1) Déterminons la longueur l du pendule
La période d'un pendule simple (de faibles amplitudes) est :


Maintenant, en lisant le graphe, la période vaut T = 2 s (pendule battant la seconde).

AN : l = 1 m

2) Amplitude maximale _m
Sur la figure _m = /18 rad

3.a) Équation horaire du mouvement
Elle est de la forme = _mcos(₀t + )

• la pulsation propre ₀ est : ₀ = 2/T ₀ = rad/s

• la phase à l'origine se détermine grâce à la condition initiale :
À t = 0, = - _m = - /18 rad
Alors, dans l'équation horaire : - _m = _mcos
Donc cos = -1 =

Alors l'équation horaire du mouvement est :

= /18cos(t + )    (en rad)

3.b) Énergie cinétique du pendule en fonction du temps
E_c = ½mv²   (où v = l.²)
C'est à partir de là que je suis bloqué.

Bonsoir
Pour 3b :
Ec= 1/2m.v²
avec v=l.
et il existe une relation simple entre et .

D'accord
= t + ₀ si la vitesse est constante.
Mais pour un pendule simple, la vitesse n'est pas constante, donc je dois poser que
= ½"t² + ₀t + ₀

C'est ça ?

Le mouvement est circulaire sinusoïdal, pas circulaire uniformément varié ! Tu l'as écrit dans ton premier message !
Tu dois savoir que la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de l'élongation angulaire .


Puisque tu as trouvé déjà l'expression de en fonction de t, il te reste à dériver...

Oh j'ai compris ! Merci

Donc = d/dt = -²/18 sin(t + )
Ou encore = ²/18 cos(t +3/2)

Or v = l.
Je trouve v² = ⁴/324 cos²(t + 3/2)

Ensuite je remplace v² dans l'expression de l'E_c. C'est ça ?

C'est correct. Une remarque qui simplifierait un peu les calculs. Ajouter ou retrancher radians à une phase d'un sinus ou d'un cosinus est équivalent à inverser le signe :
sin(x)=-sin(x)
cos(x)=-cos(x)

OK je vois !
Alors v² = ⁴/324.sin²(t)

Donc E_c = ½mv²

Ok. Il faut ensuite exprimer l'énergie potentielle puis montrer que l'énergie mécanique est indépendante du temps.

3.c) l'énergie potentielle de pesanteur est :
E_p = mgh
Si je comprend bien, je dois faire un schéma d'un pendule simple, paramétrer h, puis rechercher h sur la figure. C'est ça ?

Fais un schéma soigné sur lequel tu fais apparaître l'altitude h. Tu pourras alors exprimer h en fonction de l et de .

Sur le schéma ci-dessous :
E_p = - mgh
Avec h = AB = l(1-cos)

Alors E_p = - mgl(1-cos)

Maintenant quand je remplace par son expression, J'obtiens une fonction cosinus dont l'argument est une fonction cosinus.

Pour éviter cela, je crois que je dois poser que, puisque que est faible :
cos² 1 - ²/2  puis remplacer par son expression, puisqu'on demande E_p en fonction du temps.

C'est ça ?

Oui puisque l'amplitude des oscillations est faible.

En appliquant la formule d'approximation suivante : ,
J'obtiens cos 1 - ²/4

Donc E_p = - mgl[1-(1-²/4)]

AN :

Je ne sais pas à quel endroit j'ai commis une erreur, puis que, quand je fais la somme de E_c et de E_p je n'obtient pas une constante. La relation fondamentale de la trigonométrie devrait facilement apparaître dans la relation de l'E_m

Je vois une erreur de signe

Le développement limité d'un cosinus, donne, comme tu l'avais écrit la première fois : cos²()= 1 - ²/2  , pas /4 !
Je reprends ton message du 28-12-22 à 09:45. Tu sembles avoir un problème de signe avec l'énergie potentielle de pesanteur : tu t'embrouilles avec mgh et -mgh. Tu ferais bien de retenir comme formule générale :
E_pp = m.g.z où z est l'altitude , l'altitude nulle étant celle du point d'énergie potentielle de pesanteur nulle. L'axe des altitudes est bien sûr orienté vers le haut comme en géographie. Dans ce problème cela donne :
E_pp=m.g.z_A avec par convention : z_B=0.
Cela conduit à :
E_pp=m.g.h=m.g.l.(1-cos())½m.g.l.²
PS : puisque les frottements sont ici négligés, l'énergie mécanique se conserve, la somme (E_c+E_pp) doit être indépendante du temps. Cela s'obtient en remarquant :
sin²(.t)+cos²(t)=...

Mon problème ce n'est pas le signe de l'E_p. krinn m'avait bien expliqué cela, dans un autre topic !
Par exemple :
• niveau de référence : point O ;
Altitude : h = OA
Dans ce cas E_pp = - mgh

• niveau de référence : point A ;
Altitude : h = OA
Dans ce cas E_pp = + mgh

• niveau de référence : point B ;
Altitude : h = AB
Dans ce cas E_pp = + mgh

Bref, il existe beaucoup de paramétrages pour l'E_pp. Si l'altitude h est en dessous du niveau de référence (arbitrairement choisi), l'E_pp est négative, et si h est au-dessus du niveau de référence, l'E_pp est positive.
Je crois avoir compris cela !

Maintenant mon problème ici, c'est le développement limité de cos²

Le paramétrage que j'ai choisi pour l'E_pp est le suivant :
niveau de référence : point O ;
Altitude : h = AB
Alors E_pp = - mgh = - mgl(1-cos)
NB : mon paramétrage est différent du tien ici.

Mon soucis : je dois chercher cos et remplacer dans l'expression de E_pp.
Or cos² 1 - ²/2 cos = ???

Je crois avoir commis une erreur dans la formule du développement limité de cosinus, et tu m'as suivi dans cette erreur.
En fait il fallait écrire cos 1 - ²/2  et non cos² = 1 - ²/2

C'est risqué de faire la physique pendant les fêtes (krinn)

Il y a des faute d'inattention dans mon message de 14h09. Je corrige.
Le développement limité du cosinus (pas de son carré) conduit à :
cos()= 1 - ²/2
Ensuite, ni toi ni moi n'avons pris en compte la phrase suivante de l'énoncé : "L'énergie potentielle de pesanteur du pendule est supposée nulle lorsqu'il passe par l'élongation maximale."
Il faut donc poser : z_C=z_Mo=0
Lorsque le pendule occupe la position quelconque M, l'altitude de M est donc négative :
z_M=z_A=-h
Je te laisse exprimer h en fonction de l, et _m.

D'accord : h = l(cos - cos_m)

Donc E_pp = - mgl(cos - cos_m)

Alors je dois écrire que :
cos = 1 - ²/2
cos_m = 1 - _m²/2

Donc E_pp = - mgl(1-²/2 - 1 + _m²/2)
E_pp = - mgl(-²/2 + _m²/2)

Or = _m².cos²t que je remplace dans l'expression de l'E_pp, ensuite je factorise par _m²/2

Je trouve E_pp = (- mgl_m²/2)(- cos²t+1)

E_pp = (- mgl_m²/2)sin²t

AN :

D'accord avec l'essentiel de ton dernier message mais le résultat final est maladroit. Puisque tu as obtenu pour l'énergie cinétique :



il serait intéressant d'obtenir pour l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur quelque chose de la forme :



Facile alors d'obtenir l'expression de l'énergie mécanique et de vérifier qu'elle ne dépend pas du temps !
Énergie mesurées en joules.

D'accord, je comprend

E_pp = (- mgl_m²/2)(- cos²t+1)

AN :

Mais cela revient à la même chose, puis que la somme est toujours nulle. Donc E_m = 0

C'est correct ! Le plus dur est fait !

Question d)

On demande de tracer les graphes de E_c(t), E_pp(t) et E_m(t)

Je dois le faire dans le même diagramme, ou dans 3 diagrammes distincts ?

Personnellement, je verrais bien les trois dans un même repère avec trois couleurs différentes. Plus facile ainsi de visualiser les variations de Ec et de Epp.

Voici ce que j'ai fait.
J'ai mis deux points d'interrogation sur mon repère, il s'agit des valeurs maximales de E_c et de E_pp.

Une énergie cinétique négative ?
Pour les amplitudes : entre quelles valeurs varient le carré d'un sinus et le carré d'un cosinus. Un rapide tableau de variations pourrait être utile si tu as des hésitations.
Tu n'as pas gradué l'axe ses abscisses. Une méthode rapide consiste à graduer cet axe en multiples de T/4...

D'accord, j'ai rectifié.
Si je comprend bien :

0 <= E_c <= ⁴/6480 ;

0 <= E_pp <= - ⁴/6480 ;

Mais l'E_m est toujours nulle ici

Cela est correct. Parler de courbe pour Em est un peu abusif puisqu'il s'agit d'une demie droite d'équation Em=0.

Merci bien vanoise, je vous souhaite une bonne et heureuse année 2023, par anticipation.

Mes meilleurs vœux de l'année à toute l'équipe et plus singulièrement à :
- gbm, le boss du site
- odbugt, ou Monsieur "système, référentiel, bilan des forces, schéma et loi utilisée, sinon pas d'échange ;
- vanoise,  ou madame "Oui c'est correct"
- krinn, ou Monsieur "Que proposes-tu ?"
- quarkplus, ou Monsieur "vous êtes libres de contester ce que je tente d'expliquer"
- m'malou, ou Monsieur/madame "règles du forum"
Une parenthèse d'humour dans l'espoir que le boss gbm ne va pas bloquer mon compte

Bref, vous êtes une équipe plurielle, compétente et très dynamique. Moi je vous dis mille fois "Merci"
Meilleurs vœux à tous les membres de www.ilephysique.net  !

Meilleurs vœux à toi aussi hdiallo et merci pour cette parenthèse d'humour !
Meilleurs vœux aussi à tous les membres de ce forum !
PS : Il est vrai que l'on parle du parc de la vanoise mais il y a un icône à côté du pseudo...

Merci !