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Plongée sous-marine
Je vous remercie d'avance pour votre aide
Une bulle d'air, produite par un plongeur au fond d'un lac d'eau calme, remonte verticalement à la surface. Cette petite bulle de rayon r et de masse volumique 
=1.3 kg.m-3, est supposée conserver le même volume durant toute la remontée.
Elle est soumise, entre autres, à une force de frottement fluide de la forme f= -k*V, avec k=6
*n*r et n=1,0.10-3 Pa.s (n est les viscosité de l'eau)
On rappelle que la masse volumique de l'eau est:
0= 1000 kg.m-3
1. Etablir le bilan des forces s'exerçant sur la bulle
2. Ecrire l'équation différentielle régissant la vitesse de la bulle dans le lac
3. Tracer l'allure de la courbe représentative V= f(t)
4. Sachant que la vitesse limite est Vl= 15m.min-1, préciser la valeur du rayon de la bulle et celle de k.
5. Montrer que l'équation peut se mettre sous la forme
V= A(1-e^(-8.t)).
Exprimer A et B en fonction de k, m et Vl
6.a. A quel instant la vitesse atteint Vl à 1% près ?
b. Quelle est la distance parcourues par la bulle ?
7. Quelle est la durée nécessaire pour que la bille remonte à la surface du lac, profond de 5 mètres.
1)
a) Poids de la bulle (vertical vers le bas): P = (4/3).Pi.r³.g.Rho(air)
b) Poussée d'Archimède (verticale vers le haut): Pa : (4/3).Pi.r³.g.Rho(eau)
c) force de frottement: (verticale vers le bas puisque s'oppose au déplacement): |Ff| = k.V
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2)
(4/3).Pi.r³.g.Rho(air) + k.V - (4/3).Pi.r³.g.Rho(eau) = -(4/3).Pi.r³.Rho(air).dv/dt
(4/3).Pi.r³.Rho(air).dv/dt + kv = (4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))
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4)
Lorsque la vitesse est stabilisée, sa dérivée est nulle -> à ce moment on a:
kv = (4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))
v = [(4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))]/k
v = 15m/min = 0,25 m/s
0,25 = [(4/3).Pi.r³.9,8.(1000 - 1,3)]/k
0,25 = [(4/3).Pi.r³.9,8.(1000 - 1,3)]/(6Pi.10^-3*r)
0,25 = [(4/3).r².9,8.(1000 - 1,3)]/(6.10^-3)
1,5.10^-3 = 13049,68 r²
r² = 1,15.10^-7
r = 3,39.10^-4 m
r = 0,34 mm
k = 6Pi.n.r = 6,4.10^-6
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5)
(4/3).Pi.r³.Rho(air).dv/dt + kv = (4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))
--
(4/3).Pi.r³.Rho(air).dv/dt + kv = 0
Solution de l'équation avec second membre = 0:
-> v = C.e^(-t.(3/4).k/(Pi.r³.Rho(air)))
Solution particulière de l'équation avec second membre:
v = (4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))/k
Solution générale de l'équation différentielle:
v = (4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))/k + C.e^(-t.(3/4).k/(Pi.r³.Rho(air)))
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En t = 0, on a v = 0 ->
0 = (4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))/k + C
-> C = -(4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))/k
Et donc finalement:
v = [(4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))/k].[1 - e^(-t.(3/4).k/(Pi.r³.Rho(air))) ]
On a donc A = (4/3).Pi.r³.g.(Rho(eau) - Rho(air))/k
et B = (3/4).k/(Pi.r³.Rho(air))
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6)
a)
Lorsque: 1 - e^(-t.(3/4).k/(Pi.r³.Rho(air))) = 1-0,01
e^(-t.(3/4).k/(Pi.r³.Rho(air))) = 0,01
-t.(3/4).k/(Pi.r³.Rho(air)) = ln(0,01)
t.(3/4).k/(Pi.r³.Rho(air)) = ln(100)
t = (4/3).Pi.r³.Rho(air).ln(100)/k
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b)
Avec e(t) la distance parcourue par la bulle, on a:
v = de/dt
La bulle arrive à la surface pour un temps T tel que:
Il n'y a pas de difficulté à résoudre cette intégrale et à en déduire T.
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Comme je n'ai rien relu, à l'habitude, il est possible qu'il y ait quelques erreurs, à toi de tout vérifier avant de continuer.
Il restera ensuite à résoudre l'intégrale (sans difficultés) et à remplacer les symboles r, Rho(eau) ... par leurs valeurs numériques.
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Sauf distraction. 
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