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Oscillations Mécaniques
Bonjour 
J aurais besoin d'aide pour un exo je cale a certaines questions et je ne comprend pas certaines notions. Merci d'avance !
Voici l'énoncé
Un solide ponctuel S de masse m=0,20kg mobile sur une table à coussin d'air horizontale, est accroché R et R2 identiques de masse à deux ressorts négligeable tendus entre deux points A et B comme l'indique la figure ci-après. La longueur à vide de chaque ressort est lo= 15 cm et la constante de raideur k = 10N/m. La distance des points d'attache A et B vaut L = 40cm.
1-) Déterminer à l'équilibre l'allongement Xo de chaque ressort..
2) S étant en équilibre, on l'écarte horizontalement de 3 cm vers B et on le lâche sans vitesse initiale à la date t=0. Le centre d'inertie G du solide est repéré par l'axe horizontal x'Ox; l'origine O des abscisses coincidant avec la position de G à l'équilibre. On néglige les frottements.
a-) Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie du solide. b-) Ecrire l'équation horaire du mouvement du centre d'inertie du solide en précisant les valeurs numériques de l'amplitude Xm, de la pulsation et de
la phase initiale.
c) A quelle(s) date(s) le solide passe-t-il par l'abscisse 1,5 cm en allant dans le sens négatif des élongations? Quelle(s) valeur(s) prend sa vitesse?
3)a) Exprimer à la date t l'énergie mécanique Em du système (ressorts-solide) en fonction de k, m, x (abscisse instantanée du centre d'inertie du solide
et de sa dérivée première par rapport au temps dx/dt.
En déduire l'expression de Em en fonction de k, de l'amplitude Xm du mouvement de S et l'allongement a initial Xo de chaque ressort.
L'énergie potentielle élastique de chaque ressort est nulle lorsqu'il n'est ni comprimé ni tendu.
b) Retrouver l'équation différentielle du mouvement de S établie à la question 2) en utilisant l'expression de l'énergie mécanique.
voici ce que je suis arrivé a faire
1*Système: {m}
RTSG
BF: R, T1( tension exercé par le ressort 1), T2( tension exercé par le ressort 2), P
A l'équilibre :
Suivant x'x
T1+T2=0
Donc x1=x2=X0
Et la masse étant supposé ponctuelle
X0=(L/2)-lo d'où X0=5cm
2*a*D'après le TCI:
Suivant x'x
-T1-T2=ma
-k(xo+x)-k(x-x0)=ma
Comme xo=0
2kx+m(d²x/dt²)=0
Donc (dt²/dt)+(2k/m)X=0
b*La solution de l'équation différentielle est de la forme x(t)=Xmax cos(wot+fi)
A t=0, fi=0 car x=Xmax
wo=10rad/s et Xmax=3.10-²
D'où x(t)=3.10-²cos(10t)
c*On a : x(t)=3.10-²cos(10t) et v(t)=-0,3sin(10t)
A x=1,5cm et v négatif on a
Cos(10t)=1/2
Sin(10t)>0
Du coup t=pi/30+2kpi on a cela
C bien ça ??
Bonsoir
L'essentiel est correct. Attention à ne pas oublier les unités.
Pour ton dernier message, tu as bien :
cos(10t)=1/2 avec sin(10t)>0
mais je pense que tu as commis une étourderie concernant les valeurs possibles de t.
La suite ?
Pour t je peux avoir t=pi/30+2kpi ou -pi/30+2kpi et sachant que le temps ne peux être négatif ( dans notre cas je crois) j'ai choisi pi/30+2kpi
Je vois pas à quelle niveau se situe l'erreur...
Ton raisonnement sur le cosinus et le sinus est excellent. C'est juste dans l'expression de t qu'il y a une étourderie.
(c'est ce que tu as écrit)
Donc (et c'est là que se situe l'étourderie) :
(t exprimé en secondes)
ce qui donne, en arrondissant à deux chiffres significatifs comme les données :
t=0,10+0,63.k (t exprimé en secondes)
D'accord je vois maintenant.
Dans ce cas, t=pi/30, 7pi/30, 13pi/30, 19pi/30, 5pi/6, -pi/6, -11pi/30, -17pi/30, -23pi/30, -29pi/30
Et v=(racine carrée de 3)sur2
3-a) j'ai essayé de faire mais j'ai qlq soucis lorsqu il s'agit de deux ressorts j'essaie de bricoler en général
J'ai posé : Epp+Epe(ressort1)+Epe(ressort 2)+Ec
(Je me suis dis que l'énergie cinétique c'est celle du solide donc yen a qu'une seule )
Il vient du coup: Em=(1/2)k x²+(1/2)kx²+(1/2)m(dx/dt)
Car en se déplaçant l'un étant en compression et l'autre allongement il se déplaçant d'une même longueur x
Donc Em=kx²+(1/2)m(dx/dt)
C'est bien ?
Pour la question suivante je vois vraiment pas le but vu ce que j'ai trouvé
J'ai : Em=k(xo+x)²+(1/2)m(-xmax wo sin(wot) )
Et donc il vient: Em=k( xo+xmax cos (10t) )² +(1/2)m(-10xmax sin(10t) )
L'expression la plus générale de l'énergie potentielle élastique d'un ressort est ½k.(L-Lo)2 où (L-Lo) représente la différence entre la longueur L du ressort et sa longueur à vide Lo. J'écris bien longueur à vide, pas nécessairement longueur à l'équilibre. Ici, à une date t quelconque, si l'allongement total d'un ressort est (xo+x), l'allongement total de l'autre est (xo-x) de sorte que l'énergie élastique des deux ressorts est :
Ep=½k.(xo+x)2+½k.(xo-x)2 .
Je te laisse simplifier.
Ensuite : tu sais que l'énergie mécanique reste constante en absence de frottement :
; cela permet d'écrire que sa dérivée par rapport au temps reste nulle à chaque instant.
t.
Cela va te conduire à l'équation différentielle déjà obtenue à partir du TCI.
Oui je vois
Mais a la question 3-a) on nous demande d'en déduire Em en fonction Xmax, xo et k je crois
Pour 3a) : il suffit d'utiliser l'expression de l'énergie potentielle que je t'ai fournie, de la simplifier comme demandé puis d'y ajouter l'énergie cinétique. De façon immédiate :
Question 3b) : Il s'agit de partir de l'expression précédente pour obtenir l'équation différentielle obtenue déjà à partir du TCI :
Comme écrit dans mon précédent message, il faut écrire :
Cela va te conduire à dériver par rapport à t (pas par rapport à x ! ) x2 et . Cela me paraît un peu ambitieux au niveau terminale. En cours de math serais-tu expliciter la dérivée par rapport à t de
?
Oui je crois pouvoir m'en sortir
On a dEm/dt=0
Donc m(d²x/dt)+2kx=0 (après dérivation)
Euhh j'aurais dit: pour la dérivé j'aurais dit que ce sera égale a 2f'(t)
Pour 3a) : il suffit d'utiliser l'expression de l'énergie potentielle que je t'ai fournie, de la simplifier comme demandé puis d'y ajouter l'énergie cinétique. De façon immédiate :
Et du coup pour voir le Xmax apparaître on utilise la relation avec v et Xmax et pour x on fait de même ?
Oui je crois pouvoir m'en sortir
On a dEm/dt=0
Donc m(d²x/dt)+2kx=0 (après dérivation)
Euhh j'aurais dit: pour la dérivé j'aurais dit que ce sera égale a 2f'(t)
(1/2)×2m(d²x/dt²)+2kx+0=0
D'où m(d²x/dt²)+2kx=0
Ce n'est pas tout à fait aussi simple...
La dérivée de x2 par rapport à t vaut 2x.x' où x' représente la dérivée de x par rapport à t, c'est à dire la vitesse.
Par analogie, la dérivée de v2 par rapport à t vaut 2v.v' où v' désigne la dérivée de v par rapport à t, c'est à dire l'accélération.
À toi de simplifier...
Ah ouii je vois l'erreur
Du coup on a:
(1/2)2m(dx/dt)(d²x/dt)+2kx(dx/dt)=0
Comme dx/dt différent de 0
Du coup m(d²x/dt)+2kx=0
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