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Oscillations mécaniques

Posté par
PLUTOSTEVE
14-06-25 à 18:53

Salut, j'ai eu des difficultés sur la dernière question de cet exercice.

Un solide S de masse m =200g est fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur k 40N/m, de masse négligeable, à spires non jointives. L'autre extrémité du ressort est attachée à un support fixe. Le solide de masse m est guidé rectilignement sur un banc à coussin d'air horizontal. Les frottements sont négligeables. Le solide se déplace dans le repère (O,i) de X à X' . À la date t = 0, le solide S, en mouvement vers la position d'équilibre O dans le repère (O, i), passe par l'abscisse xo = -5 cm, avec une vitesse positive Vo 0,7 m.s¹.

1) Calculer:
a) l'énergie mécanique Em du système du système ressort- solide au début du mouvement;
b) la vitesse du solide au passage par la position d'équilibre;
c) le raccourcissement maximal du ressort;
d) la vitesse du solide au point d'abscisse x= 3,5 cm.

2) a) Etablir l'équation différentielle du mouvement du solide S.
b) Déterminer la pulsation, la période et la fréquence des oscillations.
c) Déterminer l'équation horaire du mouvement du centre d'inertie G du solide sous la forme x(t) = xmsin(wt + φ)

J'ai besoin de votre aide, merci !

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 19:18

Bonjour
Pour t'aider efficacement, il faudrait que tu expliques ce que tu as réussi à faire et ce qui te bloque. Pour la question 1), un raisonnement sur la conservation de l'énergie mécanique d'un système à définir est possible.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 19:31

Voici ce que j'ai trouvé
1)a) Em=Ep+Ec=0,099J
b)V=√(2Em/m)=0,995m/s
c) Xm=√(2Em/k)=0,0703m
d)V=√((2Em-kx²)/m)=0,863m/s
2)a) En appliquant la RFD on obtient x''+(k/m)x=0
b) w=√(k/m)=14,14rad/s
T=(2π/w)=0,444s
f=(1/T)=2,25Hz
c) je n'arrive pas à trouver le déphasage Q

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 19:49

Citation :
je n'arrive pas à trouver le déphasage

Connaissant l'expression générale de x(t), tu peux obtenir par dérivation l'expression générale de v(t). Ensuite l'énoncé fournit les valeurs de x et de v pour t=0...

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 19:54

Après dérivation et calcul pour t=0 j'obtiens sinQ=(xo/Xm) et cosQ=(Vo/wXm) en utilisant la tangente j'obtiens tanQ=-1,01 d'où Q=-0,79

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 21:05

La valeur d'une tangente ne fixe l'angle qu'à rad près. On obtient proprement le résultat en remarquant :
sin()<0 et cos()>0
Tu peux sans doute arrondir tan() à -1, ce qui permet simplement d'exprimer en radians en fonction de .

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 21:13

On aura dans ce cas Q=π/2

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 21:14

Erreur de frappe, on aura π/4

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 21:30

Aide-toi au besoin d'un cercle trigonométrique. Tu es sûr que les inégalités concernant le cosinus et le sinus sont vérifiées pour :
=/4 rad ?

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 21:32

J'ai tapé dans la calculatrice Q=tan-1(-1) et ça donne 45° l'équivalent de π/4

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 21:59

Il faut se méfier de la fonction arctangente, en particulier quand le cosinus de l'angle est négatif, ce qui n'est pas le cas ici.
En attendant d'avoir étudié proprement la fonction arctangente,je te conseille comme déjà écrit d'utiliser un cercle trigonométrique.
Cela dit, puisque le cosinus est ici positif, ta calculatrice devrait te fournir le résultat. Mauvaise utilisation de ta part ?

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 22:19

Oui le cosinus est positif et le sinus est négatif donc la tangente sera négative avec tanQ=-1,01

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 22:27

Citation :
le cosinus est positif et le sinus est négatif

Dans ces conditions, à quel intervalle de valeur appartient l'angle ? Utile un cercle trigonométrique si cela ne te parait pas évident !

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 22:33

L'angle est négatif et il est compris entre -π/2 et 0

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 14-06-25 à 22:46

Oui ! donc avec tan()-1, cet angle vaut ?
Remarque : tu aurais aussi pu remarquer :

\sin\left(\varphi\right)\approx-\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad;\qquad\cos\left(\varphi\right)\approx\frac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 15-06-25 à 00:47

On aura Q=-π/4  ?

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 15-06-25 à 01:05

Oui ! Tu devrais tout de même revoir ta trigonométrie. Petite question complémentaire si tu as le temps, pour illustrer les dangers potentiels de  l'utilisation de la touche arctangente (tan-1 sur la plupart des calculatrices) ; imagine un autre problème qui aurait conduit à :


 \\ \sin\left(\varphi\right)\approx\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad;\qquad\cos\left(\varphi\right)\approx-\frac{\sqrt{2}}{2}
Que vaudrait ? Nous aurions toujours : tan()-1...

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 15-06-25 à 17:08

Q=3π/4 mais pour Q=-π/4 il y a d'autres angles aussi qui vérifient le cosinus positif et le sinus négatif

Posté par
Candide
re : Oscillations mécaniques 15-06-25 à 17:25

Bonjour,

Le déphasage de deux signaux sinusoïdaux est un nombre quelconque, mais on le ramène généralement à l'intervalle ]-π ,+π].

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 15-06-25 à 18:40

Citation :
Q=-π/4 il y a d'autres angles aussi qui vérifient le cosinus positif et le sinus négatif

Pour définir physiquement un angle, il faut connaître systématiquement une fonction trigonométrique de cet angle : la tangente par exemple mais, comme déjà écrit, cela ne suffit pas : il faut aussi connaître le signe d'une autre fonction.
Par exemple ici, il suffisait de savoir :
tan()=-1 et : cos()>0.
Maintenant, tu dois savoir en plus qu'un angle défini à partir de fonctions trigonométriques est défini modulo 2. Si =-/4 convient, tous les angles vérifiant l'égalité suivante conviennent aussi :
=-/4+2k. où k est un entier relatif (voir cours de math).

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 17-06-25 à 22:15

Donc la tangente n'est pas conseillée pour la détermination du déphasage ?

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 17-06-25 à 22:34

Je n'ai pas écrit cela. Il faut s'adapter au contexte. Pour déterminer exactement un angle ( éventuellement un déphasage mais pas seulement) il faut au minimum deux renseignements :
1 : la valeur d'une fonction trigonométrique de cet angle ;
2 : le signe d'une autre fonction trigonométrique de cet angle.
Ton énoncé fournit une valeur numérique non indispensable. La connaissance de xo permet de connaître sin(). Il aurait été suffisant alors de préciser que la vitesse initiale est positive,ce qui conduit à : cos()>0. Donner la valeur initiale de la vitesse n'est pas indispensable dans ce contexte. Pour bien comprendre, tu peux t'aider d'un cercle trigonométrique.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 17-06-25 à 22:48

Ok compris, mais j'ai une autre préoccupation. Et si on demandait la date du 2e passage par la position d'équilibre ?

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 08:07

Il faudrait préciser le sens de la vitesse à ce passage à l'équilibre. Supposons qu'il soit positif. Les différentes dates de passage à l'équilibre avec vitesse positive sont les valeurs de t telles que :
sin(t+)=0
et
cos (t+)>0.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 09:52

Autrement dit on veut les valeurs positives des solutions de l'équation sin(wt+Q)=0

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 10:23

Pas tout  à fait. Un sinus nul correspond à un cosinus égal soit à zéro soit à -1. Il ne faut retenir que les solutions correspondant à un cosinus positif si tu t'intéresses aux passages à l'équilibre avec vitesse positive. Je me répète : "cercle trigonométrique" !

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 10:34

La courbe x=f(t) t'aidera peut-être à mieux comprendre mais il te faut avant tout bien revoir ton cours de math sur la trigonométrie.
L'axe des temps est gradué en huitièmes de période, ce qui est adapté dans ce cas où =-/4 rad

Oscillations mécaniques

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 10:48

Pourquoi le signe de la vitesse est nécessaire ici ?

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 11:10

Il s'agit d'étudier le mouvement d'oscillations d'une masse de part et d'autre d'une position d'équilibre (x=0). Essaie de t'imaginer le mouvement... La masse passe en x=0 avec une vitesse positive, continue jusqu'à sa position extrême (x=Xm) pour repasser ensuite en x=0 avec une vitesse négative puis continue jusqu'en x=-Xm et ainsi de suite.
Le passage à l'équilibre dans un sens et le passage à l'équilibre dans l'autre sens sont deux situations physiques différentes. Il est normal de bien les distinguer...

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 11:14

Oui mais comment on établie la relation sin(wt+Q)=0 et cos(wt+Q)>0

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 11:30

Quelles sont les valeurs de (.t-/4) qui ont un sinus nul et un cosinus positif (cercle trigonométrique utile) ?
Essaie de fournir une réponse en fonction de T pour plus de généralités. Tu peux vérifier graphiquement ta réponse à l'aide de la courbe x=f(t) que je t'ai fournie.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 13:21

Les solutions générales sont de la forme t=(5/8)T+kT ou t=(1/8)T+kT. Pour les solutions particulières, quelles sont les valeurs de k possibles ?

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 14:44

Le sinus est nul et le cosinus positif pour :

\omega.t+\varphi=\frac{2\pi}{T}\cdot t-\frac{\pi}{4}=2k.\pi avec k entier relatif. Soit :

\boxed{t=\frac{T}{8}+k.T}

Si on exclut les valeurs de t négatives, k peut prendre les valeurs : 0, 1, 2, ... Donc les valeurs possibles de t sont :

\frac{T}{8}\;,\;\frac{9T}{8}\;,\;\frac{17T}{8}\;,\;...

Comme je me suis limité pour mon tracé à t\in[0,2T],seules les deux premières valeurs apparaissent.

Un passage à l'équilibre avec vitesse négative correspondrait à un sinus nul et un cosinus négatif, donc à :

\omega.t+\varphi=\frac{2\pi}{T}\cdot t-\frac{\pi}{4}=\pi+2k.\pi

t=\frac{T}{8}+\frac{T}{2}+k.T=\frac{5T}{8}+k.T avec, pour t>0 : k=0, 1, 2, ... Seules les valeurs 5T/8 et 13T/8 apparaissent sur le tracé précédent.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 16:11

Je comprends la résolution mais je n'ai pas compris la méthode. Pouvez me clarifier le concept de vitesse positive et négative pour la détermination des dates de passage (1er passage, 2e passage, 3e passage)?

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 16:23

Observe bien la courbe x=f(t) fournie précédemment. Les passages à l'équilibre correspondent à x=0.
Dans les cas : t=T/8, 9T/8... ce passage se fait avec x croissant en fonction de t donc avec une vitesse positive (n'oublie pas la signification de la dérivée v=dx/dt).
Dans les cas : t=5T/8, 13T/8... ce passage se fait avec x décroissant en fonction de t donc avec une vitesse négative.
si x=Xm.sin(t+)
v=dx/dt=Xm..cos(.t+)
On voit bien que le signe de la vitesse est le signe du cosinus.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 22:03

Mais le sens de la vitesse dépend du mouvement non ? Quand le solide passe pour la première fois à la position d'équilibre avec une vitesse positive (respectivement négative) lors de son deuxième passage la vitesse sera négative (respectivement positive) si je comprends bien

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 18-06-25 à 22:47

Citation :
Quand le solide passe pour la première fois à la position d'équilibre avec une vitesse positive (respectivement négative) lors de son deuxième passage la vitesse sera négative (respectivement positive) si je comprends bien

Oui. Le solide passe par la position d'équilibre toute les demies périodes, une fois dans un sens, la fois suivante dans le sens inverse et ainsi de suite. Observe bien la courbe x=f(t) fournie. Tu as une situation analogue avec un pendule (petite bille fixée à un point fixe à l'aide d'un fil) ou avec le balancier d'une horloge mécanique.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 19-06-25 à 01:05

Je croyais que si on demandait de déterminer la date du 2e passage on devrait résoudre x(t)=0 et trouver la deuxième plus petite valeur positive de t, si c'est le 3e passage la troisième plus petite valeur positive de t

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 19-06-25 à 11:55

C'est exactement ce que j'ai fait dans mon message du 18-06-25 à 14:44 :
Le premier passage en x=0 avec mouvement dans le sens positif correspond à k=0 soit t=T/8 ;
Le deuxième passage correspond à k=1 soit t=T/8+T ;
Le troisième passage correspond à k=2 soit t=T/8+2T
et ainsi de suite. Par définition de la période, la durée entre deux passages consécutifs à la même position et avec la même vitesse est T.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 20-06-25 à 16:58

Sans tenir compte du sens du vecteur vitesse ?

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 20-06-25 à 22:17

Es-tu sûr d'avoir bien lu et compris mon message précédent ?  Il répond à ta question...

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 20-06-25 à 23:41

Ahhh oui ! S'il n'y a pas de contradiction mon message du 19/06/25 à 1:05 je comprends bien

Posté par
vanoise
re : Oscillations mécaniques 23-06-25 à 16:32

Cette animation, certes un peu "rustique", t'aidera peut-être à mieux comprendre le mouvement d'oscillation.

Posté par
PLUTOSTEVE
re : Oscillations mécaniques 23-06-25 à 17:25

Merci pour l'animation, vous êtes super !Et encore merci pour votre aide



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