Bonjour
Il s'agit d'obtenir une équation différentielle analogue à celle que tu viens d'obtenir en mécanique. La loi d'addition des tensions permet d'aboutir. Faire un schéma soigné en orientant correctement les dipôles.

D'accord et voici mon schéma

Question 1 : Équation différentielle du mouvement

• aux bornes de la bobine : U_b = L(di/dt) + Ri
Or i = dq/dt di/dt = d²q/dt² = q''

Alors U_b = Lq'' + Rq'

• aux bornes du condensateur : U_c = q/c

La loi des mailles donne, après simplification :



En posant 2 = R/L = R/(2L)
et  

Ainsi :

Expression du degré d'amortissement

En remplacement et la pulsation propre par leurs expressions, on trouve ceci :



C'est ça ?

Question 2 : Montrons que l'on a

Je pense que la méthode consiste à dériver q(t) deux fois de suite et à remplacer dans l'équation différentielle.
Ensuite, petit arrangement de l'équation permet d'aboutir au résultat demandé. C'est ça ?

Bonjour,

Oui, c'est ça, mais je te conseille de mettre Q₀ et e^-t en facteur dans q, q' et q" puis dans l'équation finale. Comme ces deux termes ne sont pas nuls, tu peux les supprimer dans l'équation différentielle. Il ne reste plus qu'à regrouper les termes en sinus et cosinus et d'annuler leurs coefficients.
Tu verras d'ailleurs qu'il ne reste que le terme en cosinus.

Le résultat attendu sort facilement !
Je détaille ici mon travail.

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•

•  

Maintenant il suffit de remplacer dans l'équation différentielle pour aboutir à la relation demandée.

Parfait !

Cela est sans conséquence pour les deux premières questions mais il est possible que ton énoncé ne soit pas tout à fait cohérent, ce qui pose problème pour la question 3. Ton énoncé n'est pas précis à cet égard mais il est très probable que le condensateur, une fois chargé à l'aide d'un générateur de tension continue annexe, est relié à la date t=0 à la bobine (L,R). Celle-ci n'est parcourue par aucun courant avant sa connexion au condensateur. Or, tu sais que la présence d'une bobine dans une branche, impose la continuité de l'intensité du courant à travers celle-ci (voir autre exercice). La continuité de i à travers la bobine en t=0, impose donc une intensité nulle en t=0.

En t=0 :

Reprends ton calcul du 10-06-25 à 03:31 : il ne conduit pas à ce résultat. Conclusion : l'expression de q(t) fournie par l'énoncé ne convient pas. Il faut poser :



Alors :



Il est ainsi possible d'obtenir en t=0 si : .

Ajouter ce déphasage ne modifie pas les résultats des deux premières questions mais modifie légèrement l'allure de la courbe q=f(t). En particulier, cette courbe doit présenter une tangente horizontale en t=0 (voir cours de math).

Sachant qu'un cosinus varie entre -1 et 1, la courbe q=f(t) doit être comprise entre les exponentielles d'équations et .

Comme dans l'autre exercice, on peut définir une constante de temps : . Les deux exponentielles se confondent pratiquement avec l'axe horizontal q=0 au bout d'une durée d'environ 5.

N'ayant pas de valeurs numériques, j'ai choisi 5 voisin de 5T/2 mais cela est purement arbitraire de ma part.

Au niveau terminale, on se limite à l'étude de l'allure de la courbe. N'hésite pas tout de même à poser des questions si tu le juges utile.

Bonjour vanoise,

D'accord avec vous pour la rédaction de l'énoncé, qui m'avait aussi interpellé. Je pense que l'auteur a voulu éviter à l'élève d'avoir à calculer le déphasage donc de faciliter le tracé demandé. Par contre, il aurait alors fallu préciser que l'origine des temps est choisie à l'instant où q est de la forme Q₀e^-tcos(t).
Bien sûr, ceci entraîne que i(t) n'est pas nul à l'instant t=0.

Bonjour fph67
Ce genre d'énoncé se rencontre souvent lorsque l'on pose au niveau "n" un exercice de niveau "n+1" ... Le concepteur, en voulant rendre l'exercice plus facile, se permet quelques entorses à la physique ou quelques non-dits.
Comme hdiallo est quelqu'un de motivé qui cherche à approfondir, je me suis permis de présenter les choses comme cela se fait habituellement au niveau (bac+1).