Niveau terminale

Valeur efficace d une grandeur

Posté par
soucou 19-09-05 à 14:00

Bonjour,

Une tension rectangulaire symétrique d'amplitude $E=2V$ et de fréquence $f=50\ \rm H_z$ , peut se décomposer comme suit :

$u(t)=\frac{4E}{\pi}\sin(2\pi Ft)+\frac{4E}{3\pi}\sin(6\pi Ft)+\frac{4E}{5\pi}\sin(10\pi Ft)+\frac{4E}{7\pi}\sin(14\pi Ft)+\ldots$

Sachant que la valeur efficace de la tension $u(t)$ est donnée par la formule :

$U^2=U_1^2+U_2^2+U_3^2+U_4^2+\ldots$

Combien d'harmonique faut-il prendre en compte pour obtenir la valeur efficace à $2%$ près de la valeur exate ?

Je pense qu'il faut d'abord encadré la valeur efficace, ce qui me donne $U_{exacte}=2\:\Rightarrow\:U_{exacte}^2=4$

Soit $3.84<U<4.16$

Aprés comme la valeur moyenne sur une période de la fonction sinus élévée au carré est $<u_{sinus}^2>=0.5\ V$

Je pense qu'il faut que je calcule $<u_{sinus}^2>\frac{16E^2}{\pi}$1+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{5})^2+(\frac{1}{7})^2+\ldots$= \\ \frac{32}{\pi^2}$1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\ldots$$ jusqu'à la précision voulue ?

Mais le problème cela tend vers l'infini pour un nombre d'harmonique infini, non ?

Merci pour vos aides.

Posté par Ouf, j ai trouvé 19-09-05 à 14:15

Euh, à propos de la convergence, je crois bien que $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{16}$

Problème résolu...

Il ne me reste plus qu'à remettre tout ça en ordre.

Posté par re : Valeur efficace d une grandeur 19-09-05 à 16:18

Tu dis:

Mais le problème cela tend vers l'infini pour un nombre d'harmonique infini, non ?

Et bien non, la suite 1 + (1/9) + (1/25) + ... est convergente.

Elle converge vers 4Pi²/32 de tel sorte que (32/Pi²).(1+ + (1/9) + (1/25) + ...) converge vers 4.

Heureusement.

Donc il suffit de trouver combien de terme il faut prendre pour avoir un résultat > 3,84.

6 termes devrait suffire. Vérifie.
-----

Posté par re : Valeur efficace d une grandeur 19-09-05 à 16:19

Tiens, je n'avais pas vu ta seconde interventionsavant de répondre.

Encore un loupé dans les rafraichissements d'écran.

Posté par re : Valeur efficace d une grandeur 19-09-05 à 18:44

Ok merci J-P,

Juste un truc je pense plutôt que $5$ harmoniques suffisent, puisque d'aprés la question, c'est nombre d'harmoniques faut-il est non pas quel nombre d'harmoniques y compris le fondamental, mais bon ça relève du chipotage ça.

PS: il n'est pas rare qu'au moment même où je rédige mais topic je trouve la réponse... Bizarre.

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