Niveau terminale

variation de la vitesse de vidange d un clepsydre

Posté par
laotze 15-09-05 à 23:07

Bonjour à tous!

J'ai un problème à résoudre (niveau TS), qui d'atilleurs est donné dans le titre, si vous pouviez m'aider ce serait sympa!

En fait il s'agit d'un problème de physique (méca de fluide) que j'ai traité à la manière analytique (puisque je voudrais connaître comment varie le niveau d'eau dans la partie sup du clepsydre en fonction de la forme de celui-ci):

On considère la fonction f qui à z associe $5$ b\sqrt{z}$ (b>0)

On considère un clepsydre à eau vertical de la forme suivante. Soit A et B : A se situe toujours à la surface de l'eau et B se situe à la sortie de la partie supérieure du réservoir.
Soient S(z) la fonction la section (circulaire) du niveau de A et s l'aire la section circulaire de la sortie en B (s est non nulle).

On admet que S(z)*v_a = s*v_b     (1)
où v_a et v_b sont les vitesses d'écoulement en A et en B respectivement (v_a  et v_b varient en fonction de z(t) définie sur [0;H] et z diminue en fonction du temps).

On admettra par ailleurs que v_b = $5$ \sqrt{2gz(t)}$

Puisque v_a est la dérivée de |z(t)|  (on considère que v_a(t) est continue pour tout t de R*+), on a v_a= $5$ -\frac{dz}{dt}$ car v_a>0 et z'(t)<0

Ainsi, en remplaçant dans (1): pour tout t strictement positif $5$ S(z) \frac{dz}{-dt}=s\sqrt{2gz(t)}$

D'où   $5$ S(z) dz=-s\sqrt{2gz(t)}dt$ (je suis sûr que les mathîliens-matheux-purs diront que je suis fous et que séparer les deux différentielles "dz" et "dt" ne se fait pas, mais bon ça aussi, je voudrais une explication de votre part: pourquoi les physiciens peuvent les séparer?)

Je continue: pour tout t > 0, $5$ \frac{S(z)}{ \sqrt{z(t)}} dz=-s\sqrt{2g}dt$
Posons S(z) = $5$ b^2\pi z$ :

D'où $5$ \frac{ b^2\pi z}{ \sqrt{z(t)}} dz=-s\sqrt{2g}dt$
i.e.: $5$ \frac{ z}{ \sqrt{z(t)}} dz = -\frac{s\sqrt{2g}}{b^2\pi} dt$

le premier membre de l'égalité est continue sur [0;H] et le deuxième membre de l'égalité est continue sur [0;t_f], donc les deux côtés sont intégrables respectivement sur [z;H] (z appartenant à [0;H]) et [0;t] (t appartenant à [0;t_f].
et puisque z(0)=H

on a alors: $5$ \int_H^{z}\frac{ z}{ \sqrt{z(t)}} dz = -\int_0^{t}\frac{s\sqrt{2g}}{b^2\pi} dt$

On résoud et on obtient $5$\frac{2}{3}(z^{\frac{3}{2}}-H^{\frac{3}{2}}) = - \frac{s\sqrt{2g}}{b^2\pi}t$

i.e.: $5$z^{\frac{3}{2}} = -\frac{3s\sqrt{g}}{\sqrt{2}b^2\pi}t + H^{\frac{3}{2}}$
i.e.: pour tout t>0, $5$z(t) = (\frac{3s\sqrt{g}}{\sqrt{2}b^2\pi}t + H^{\frac{3}{2}})^ {\frac{2}{3}}$

Pour l'application numérique: prenons $s=1cm^2, b=2, H=2m et g=10ms^{-2}$

On a: pour tout t>0, $5$z(t) = (\frac{3*10^{-4}\sqrt{10}}{2^2\sqrt{2}\pi}t + 2^{\frac{3}{2}})^ {\frac{2}{3}}$

J'obtient alors la courbe que je vais mettre dans un prochain message (mais je crois que je me suis trompé puis que tmax est trop grand) Bouhouhou…

Quelqu'un pourrait m'aider (et surtout de me lire)? Merci beaucoup pour votre patience et votre compréhension (n'hésitez pas à me demander si vous ne comprenez pas un détail^^)

variation de la vitesse de vidange d un clepsydre

Posté par re:variation de la vitesse de vidange d un clepsydre 15-09-05 à 23:13

Voilà la courbe, bien qu'elle soit incohérente

(par exemple la vitesse finale est plus grande que la vitesse initiale... Bon, vous m'aideriez? ce serait très aimable de votre part, car je saisis plus rien...)

@+++

re:variation de la vitesse de vidange d un clepsydre

Posté par re:variation de la vitesse de vidange d un clepsydre 16-09-05 à 00:43

Bonjour à tous!

Je crois que c'est ma méthode de résolution qui vous choque car elle n'est pas rigoureuse... mais c'est une méthode physique qui marche qd même..

Si vous voulez, ce que j'ai essayé de résoudre, c'est l'équation différentielle non linéaire à coefficient constant:

$5$ b^2\pi z \frac{dz}{-dt}=s\sqrt{2gz(t)}$

c'est à dire $5$ -b^2\pi \sqrt{z(t)} \frac{dz}{dt}=s\sqrt{2g}$

càd une équation diff du type $5$ -(b^2\pi \sqrt{y})y'=s\sqrt{2g}$

i.e.: $5$ -y'=\frac{s\sqrt{2g}}{b^2\pi}y^{-\frac{1}{2}}$ dont j'ai trouvé un résultat faux (Cf le premier message et le deuxième).

Voilà.

@+++

Posté par re : variation de la vitesse de vidange d un clepsydre 16-09-05 à 10:53

Je n'ai pas eu le courage d'approfondir, seulementquelques remarques.

Pour autant que j'aie bien suivi:

En prenant S(z) = b².Pi.z,

On a S(0) = 0, or on devrait avoir S(0) = s. --> pas normal.

On devrait plutôt prendre: S(z) = s + b².Pi.z
----

Il manque un - dans la formule finale de z(t) (devant le terme comportant t).

Mais il semble bien que dans le graphique cette erreur a été corrigée.
-----

Si c'est la vitesse qui augmente lorsque z diminue qui te tracasse, ce n'est pas vraiment troublant.

La vitesse que tu utilises est la variation de hauteur d'eau par unité de temps mais il ne faut pas confondre cela avec le débit qui passe par le trou.

Si tu veux le débit, il faut multiplier cette vitesse par la section à la hauteur z.

On a alors débit = -b².Pi.z.dz/dt (dz/dt < 0)

Et le débit dans le trou va bien diminuer au cours du temps.

-----
Méfie-toi de ce que j'ai écrit car je n'y ai pas consacré suffisamment de temps.

Posté par re: variation de la vitesse de vidange d un clepsydre 17-09-05 à 16:58

Merci bcp J-P:

En fait, j'ai considéré s très petit devant S (d'où la formule d'écoulement de Torricelli que j'ai balancée: v_3$b= $\sqrt{2gz}$ ).
C'est pourquoi j'ai pris S(z) = b².Pi.z et non S(z) = s + b².Pi.z. (mais c'est vrai que j'ai oublié totalement cette précision, je l'aurais mise sinon).

Ah oui, j'ai oublié de mettre "-" dans les deux dernière formules de z(t) du premier message. Je corrige donc en me recitant:

"i.e.: pour tout t>0, $5$z(t) = (-\frac{3s\sqrt{g}}{\sqrt{2}b^2\pi}t + H^{\frac{3}{2}})^ {\frac{2}{3}}$

Pour l'application numérique: prenons $s=1cm^2, b=2, H=2m et g=10ms^{-2}$

On a: pour tout t>0, $5$z(t) = (-\frac{3*10^{-4}\sqrt{10}}{2^2\sqrt{2}\pi}t + 2^{\frac{3}{2}})^ {\frac{2}{3}}$ "

Euh oui, je suis vraiment distrait, c'est vrai que j'ai confondu la vitesse en B avec v_a

Merci bcp
@+++

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