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Solide glissant sur une sphère
Bonjour, j'ai besoin d'aide
Problème
Une sphère de centre O, de rayon r, repose en E sur un sol horizontal de trace TT'. Un rail AB repose en B sur le sommet de la sphère.
Un point matériel de masse m lancé en A avec une vitesse se déplace sur le rail avant de décrire sur la sphère la trajectoire BCD.
On pose : ;
1) Déterminer en fonction de m, g, r, VA et 
la norme de la force que la sphère exerce sur le point matériel lorsqu'il passe en C.
2) Le point matériel n'est plus en contact avec la sphère, lorsqu'il atteint D, avec la vitesse .
Exprimer VD en fonction de r, g et m.
3.a) Exprimer dans le repère l'équation cartésienne de la trajectoire du point matériel, lorsqu'il n'est plus en contact avec la sphère.
b) Le point matériel touche le sol en S. Calculer la longueur ES pour r = 0,50 m ; g = 9,8 SI ; m = 30⁰.
Question 1
- système : sphère de masse m
- réf : terrestre, supposé galiléen
- bilan des forces : ;
Schéma ci-dessous (désolé que le dessin soit fait à main levée, je ne suis pas avec mes instruments)
J'applique le TCI puis je projete sur la normale, J'obtiens :
Pn - F = m.Vc²/r
Donc F = mg.cos - mVc²/r
En appliquant le TEC entre B et C (avec VB = VA) J'obtiens :
Vc² = 2gr(1 - cos) + VA²
Dans l'expression de F je trouve alors :
F = mg(-2 + 3cos) - mVA²/r
Question 2
Pour trouver VD en fonction de r, g et m, je remplace dans l'expression de Vc² par m. J'obtiens :
VD² = 2gr(1 - cosm) + VA²
NB : j'ai abouti à cette expression appliquant le TEC entre B et D.
Message du 07-01-23 à 16:36 : parfait ! 
Message du 07-01-23 à 16:48 : inutile de refaire l'étude générale faite pour la position quelconque C: il suffit d'écrire que le point D est la position particulière où la force F devient nulle puisque l'action de la surface sphérique sur la masse disparaît
Oui d'accord, mais puisqu'on demande l'expression de VD...
Quand je pose que F = 0 et que j'égalise l'expression de F à zéro, je n'obtiens pas VD. Je peux obtenir cosm en posant F = 0, mais pas VD
La méthode que je t'ai indiquée permet d'obtenir cos(m). Injecter cette valeur dans la relation que tu as postée à 16h48 répond à la question.
Oui, en posant F = 0, je trouve :
cosm = ⅓[VA²/(gr) + 2]
Maintenant, on demande VD en fonction de r, g et m.
Je fais quoi ?
D'accord. Connaissant maintenant l'expression de cos(m) il te suffit de reprendre ton résultat de 16h48.
D'accord, si je remplace cosm par son expression, j'obtiens :
VD² = ⅓(2gr + VA²)
Mais on demande VD en fonction de r, g et m.
Oui, en posant F = 0, je trouve :
cos(
m) = ⅓[VA²/(gr) + 2] Soit encore :
VA2 = r.g[3cos(
m)-2]
PS : si tu as le temps, petite question de réflexion à laquelle n'a pas pensé le concepteur de l'énoncé.
Toutes ces relations n'ont de sens que si :
VA2
r.g
sinon, la théorie précédente conduit à cos(
m)>1, ce qui bien sûr est impossible. D'où la question : que se passe-t-il si VA2>r.g ?Si VA² > rg 
VA²/rg > 1
En ajoutant 2 partout, on a
VA²/rg + 2 > 3
En multipliant par ⅓ partout,
⅓(VA²/rg + 2) > 1 
cosm > 1 ce qui n'est pas logique. Je pourrai dire que le solide ne va pas atteindre le point D.
Je pourrai dire que le solide ne va pas atteindre le point D.
Pas faux mais imprécis. Que dire alors de la trajectoire du solide de masse m ?
La trajectoire au-delà du point C est une parabole avec pour vecteur vitesse initiale .
Mais VC est la valeur de la vitesse à une position quelconque du solide.
On peut déjà remarquer que les calculs déjà faits conduisent, dans le cas particulier : VA2=r.g à m=0 : les points D, C et B sont confondus : le solide quitte la sphère en B !
Pour VA2>r.g, la trajectoire devient parabolique à partir du point B et elle est suffisamment "tendue" pour que le solide atteigne le sol sans jamais toucher la sphère. Voici une simulation informatique dans le cas particulier : r=0,5m avec :
VA2=1,5.r.g
Trace de la sphère en vert, trajectoire parabolique en bleu.
J'ai compris ton dernier message. Mais je n'ai toujours pas compris comment trouver VD en fonction de r, g et m
Je reprends les résultats déjà acquis :
1° : la condition F=0 conduit à :
ou encore :
2° : le théorème de l'énergie cinétique conduit à :
Par substitution :
Je te laisse finir le calcul...
Question 3.a) :
Au-delà du point D, la sphère n'est soumise qu'à la seule action de son poids
Le TCI conduit à
• conditions initiales :
et
• A un instant t quelconque, les coordonnées du vecteur position sont :
En éliminant le temps t entre les équations horaires, on obtient la trajectoire. C'est ça ?
L'origine du repère est en D.
ES=(OD)x+xS
en notant (OD)x le projeté orthogonal de sur un axe horizontal orienté vers la droite.
D'accord !
• (OD)x = OD.sinm = rsinm
• xS = ?
Le point S est un point de la trajectoire, mais je connais pas ys aussi.
yS=-h
où h est l'altitude du point D par rapport à l'horizontale T'T. Cette altitude s'exprime simplement en fonction de r et de m.
D'accord.
C'est-à-dire h est égale à une distance (qui fait face à l'angle m) + une autre distance qui représente le rayon r.
Je trouve h = r.sinm + r h = r(1 + sinm)
Alors ys = - r(1 + sinm)
AN : ys = - 0,75 m
Or le point S est un point de la trajectoire, alors :
Je résous cette équation pour avoir xS.
C'est ça ?
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