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Une menthe à l'eau s'il vous plaît !
Bonjour tout le monde, j'ai un exercice à faire en chimie. J'ai quelques difficultés à trouver un raisonnement et c'est pour cela que j'aurai besoin de votre aide s'il vous plaît 
Exercice : une menthe à l'eau s'il vous plait ! Dans un restaurant, on possède des verres pour les sirops de 21,0 cm de hauteur et 3,5 cm de rayon. Monsieur X a commandé un sirop de menthe (à l'eau) rafraîchissant. Le serveur remplit un verre sur une hauteur de 9,0 cm avec du sirop tout juste sorti du réfrigérateur à 4,0°C et l'apporte à son client. Celui-ci lui explique qu'avec ses dents en mauvais état, il ne peut boire une boisson dont la température serait plus basse que 11,0°C. Le serveur décide alors de rajouter dans le verre une certaine hauteur d'eau plate à 24,0°C afin d'atteindre 11,0°C. Mais son patron craint que la concentration en sirop soit alors trop faible : si la concentration du sirop de menthe est plus que divisée par deux par rapport à celle du sirop sortant du frigidaire, le client risque de s'en apercevoir et se plaindra. Le serveur pourra-t-il répondre aux attentes de son client et de son patron ? Vous construirez votre argumentation le plus clairement possible. On attend un raisonnement quantitatif valide.
Le volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon R vaut π*R2*h
L'eau et le sirop de menthe l' eau ont la meme capacité thermique massique égale c=4,185 kJ.kg-1.°C-1 et la même masse volumique égale à p=1,00 g.mL 1,00 kg.L1. On rappelle que 1 mL=1 cm3 et 1L=1 dm3.
Merci énormément pour votre aide.
Bonsoir,
Soit m1 la masse minimale d'eau "tiède" à 24°C nécessaire pour amener le sirop à la température de 11°C
m1 = ρ * S * h1
avec ρ : masse volumique de l'eau ; S aire de la base cylindrique du verre ; h1 hauteur d'eau "tiède" à rajouter au sirop.
En se refroidissant cette eau "tiède" cède une énergie thermique Q1 telle que
|Q1| = m1 * C * |Δθ1|
C : Capacité thermique massique de l'eau ; |Δθ1|= 24 - 11 = 13°C
On a donc |Q1| = ρ * S * h1 * C * |Δθ1|
Par un raisonnement analogue on exprime l'énergie thermique Q2 reçue par le sirop pour amener sa température de 4 à 11°C :
|Q2| = ρ * S * h2 * C * |Δθ2| h2=9cm ; |Δθ2|= 11 - 4 = 7°C
Les lois de la thermodynamique indiquent que (si on néglige les différentes fuites d'énergie thermique) :
|Q1|=|Q2|
donc ρ * S * h1 * C * |Δθ1| = ρ * S * h2 * C * |Δθ2|
Soit après simplification : h1 * |Δθ1| = h2 * |Δθ2|
On peut alors calculer la hauteur minimale h1 d'eau "tiède" à ajouter aux 9cm de sirop pour amener sa température de 4 à 11°C:
h1 = h2 * |Δθ2| / |Δθ1|= 9* 7 / 13 = 4,85 cm
Il reste maintenant à vérifier si en ajoutant cette eau on n'a pas descendu la concentration du sirop en dessous de la moitié de la concentration initiale.
Je te laisse y réfléchir et proposer si tu le souhaites le résultat de cette réflexion.
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