Niveau première

Pulsation complexe, trigo circulaire ?

Posté par
soucou 15-06-05 à 09:54

Bonjour,

Bon je ne vais pas trop m'étendre mais plutôt sur l'éssentiel faisant appelle au maths.

Voilà je suis bien embêté, je dois calculer $\omega$ de sorte que $\underline{Z}=R+\frac{1}{R_2}-j$\frac{1}{\omega C}+\frac{R_2}{1+j\omega C}$$ soit réel (définition de la résonance)
$i.e.\:\frac{1}{\omega C}+\frac{R_2}{1+\omega C}=0\:\Rightarrow\:\omega^2=-\frac{1}{2(R_2C)^2}$ , bien sur dans ce cas $\omega$ est complexe. Du point de vu mathématique no PB mais en physique ? $e.g.\:u(t)=\sin$\omega t+\varphi$\:\Rightarrow\:\{\text{si }\omega\text{ reel }\to u(t)=\sin$2\pi f t+\varphi$\\\text{si }\omega\text{ complexe }\to u(t)=\sin$(\cos(\theta)+j\sin(\theta)) t+\varphi$$

Dans le deuxième cas, $u(t)$ ne serait-il pas associée à une fonction de trigonométrie pseudo circulaire-hyperbolique ?

Merci

Posté par re : Pulsation complexe, trigo circulaire ? 15-06-05 à 10:10

Dans ton problème, Z semble représenter une impédance complexe.

MAIS il y a un os. Z n'est pas homogène.

R a une dimension en Ohm mais 1/R2 est en Ohm^-1 (Sauf si le 1 est en Ohm²).

Idem dans la partie imaginaire de Z, 1/wC est en Ohm mais R2/(1+jWC) a une dimension bizarre (il est même impossible de lui donner une dimension).

De plus, à partir de 1/wC + R2/(1+wC) = 0 il n'est pas possible d'obtenir w² = -1/(2(R2C)²)

Cela fait beaucoup d'erreurs pour pouvoir t'aider.

Essaie de remettre ton énoncé sans erreur et alors, peut-être, quelqu'un pourra t'aider.

Posté par re : Pulsation complexe, trigo circulaire ? 15-06-05 à 10:38

Ah oui j'ai fait pas mal d'érreur de recopiage, pour infos $\[\Omega^{-1}\]=[S]$ , bon je reprends enfait j'ai $\underlin{Z}_{eq1}=R_1-j\frac{1}{\omega C}$ et $\underline{Y}_{eq1}=\frac{1}{R_2}+j\omega C\:\Rightarrow\:{ \underline{Z}_{eq2}=\frac{1}{\frac{1}{R_2}+j\omega C}=\frac{R_2}{1+j\omega R_2C}=\frac{R_2}{1+(\omega R_2C)^2}-j\frac{R^2_2\omega C}{1+(\omega R_2C)^2}$

$\underline{Z}_{eq}=\underline{Z}_{eq1}+\underline{Z}_{eq2}=R_1+\frac{R_2}{1+(R_2C\omega)^2}-j$\frac{1}{\omega C}+\frac{R^2_2C\omega}{1+(R_2C\omega)^2}$$ . Donc, si je ne m'abuse on touve bien $\omega^2=-\frac{1}{2(R_2C)^2}$

Enfait j'avais fait tout les calculs hier et je me suis un peu beacoup enmélé les pinceaux en recopiant.

Merci

Posté par re : Pulsation complexe, trigo circulaire ? 15-06-05 à 10:59

Oups, enfait je ddois calculer la pulsation $\omega$ pour laquelle la l'argument de la transmittance ( $T=\frac{U_e}{U_s}$ ) est nul.

Enfait j'ai pu exprimer le pont diviseur via le pont diviseur la tension $U_s$ en fonction de $U_e$

enfait j'obtiens facilement $T=\frac{U_e}{U_s}=\frac{Z_{eq2}}{Z_{eq1}+Z_{eq2}}=\frac{Z_{eq2}}{Z_{eq}}$ d'où $arg(T)=0\Rightarrow Im(T)=0$

Bon j'ai le choix de mettre tout sous la forme cartésienne et d'isoler la partie imaginaire mais aïe que c'est long ou m'arrager que la différence des arguments du numérateur ou du dénominateur soit nulle

Vous trouverai le schéma sur ce lien (faute de la taille)

Merci beaucoup,

Posté par re : Pulsation complexe, trigo circulaire ? 15-06-05 à 12:22

Le dessin n'est pas très lisible, mais bon.

Us/Z2 = Ue/(Z1+Z2)

Avec Z1 = (1+jwR1C)/jwC et z2 = R2/(1+jwR2C)

Us/Ue = Z2/(Z1+Z2)

Us/Ue = [R2/(1+jwR2C)]/[(R2/(1+jwR2C)) + (1+jwR1C)/jwC]

On divise haut et bas par R2/(1+jwR2C)

Us/Ue = 1/[1 + (1+jwR1C)(1+jwR2C)/jwR2C]

Us/Ue = jwR2C/[jwR2C + (1+jwR1C)(1+jwR2C)]

Us/Ue = jwR2C/[(1 - w²R1R2C²) + j(wR2C + wR1C)]

Ue/Us = [(1 - w²R1R2C²) + j(wR2C + wR1C)]/jwR2C

arg(Ue/US) = arg[(1 - w²R1R2C²) + j(wR2C + wR1C)] - Pi/2

arg(Ue/US) = 0 pour: arg[(1 - w²R1R2C²) + j(wR2C + wR1C)] = Pi/2

arctg((wR2C + wR1C)/(1 - w²R1R2C²)] = Pi/2

soit pour 1 - w²R1R2C² = 0

w = V[1/(R1R2C²)] avec V pour racine carrée.
-----
Vérifie, je suis souvent distrait.

Posté par re : Pulsation complexe, trigo circulaire ? 15-06-05 à 12:52

Déjà merci, enfait j'ai du faire l'érreur de mettre à chaque étape les impédances des dipôles sous la forme cartésiènne, j'y serais arrivé mais sans doute pas aussi rapidement

Je me demande pourquoi j'ai mis $z_2$ sous la forme cartésienne sinon je pense que le choix de la forme des impédances n'a pas été un hasard... Tu as aussi exprimé vers la fin le rapport $\frac{1}{\:T\:}$ , une bonne idée que je retiendrai pour les futurs applications.

J'ai pu faire les calculs sous Derive entre temps, j'arrive à la même conclusion.

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