

II. Poussée d' Archimède

1. Introduction

* Considérons une boîte rectangulaire étanche immergée dans l'eau :

Modélisation de l'écoulement d'un fluide : image 18

* Nous savons que la pression dans un fluide au repos augmente avec la profondeur (loi fondamentale de l'hydrostatique) :
la pression P2 exercée par l'eau sur le fond de la boîte est donc plus élevée que la pression P1 exercée sur le sommet de la boîte ;
les forces de pression exercées vers le haut sur le fond de la boîte sont donc plus fortes que celles qui s'exercent sur le sommet de la boîte, vers le bas ;
d'autre part les forces de pression latérales (en vert) se compensent ;

* On en déduit que la boîte subit une force résultante dirigée vers le haut, notée \vec{P_A} (parfois \vec{\Pi} ou \vec{F_A}), et appelée poussée d'Archimède (à ne pas confondre avec une pression !) en l'honneur du grand savant grec qui a découvert ce phénomène dans l'Antiquité.

* Le résultat peut être généralisé à tout corps plongé dans un fluide, quelle que soit sa forme.

2. Énoncé du principe d'Archimède

Principe d'Archimède
* Tout corps plongé dans un fluide incompressible et au repos (*), subit une force verticale, dirigée vers le haut, qui est l'opposé du poids du fluide déplacé : cette force est appelée poussée d'Archimède. Elle correspond à la résultante des forces de pression que le fluide exerce sur le corps.

* Dans le cas d'un fluide homogène (masse volumique constante), la poussée d'Archimède \overrightarrow{P_A} s'écrit :

 \boxed{\overrightarrow{P_A} =  - \overrightarrow{P} _{fluide} _{déplacé} = - \rho_{fluide} V_{immergé} \overrightarrow{g}}

* Sa valeur est donnée par :

\boxed{P_A = \rho_{fluide} \cdot V_{immergé} \cdot g}

avec :

\overrightarrow{P_A} : poussée d'Archimède subie par le corps (en N) ;
\overrightarrow{P}_{\text{fluide déplacé}} : poids du volume de fluide déplacé (pour plonger le corps) ;
\rho_{fluide} : masse volumique du fluide (en kg/m3) ;
V_{\text{immergé}} : volume de la partie immergée du corps (en m3) ;
\overrightarrow{g} : accélération de la pesanteur (supposée uniforme), en m.s-2.

(*) dans un champ de pesanteur uniforme

* ATTENTION !
Le principe d'Archimède s'applique aux corps complètement immergés, mais pas toujours aux corps qui ne sont que partiellement immergés. C'est ainsi qu'il s'applique aux corps qui flottent dans un liquide. Mais il n'est pas valable dans le cas du bouchon d'un lavabo rempli !
La poussée d'Archimède dépend de la masse volumique du fluide , et non pas de celle du corps . Ainsi un même volume immergé d'acier et de bois subiront la même poussée d'Archimède (s'ils sont plongés dans le même fluide).

* Remarques :
Le principe d'Archimède se démontre aujourd'hui à l'aide des lois de la physique : il est donc aussi appelé le théorème d'Archimède.
Il s'applique à tous les fluides et donc aussi aux gaz.

3. Flottabilité des corps

* Une des conséquences du principe d'Archimède est que certains corps flottent à la surface de l'eau.

* Étudions le mouvement d'un corps de masse volumique rho et de volume V, plongé entièrement dans l'eau puis relâché sans vitesse initiale (voir figure). Le corps est soumis à deux forces (si on néglige les frottements) :
son poids \overrightarrow{P} ;
et la poussée d'Archimède \overrightarrow{P_A} exercée par l'eau sur le corps.

Modélisation de l'écoulement d'un fluide : image 19

* Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la 2ème loi de Newton nous permet d'écrire :

\overrightarrow{P} + \overrightarrow{P_A} = m \cdot \overrightarrow{a}

* On en déduit que l'accélération est verticale, et en projetant sur la verticale orientée positivement vers le haut, on trouve :

\boxed{ m \cdot a = P_A - P }

* Or nous connaissons les valeurs des forces :
P = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g (car \rho = \frac{m}{V} donc m = \rho \cdot V) ;
et d'après le principe d'Archimède, P_A = \rho_{eau} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g = \rho_{eau} \cdot V \cdot g (car le corps est totalement immergé donc V_{\text{immergé}} = V).

* Nous obtenons finalement la relation :

\boxed{ m \cdot a = P_A - P = \rho_{eau} \cdot V \cdot g - \rho \cdot V \cdot g = (\rho_{eau} - \rho) \cdot V \cdot g }

* L'accélération verticale est donc du signe de \rho_{eau} - \rho = \rho_{eau} \cdot (1 - d)d = \dfrac{\rho}{\rho_{eau}} est par définition la densité du corps.

* Résultat :
Si le corps est plus dense que l'eau (d > 1 ou encore \rho > \rho_{eau} ), son accélération a < 0 et donc il accélère vers le bas : le corps coule ;
Si le corps est moins dense que l'eau (d < 1 ou encore \rho < \rho_{eau} ), son accélération a > 0 et donc il accélère vers le haut : le corps remonte en surface et flotte ;
Si le corps a la même densité que l'eau (d = 1 ou encore \rho = \rho_{eau} ), son accélération est nulle et donc il reste au repos : le corps flotte entre deux eaux (c'est le cas d'un poisson immobile dans l'eau).

* Remarques :
Le résultat se généralise à d'autres liquides: par exemple, un corps flotte dans l'huile si sa masse volumique rho < rhohuile ou encore si sa densité d est inférieure à celle de l'huile : d < dhuile (environegal0,9).
Le résultat est valable même si le corps n'est pas homogène : dans ce cas, \rho = \frac{m}{V} représente sa masse volumique moyenne et d sa densité moyenne.
Attention ! Si le corps est un gaz (une bulle dans l'eau par exemple) la densité est définie différemment et il faut alors raisonner avec les masses volumiques.

4. Étude d'un corps flottant


a. Enoncé

* Considérons un glaçon en forme de cube (de côté a) flottant à la surface de l'eau dans un verre :

Modélisation de l'écoulement d'un fluide : image 14

* En négligeant la poussée d'Archimède due à l'air, de quelle hauteur h s'enfonce-t-il dans l'eau ?

* Données : rhoglace environegal 900 kg/m3 ; rhoeau environegal 1000 kg/m3 ; a = 3 cm


b. Solution

* Le glaçon est soumis à deux forces (voir figure) :
son poids \overrightarrow{P}
et la poussée d'Archimède \overrightarrow{P_A} exercée par l'eau sur le glaçon.

* Nous connaissons les valeurs des forces :
P = m . g = rhoglace . V . g = rhoglace . g . a3 (car V = a3 pour le cube)
et d'après le principe d'Archimède, PA = rhoeau . Vimmergé . g

* Attention : le corps n'étant pas complètement immergé, il faut calculer le volume du glaçon qui se trouve sous l'eau : Vimmergé = h . a2 ( Vimmergé < Vglaçon)

* On trouve finalement :

\boxed{ P = \rho_{glace} \cdot g \cdot a^3 } \; et \; \boxed{ P_A = \rho_{eau} \cdot g \cdot h \cdot a^2 }

* Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le glaçon est au repos, donc d'après la 1ère loi de Newton la somme des forces est nulle. En projection sur l'axe (Oz), nous en déduisons :

\boxed{ P_A - P = 0} \rightarrow \boxed{P_A = P} \rightarrow \boxed{\rho_{eau} \cdot g \cdot h \cdot a^2 = \rho_{glace} \cdot g \cdot a^3}

* Ce qui donne la réponse :

\boxed{ h = \dfrac{a \cdot \rho_{glace}} {\rho_{eau}} = 2,7 cm}

* On trouve donc que 90% du volume du glaçon est immergé (\frac{h}{a} = \frac{2,7}{3} = 0,9) et donc que seulement 10% de la glace émerge, résultat qui est bien connu pour les icebergs.

5. Cas de l'atmosphère terrestre

* Le principe d'Archimède s'applique aux gaz et donc en particulier à l'air ambiant sur Terre.

* Les corps présents dans l'atmosphère sont donc soumis à la poussée d'Archimède. Cette dernière est toutefois négligeable lorsque les corps ont une masse volumique bien supérieure à celle de l'air (rhoair environegal 1,3 kg/m3), ce qui est très souvent le cas. Même avec du polystyrène expansé de densité très faible (d = 0,02, rho = 20 kg/m3) la poussée d'Archimède n'atteint que 6% du poids environ.
En revanche, la poussée d'Archimède dans l'air n'est plus du tout négligeable lorsque le système étudié est lui-même constitué de gaz, ce qui est le cas par exemple pour une montgolfière ou un ballon de foire.
Les gaz plus denses que l'air (CO2 par exemple) ont donc tendance à s'accumuler au sol (s'ils sont dégagés en grande quantité). Les gaz moins denses que l'air (H2, He par ex.) ont au contraire tendance à s'élever .
* Ainsi pour un ballon à l'hélium (rhoHe environegal 0,18 kg/m3) de volume V = 7L et dont l'enveloppe a une masse de 2g, on trouve (avec genvironegal10 N/kg) :
poids de l'hélium : P = m . g = rhoHe . V . g environegal 0,18 x 0,007 x 10 = 1,3 10-2 N ;
poids de l'enveloppe : 0,002 x 10 = 2.10-2 N ;
poids total du ballon gonflé: 3,3 10-2 N ;
poussé d'Archimède : PA = rhoair . V . g environegal 1,3 x 0,007 x 10 = 9,1 10-2 N.
La poussée d'Archimède est environ trois fois plus grande que le poids du ballon et donc celui-ci monte dès qu'on le lâche.

III. Ecoulement d'un fluide

1. Définitions

Modèle de la particule fluide
On appelle particule fluide une partie du fluide dont le volume est :

suffisamment petit à notre échelle pour être assimilé à un point,

et suffisamment grand pour contenir un très grand nombre d'atomes (ou molécules).

Modélisation de l'écoulement d'un fluide : image 12

* Un fluide peut être considéré à notre échelle comme un milieu continu déformable, composé de nombreuses particules fluides (voir figure).

* Le grand nombre d'atomes (ou molécules) dans chaque particule fluide va permettre de définir des grandeurs physiques moyennes (comme la pression) et ainsi caractériser le fluide en chacun de ses points.

* Chaque particule fluide peut aussi avoir un mouvement d'ensemble caractérisé par la vitesse de son centre de masse.

Viscosité d'un fluide
La viscosité caractérise la difficulté avec laquelle un fluide s'écoule. Ainsi le miel ou la sève sont des liquides très visqueux : ils s'écoulent très lentement et collent aux parois. En revanche l'eau est peu visqueuse.

Fluide parfait
Un fluide est parfait (ou idéal) si sa viscosité est négligeable : il n'y a aucun frottement du fluide contre les parois, ni entre les différentes couches du fluide.

Ecoulement permanent
Un écoulement est permanent si la vitesse des particules fluides passant en un point particulier reste la même (constante) au cours du temps.

Attention ! Ceci ne signifie pas que les particules fluides ont une vitesse constante. Cela signifie que si on considère un tuyau par exemple, les nombreuses particules qui en sortent au cours du temps ont toutes la même vitesse de sortie.

2. Mouvement d'un fluide

* L'étude d'un fluide en mouvement est beaucoup plus complexe que celle d'un point matériel ou d'un solide.

* Après avoir choisi un référentiel et défini le système, c'est-à-dire un ensemble de particules fluides, il faut décrire le mouvement du fluide par un champ de vitesse, qui est l'ensemble des vecteurs vitesse de toutes les particules fluides.


a. Hypothèses

* Dans toute la suite, nous ferons les hypothèses simplificatrices suivantes :
le fluide est parfait et incompressible ;
l'écoulement est permanent (ou encore stationnaire) ;
l'écoulement n'est pas turbulent, on dit qu'il est laminaire : par exemple le filet d'eau sortant d'un robinet ou un écoulement d'huile sont en général laminaires, c'est à dire très régulier, sans tourbillon. A l'opposé, l'écoulement d'un torrent de montagne est turbulent, du fait des obstacles que rencontre l'eau.


Propriétés de l' écoulement permanent d'un fluide parfait incompressible

* Ce type d'écoulement a les caractéristiques suivantes (voir figure) :
dans toute section droite de l'écoulement la vitesse des particules fluides est uniforme ;
lors de l'écoulement, chaque particule fluide suit une certaine trajectoire, appelée ligne de courant: la particule garde un volume constant le long de sa ligne de courant, mais elle peut se déformer tandis que sa vitesse et sa pression peuvent varier.
En régime laminaire, l'écoulement reste confiné dans des tubes de courant, c'est-à-dire des ensembles de lignes de courant qui se déforment au cours de l'écoulement. Les tubes de courant se comportent comme des "tuyaux" entourant les particules fluides : le fluide ne peut pas traverser un tube de courant (de même qu'il ne peut pas traverser la paroi d'un (vrai) tuyau qui pourra être assimilée à un tube de courant).
D'autre part, l'écoulement vérifie certaines lois simples comme celle de Bernoulli.

Modélisation de l'écoulement d'un fluide : image 11

Remarque : dans un écoulement laminaire, les lignes de courants sont simples et deux lignes de courants voisines restent voisines au cours du temps.

3. Conservation du débit volumique

Définition générale
* Le débit volumique, noté DV, est la grandeur physique qui caractérise le volume V de fluide qui traverse une surface S donnée par unité de temps (deltamajt).

\boxed{D_V = \dfrac{ V}{ \Delta t}}

* Son unité est le mètre cube par seconde (m3/s).

Débit volumique d'un écoulement incompressible
* Dans un écoulement incompressible, le volume d'une particule fluide reste constant au cours du temps et le débit volumique DV a alors une expression très simple :

\boxed{D_V = v \times S}

avec :
D_V : débit volumique (en m3/s) ;
S : surface traversée par l'écoulement (en m2) ;
v : vitesse d'écoulement du fluide (en m/s).

* Attention ! la vitesse vectv du fluide traversant la surface doit être uniforme et normale à la surface. C'est bien le cas dans toute section droite si le fluide est parfait.

Conservation du débit volumique
Lors d'un écoulement incompressible et permanent, le débit volumique se conserve le long d'un tube de courant : il ne dépend ni du temps ni de de la surface choisie.

* Remarques :
La conservation du débit volumique est assez intuitive: chaque seconde, le volume d'eau qui entre dans un tuyau ressort à l'autre extrémité (sauf s'il y a une fuite). La physique précise toutefois que ce n'est vrai que pour un fluide incompressible en écoulement permanent.
Cette loi de conservation est très utile pour calculer la vitesse du fluide en différents endroits.

* Exemple :
Considérons un tuyau de section variable dans lequel circule de l'eau :

Modélisation de l'écoulement d'un fluide : image 15

En régime permanent et en assimilant l'eau à un fluide parfait incompressible, la conservation du débit volumique DV tout au long de l'écoulement nous permet d'écrire les relations :

\boxed{D_V = v_1 \cdot S_1 = v_2 \cdot S_2 = v_3 \cdot S_3}

La surface des sections droites étant en général connue (car elle ne dépend que de la géométrie du tuyau), il suffit alors de connaitre une des vitesses pour en déduire les autres, à n'importe quel endroit de l'écoulement!

IV. Théorème de Bernoulli

1. Énoncé du théorème

* Dans l'hypothèse du fluide parfait, en l'absence de tout frottement (visqueux ou autre), l'énergie mécanique d'une particule fluide est constante le long de sa ligne de courant. En prenant en compte son énergie cinétique, son énergie potentielle de pesanteur et le travail des forces de pression, Bernoulli a démontré le théorème suivant :

Théorème de Bernoulli
Lors de l'écoulement permanent d'un fluide parfait incompressible, la quantité suivante se conserve en tout point M d'une même ligne du courant (voir figure):

\boxed{\displaystyle {\dfrac{v^{2}}{2}} + g \cdot h + {\dfrac{p}{\rho }} = \mathrm {constante}}

où :
p est la pression du point M considéré (en Pa) ;
rho est la masse volumique du fluide (en kg/m3) ;
v est la vitesse du fluide en M (en m/s) ;
g est l'accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s2) ;
h est la hauteur du point M (en m).

Modélisation de l'écoulement d'un fluide : image 13
* Attention ! le théorème ne s'applique pas si l'écoulement se fait avec échange de travail autre que celui de la pesanteur et des forces de pression (par exemple en présence d'une pompe, d'une turbine ou d'une hélice).

Exemple :
Sur la figure ci-dessus, on peut appliquer le théorème de Bernouilli sur la ligne de courant reliant A et B. On obtient alors :

\boxed{\displaystyle {\dfrac{v_1^{2}}{2}} + g \cdot h_1 + {\dfrac{p_1}{\rho }} = \displaystyle {\dfrac{v_2^{2}}{2}} + g \cdot h_2 + {\dfrac {p_2}{\rho }}}

* Remarques :
D'une manière générale, la conservation du débit volumique permet de calculer les vitesses d'écoulement en différents points et le théorème de Bernoulli fournit ensuite une relation simple entre les pressions.
Lorsque l'écoulement est horizontal, les lignes de courant ont une altitude constante et la relation se simplifie (puisque h1 = h2) :

\boxed{\displaystyle {\dfrac {v_1^{2}}{2}}+{\dfrac {p_1}{\rho }} = \displaystyle {\dfrac {v_2^{2}}{2}}+{\dfrac {p_2}{\rho }}}

2. Application : l'effet Venturi

* Considérons un tuyau horizontal de section variable dans lequel circule de l'eau :
Modélisation de l'écoulement d'un fluide : image 16
* On supposera que l'écoulement est permanent et on assimilera l'eau à un fluide parfait incompressible.
1. Nous avons déjà vu que la conservation du débit DV permettait d'écrire les relations :

DV = v1 . S1 = v2 . S2

On en déduit que :
\boxed{v_2 = \dfrac{v_1 \cdot S_1}{S_2}} \;

2. D'autre part, le théorème de Bernoulli appliqué à une ligne de courant partant de S1 et arrivant sur S2 nous permet d' écrire :

\boxed{\displaystyle {\dfrac {v_1^{2}}{2}}+{\dfrac{p_1}{\rho }} = \displaystyle {\dfrac{v_2^{2}}{2}}+{\dfrac{p_2}{\rho }}}

(en appelant p1 la pression dans la section S1, et p2 la pression dans la section S2)

donc
\boxed{\displaystyle { p_2 = p_1 + \rho \cdot \dfrac {v_1^{2} - v_2^{2}}{2}} }}

et comme \boxed{v_2 = \dfrac{v_1 \cdot S_1}{S_2}} \; , on trouve finalement :
\boxed{\displaystyle { p_2 = p_1 + \rho \cdot \dfrac {v_1^{2}}{2} \big(\;1 - (\dfrac {S_1}{S_2})^2\;\big) }}

On en déduit l'effet Venturi.

Effet Venturi
Lors de l'écoulement horizontal permanent d'un fluide parfait incompressible :

Si la section diminue, la vitesse augmente et la pression diminue.

Si la section augmente, la vitesse diminue et la pression augmente.

En effet, si S2 < S1 alors  \dfrac{S_1}{S_2} > 1} et on obtient :

\boxed{v_2 = \dfrac{v_1 \cdot S_1}{S_2}} \; > v_1

\boxed{\displaystyle {p_2 = p_1 + \rho \cdot \dfrac {v_1^{2}}{2} (\;1 - (\dfrac{S_1}{S_2})^2\;) }} < p_1 (car le terme ajouté à p1 est négatif)

V. Cas des fluides réels

* Le modèle du fluide parfait incompressible n'est qu'une approximation du comportement des fluides : il ne permet que de traiter certains problèmes simples ou encore d'obtenir rapidement un ordre de grandeur du résultat.

* Lors de l'écoulement d'un fluide réel, des phénomènes dissipatifs apparaissent :
la vitesse du fluide n'est pas uniforme dans une section droite: elle diminue près de la paroi (elle est même nulle au contact de la paroi). Ce phénomène dû à la viscosité diminue le débit volumique.
il n'est pas possible de négliger les pertes d'énergie mécanique car des frottements se produisent à cause des "accidents" de canalisation, c'est-à-dire des modifications géométriques de la conduite (coudes, raccords, variations de section, présence d'un robinet, etc.). Il en résulte une diminution de la pression interne du fluide au fur et à mesure qu'il s'écoule.

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