Niveau terminale

Physqiue : oscillateurs mécaniques

Posté par Jenni60 (invité) 21-05-05 à 14:41

Bonjour, je n'arrive pas faire la 2è question de cet exercice, pourriez-vous m'aider svp?
Merci

Un oscillateur horizontal est constitué d'1 corps de masse m=100g attaché à un ressort de raideur k=0.90 N/m. Le centre d'inertie G de ce corps oscille sans frottement selon l'axe x'x autour de sa position d'équilibre x=0.

1) Rappeler l'expression de la période propre de cet oscillateur et donner un ordre de grandeur de sa valeur.
J'ai trouvé

2) A l'instant initial, on écarte le corps de sa position d'équilibre de 3cm et on le lâche sans vitesse initiale. Exprimer x(t), écart de l'équilibre de cet oscillateur.
Je ne sais pas comment faire

3) Déterminer la position du point où la vitesse de G est maximale. Déterminer de même les positions des points où l'accélération de G est soit nulle, soit maximale.
Je ne sais pas non plus

Merci pour votre aide

Posté par pac (invité)Re : Physqiue : oscillateurs mécaniques 21-05-05 à 15:43

Bonjour,

Référentiel: terrestre supposé galiléen

Système: le corps de masse m considéré comme ponctuel

Bilan des forces: le poids $\vec{P}=m\vec{g}=mg\vec{x}=$
pas de forces de frottement
la tension du ressort $\vec{T}=-k(l_e+x-l_o)\vec{x}$ avec l_e=longueur à l'équilibre en charge et l_o=longueur naturel du ressort

On applique le PFD:
$m\frac{d^2x}{dt^2}=m \times g-k(l_e+x-l_o)$

A l'équilibre en charge: $0=m \times g-k(l_e-l_o)$

D'où l'équation du mouvement vérifiée par le corps: $\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m} \times x=0$

Pour la question 2), il te suffit donc de trouver la solution de l'éque diff en tenant compte des deux conditions initiales données par l'énoncé.

Bon courage

Pac

Posté par re : Physqiue : oscillateurs mécaniques 21-05-05 à 18:26

slt

1)
$3$\rm \magenta T_0=2\pi.\sqrt{\frac{m}{g}}$

$3$\rm \underline{ODG}$
$3$\begin{tabular}T_0&=&2\pi.\sqrt{\frac{m}{k}}\\&=&2\pi.\sqrt{\frac{100\times10^{-3}}{0.10}}\\&=&6.28\end{tabular}$

2)
$3$\rm \magenta D'apres la 2^{ieme} loi du Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) :$

$3$\rm\begin{tabular}\Bigsum\vec{F}_{ext}&=&m\vec{a}\\\vec{P}+\vec{R}+\vec{T}&=&m\vec{a}\\\rm on projete sur (x^'Ox)\\T&=&m.a\\-k.(x-l_0)&=&m.\frac{d^2x}{dt^2}\\m.\frac{d^2x}{dt^2}+k(x-l_0)&=&0\\\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}.(x-l_0)&=&0\\\frac{d^2x}{dt^2}+9x-9l_0&=&0\\\frac{d^2x}{dt^2}+9x&=&9l_0\end{tabular}$

$3$\rm \blue \fbox{ESSMA}$

$3$\rm \red \frac{d^2x}{dt^2}+9x=0$

$3$\rm les solutions sont de la forme x(t)=A.\cos(3t+\phi)$

$3$\rm \blue \fbox{Solution Particuliere}$

$3$\rm \red le second menbre etant constant la solution est donc constante ; posons x(t)=C , C cste ds \mathbb{R}$

on a donc
$3$\rm\frac{d^2x}{dt^2}=0$

en reportant dans l'equation :
$3$\rm 9x=9l_0 c a d \fbox{x=l_0$

$3$\rm \blue \fbox{Solution Generale}$

elle sont donée par la formule : $3$\rm \red ESSMA+sol particuliere$

$3$\rm \red \fbox{\fbox{x(t)=A.\cos(wt+\phi)+l_0$

- "A l'instant initial, on écarte le corps de sa position d'équilibre de 3cm"

$3$\rm\green\Rightarrow x(0)=3\times10^{-2}$

or

$3$\rm\Rightarrow x(0)=A.\cos(w\times0+\phi)+l_0=A.\cos(\phi)+l_0$

soit
$3$\rm \blue \underline{A.\cos(\phi)+l_0=3\times10^{-2}$

- "on le lâche sans vitesse initiale"

$3$\rm\green\Rightarrow v(0)=0 ac v(t)=\frac{dx}{dt}=-A.w.\sin(wt+\phi)$

or

$3$\rm\Rightarrow v(0)=-A.w.\sin(w\times0+\phi)=-A.w.\sin(\phi)$

soit
$3$\rm \blue \underline{-A.w.\sin(\phi)=0$

$3$\line(500)$

de $3$\rm \blue \underline{-A.w.\sin(\phi)=0$ et $3$\rm \blue \underline{A.\cos(\phi)+l_0=3\times10^{-2}$ on deduit que :

$3$\rm \ast -A.w.\sin(\phi)=0\Leftrightarrow\sin(\phi)=0\Leftrightarrow\phi=0$

$3$\rm \ast A.\cos(\phi)+l_0=3\times10^{-2}\Leftrightarrow A.\cos(0)+l_0=3\times10^{-2}\Leftrightarrow A+l_0=3\times10^{-2}\Leftrightarrow A=3\times10^{-2}-l_0$

$3$\line(500)$

soit $3$\rm \red \fbox{\fbox{x(t)=(3\times10^{-2}-l_0).\cos(3t)+l_0$

(on verifie alors que $3$\rm x(0)=3\times10^{-2}$ _{(en fixant t=0)} et que $3$\rm v(0)=0$ _{(en dérivant)})

$3$\rm \red la vitesse est maximale lorsque \frac{dx}{dt}=0 est nulle soit :$

$3$\rm\frac{d^2x}{dt^2}=0$

nous avons :
$3$\rm \fbox{x(t)=(3\times10^{-2}-l_0).\cos(3t)+l_0$
donc:
$3$\rm \frac{dx}{dt}=\frac{d((3\times10^{-2}-l_0).\cos(3t)+l_0)}{dt}=(3\times10^{-2}-l_0)\frac{d(\cos(3t)+l_0)}{dt}=(3\times10^{-2}-l_0).(-3\sin(3t))=\fbox{3(l_0-3\times10^{-2})sin(3t)$
et donc:
$3$\rm \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d(3(l_0-3\times10^{-2})sin(3t))}{dt}=3(l_0-3\times10^{-2})\frac{d(sin(3t))}{dt}=3(l_0-3\times10^{-2}).3\cos(3t)=\fbox{9(l_0-3\times10^{-2})\cos(3t)$

soit lorsque :
$3$\rm9(l_0-3\times10^{-2})\cos(3t)=0\Leftrightarrow\cos(3t)=0\Leftrightarrow\cos(3t)=\cos(\frac{\pi}{2}+k\pi}\Leftrightarrow3t=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow t=\frac{\pi}{6}$

et en remplacant :
$3$\rm \fbox{\blue x(\frac{\pi}{6})=(3\times10^{-2}-l_0).\cos(3\frac{\pi}{6})+l_0=(3\times10^{-2}-l_0).\cos(\frac{\pi}{2})+l_0=l_0 m$

de même l'acceleration est nulle on resout $3$\rm \frac{d^2x}{dt^2}=0$ et est maximale on resout $3$\rm \frac{d^3x}{dt^3}=0$

sauf erreur ...

@+ sur l' _ald_

Posté par Jenni60 (invité)Physique : oscillateurs mécaniques 21-05-05 à 18:37

Merci pour vos réponses

Bonne soirée

Posté par re : Physqiue : oscillateurs mécaniques 21-05-05 à 18:43

pas de quoi

@+ sur l' _ald_

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