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Solide glissant sur une sphère

Posté par
hdiallo
06-01-23 à 21:05

Bonjour, j'ai besoin d'aide

Problème
Une sphère de centre O, de rayon r, repose en E sur un sol horizontal de trace TT'. Un rail AB repose en B sur le sommet de la sphère.
Un point matériel de masse m lancé en A avec une vitesse \vec V_A se déplace sur le rail avant de décrire sur la sphère la trajectoire BCD.
On pose : (\vec {OB} ,\vec {OC})=\alpha  ;  (\vec {OB} ,\vec {OD})=\alpha _m
1) Déterminer en fonction de m, g, r, VA et la norme de la force \vec F que la sphère exerce sur le point matériel lorsqu'il passe en C.
2) Le point matériel n'est plus en contact avec la sphère, lorsqu'il atteint D, avec la vitesse \vec V_D.
Exprimer VD en fonction de r, g et m.
3.a) Exprimer dans le repère (D, \vec {i} ,\vec {j}) l'équation cartésienne de la trajectoire du point matériel, lorsqu'il n'est plus en contact avec la sphère.
b) Le point matériel touche le sol en S. Calculer la longueur ES pour r = 0,50 m ; g = 9,8 SI ; m = 30⁰.

Solide glissant sur une sphère

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 06-01-23 à 21:18

Bonsoir
Même question que pour l'autre problème.

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 07-01-23 à 16:36

Question 1
- système : sphère de masse m
- réf : terrestre, supposé galiléen
- bilan des forces : \vec P ;  \vec F
Schéma ci-dessous (désolé que le dessin soit fait à main levée, je ne suis pas avec mes instruments)
J'applique le TCI puis je projete sur la normale, J'obtiens :
Pn - F = m.Vc²/r
Donc F = mg.cos - mVc²/r

En appliquant le TEC entre B et C (avec VB = VA) J'obtiens :
Vc² = 2gr(1 - cos) + VA²

Dans l'expression de F je trouve alors :
F = mg(-2 + 3cos) - mVA²/r

Solide glissant sur une sphère

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 07-01-23 à 16:48

Question 2
Pour trouver VD en fonction de r, g et m, je remplace dans l'expression de Vc² par m. J'obtiens :

VD² = 2gr(1 - cosm) + VA²

NB : j'ai abouti à cette expression appliquant le TEC entre B et D.

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 07-01-23 à 17:09

Message du  07-01-23 à 16:36 : parfait !
Message du  07-01-23 à 16:48 : inutile de refaire l'étude générale faite pour la position quelconque C: il suffit d'écrire que le point D est la position particulière où la force F devient nulle puisque l'action de la surface sphérique sur la masse  disparaît

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 07-01-23 à 17:26

Oui d'accord, mais puisqu'on demande l'expression de VD...
Quand je pose que F = 0 et que j'égalise l'expression de F à zéro, je n'obtiens pas VD. Je peux obtenir cosm en posant F = 0, mais pas VD

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 07-01-23 à 17:35

La méthode que je t'ai indiquée permet d'obtenir cos(m). Injecter cette valeur dans la relation que tu as postée à 16h48 répond à la question.

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 07-01-23 à 20:24

Oui, en posant F = 0, je trouve :
cosm = ⅓[VA²/(gr) + 2]

Maintenant, on demande VD en fonction de r, g et m.

Je fais quoi ?

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 07-01-23 à 22:59

D'accord. Connaissant maintenant l'expression de cos(m) il te suffit de reprendre ton résultat de 16h48.

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 09:39

D'accord, si je remplace cosm par son expression, j'obtiens :

VD² = ⅓(2gr + VA²)

Mais on demande VD en fonction de r, g et m.

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 10:37

Citation :
Oui, en posant F = 0, je trouve :
cos(m) = ⅓[VA²/(gr) + 2]

Soit encore :
VA2 = r.g[3cos(m)-2]
PS : si tu as le temps, petite question de réflexion à laquelle n'a pas pensé le concepteur de l'énoncé.
Toutes ces relations n'ont de sens que si :
VA2r.g
sinon, la théorie précédente conduit à cos(m)>1, ce qui bien sûr est impossible. D'où la question : que se passe-t-il si VA2>r.g ?

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 10:48

Si VA² > rg VA²/rg > 1
En ajoutant 2 partout, on a

VA²/rg + 2 > 3

En multipliant par ⅓ partout,

⅓(VA²/rg + 2) > 1 cosm > 1 ce qui n'est pas logique.  Je pourrai dire que le solide ne va pas atteindre le point D.

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 10:50

Citation :
Je pourrai dire que le solide ne va pas atteindre le point D.

Pas faux mais imprécis. Que dire alors de la trajectoire du solide de masse m ?

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 11:12

La trajectoire au-delà du point C est une parabole avec pour vecteur vitesse initiale \vec V_C.
Mais VC est la valeur de la vitesse à une position quelconque du solide.

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 15:05

On peut déjà remarquer que les calculs déjà faits conduisent, dans le cas particulier : VA2=r.g  à m=0 : les points D, C et B sont confondus : le solide quitte la sphère en B !
Pour VA2>r.g, la trajectoire devient parabolique à partir du point B et elle est suffisamment "tendue" pour que le solide atteigne le sol sans jamais toucher la sphère. Voici une simulation informatique dans le cas particulier : r=0,5m avec :
VA2=1,5.r.g
Trace de la sphère en vert, trajectoire parabolique en bleu.

Solide glissant sur une sphère

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 15:39

J'ai compris ton dernier message. Mais je n'ai toujours pas compris comment trouver VD en fonction de r, g et m

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 15:53

Je reprends les résultats déjà acquis :

1° : la condition F=0 conduit à :

\cos\left(\alpha_{m}\right)=\frac{1}{3}\left[2+\frac{V_{A}^{2}}{r.g}\right] ou encore : V_{A}^{2}=r.g\left[3\cos\left(\alpha_{m}\right)-2\right]

2° : le théorème de l'énergie cinétique conduit à :

V_{D}^{2}=\frac{1}{3}\left[2g.r+V_{A}^{2}\right]

Par substitution :

V_{D}^{2}=\frac{1}{3}\left\{ 2g.r+g.r\left[3\cos\left(\alpha_{m}\right)-2\right]\right\}

Je te laisse finir le calcul...

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 16:48

V_{D}^{2}=\frac{1}{3}\left\{ 2g.r+g.r\left[3\cos\left(\alpha_{m}\right)-2\right]\right\}

Je trouve VD² = g.r.cosm

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 16:59

Oui !

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 19:12

Question 3.a) :
Au-delà du point D, la sphère n'est soumise qu'à la seule action de son poids \vec P

Le TCI conduit à \vec a = \vec g

• conditions initiales :

\vec V_D (V_Dcos\alpha_m  ; -V_Dsin\alpha_m)   et   \vec {OM_0}(0 ; 0)

• A un instant t quelconque, les coordonnées du vecteur position sont :
\vec {OM}[(x =V_Dcos\alpha _m)t ; (y=-½gt²-(V_Dsin\alpha_m)t]

En éliminant le temps t entre les équations horaires, on obtient la trajectoire. C'est ça ?

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 08-01-23 à 21:29

Oui !

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 09-01-23 à 20:29

La trajectoire est :

y = -\frac {g}{2V_D²cos²\alpha_m}x²-xtan\alpha_m

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 10-01-23 à 12:37

b) On demande la distance ES.
J'ai beau réfléchir, j'ai pas pu. Aidez-moi.

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 10-01-23 à 13:27

L'origine du repère est en D.
ES=(OD)x+xS
en notant (OD)x le projeté orthogonal de \vec{OD} sur un axe horizontal orienté vers la droite.

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 10-01-23 à 16:39

D'accord !

• (OD)x = OD.sinm = rsinm

• xS = ?
Le point S est un point de la trajectoire, mais je connais pas ys aussi.

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 10-01-23 à 18:46

yS=-h
où h est l'altitude du point D par rapport à l'horizontale T'T. Cette altitude s'exprime simplement en fonction de r et de m.

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 15-01-23 à 15:33

D'accord.
C'est-à-dire h est égale à une distance (qui fait face à l'angle m) + une autre distance qui représente le rayon r.

Je trouve h = r.sinm + r h = r(1 + sinm)

Alors ys = - r(1 + sinm)

AN : ys = - 0,75 m

Or le point S est un point de la trajectoire, alors :

y_S = -\frac {g}{2V_D²cos²\alpha_m}x²_S-x_Stan\alpha_m

Je résous cette équation pour avoir xS.

C'est ça ?

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 15-01-23 à 18:03

Problème de trigonométrie dans l'expression de ys. Le reste est correct.

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 15-01-23 à 18:32

OK je vois !

Ys = - r(1 + cosm)

Posté par
vanoise
re : Solide glissant sur une sphère 15-01-23 à 19:48

Tout à fait !

Posté par
hdiallo
re : Solide glissant sur une sphère 16-01-23 à 21:29

Merci bien, je pourrai terminer le reste.
Je suis très satisfait !



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