Bonjour
La méthode consiste à appliquer la loi des nœuds en écrivant l'expression de la tension entre A et B de trois façons différentes.

D'accord.
Question 1
Au nœud A : i = i₁ + i₂

• branche contenant le générateur :
U_AB = Ri - E

• branche contenant la branche du milieu :
U_AB = Ri₂

• branche contenant le bobine :
U_AB = ???? Aidez moi ici

Bonjour,

Attention :  U_AB = V_A - V_B

Aucune de tes relations de tension n'est correcte, erreur de signe ou erreur sur le courant

Il faut corriger en :

U_AB = E - Ri
U_AB = R.i₁

Pour la 3ème branche, il faut te rappeler que U_L = L.di₂/dt

Tu dois maintenant pouvoir écrire U_AB par la 3ème branche ...

Bonsoir hdiallo
Pour éviter les erreurs de signes, tu as toujours intérêt à orienter tous les dipôles du circuit. Cela commence par préciser pour chaque branche, à l'aide d'une flèche sur le fil, le sens conventionnel positif du courant : cela est déjà fait ici.
Ensuite, il faut indiquer à côté de chaque dipôle, la flèche de définition de la tension aux bornes de ce dipôle. Voir si nécessaire le document ci-joint rappelant les conventions. Bien voir alors si le dipôle est orienté selon la convention récepteur ou selon la convention générateur : cela influence les signes et sans ce travail préliminaire, les fautes de signes sont fréquentes. Par exemple, pour un conducteur ohmique en convention récepteur, la loi d'Ohm s'écrit U = R.i alors qu'en convention générateur, elle s'écrit : U=-R.i !
Voir document ci-dessous ; n'hésite pas à poser des questions complémentaires si tu le juges utile !

Voici le schéma avec orientation du dipôle, en rouge la flèche de la tension.

• branche contenant le générateur :
U_AB = E + RI

• branche du milieu : U_AB = RI₁

• branche contenant la bobine :
U_AB = L(dI₂/dt) + RI₂

La loi des noeuds permet d'écrire : I = I₁ + I₂

Tu as bien orienté les dipôles mais ensuite, la loi d'addition des tensions correspond à la loi d'addition des vecteurs...



Si on récapitule, on obtiens, comme expliqué dans mon premier message, trois relations indépendantes :

Tension commune aux branches gauche et droite :



Tension commune aux branche gauche et centrale :



Loi des noeuds :



Méthode possible pour obtenir l'équation différentielle : partir de l'équation (1) et exprimer i2 en fonction de i puis di₂/dt en fonction de di/dt en utilisant les relations (2) et (3).

Éliminer i1 entre les relation (2) et (3) ; cela donne l'expression de i2 en fonction de i, R et L. Dériver par rapport au temps donne la relation entre di₂/dt et di/dt.

On reporte dans (1) et le tour est joué !

Merci.

• De la relation (2) :

• De la relation (3) : i₂ = i - i₁

En remplaçant i₁ par son expression on trouve ceci  

Donc

Dans (1) :

Soit  

D'où l'équation différentielle demandée :

Très bien !

Merci
On demande à présent de préciser le régime du courant dans chaque branche.

Tout dépend du générateur, à mon avis.
S'il débite un courant continu, alors le régime est continu, sinon il est alternatif.

L'énoncé précise clairement qu'il s'agit d'un générateur de tension continu.
La solution de l'équation différentielle précédente est de la forme :

.
Cette expression dépend du temps mais le terme variable décroît exponentiellement en fonction du temps pour devenir d'influence négligeable au bout d'une durée d'environ 5. On considère en effet en physique : exp(-x)0 pour x>5. Tu veux vérifier avec ta calculatrice. Le courant traversant le générateur est donc un courant transitoire de durée voisine de 5 suivi d'un courant continu. On parle de régime transitoire. En utilisant les relations de ton message du  09-06-25 à 15:37, tu peux montrer qu'il en est de même pour les deux autres courants...
Pour illustrer cela et te permettre de t'auto-corriger pour les résultats suivants, voici une simulation représentant les variations en fonction de t des trois intensités. Je te laisse le soin d'identifier les trois courbes. (la lettre "m" signifie "milli" pour les graduations des axes).

Tu as sans doute vue en cours qu'une bobine impose la continuité de l'intensité dans sa branche au cours de temps. Les intensités étant nulles avant fermeture de l'interrupteur, i3=0 en t=0 à la fermeture de l'interrupteur. Cela permet déjà d'identifier la courbe bleue.
A t=0, tout se passe comme si la branche de droite n'existe pas. L'étude du reste du circuit impose donc à t=0 :
i=i2=E/2R.

Pour t>5, le régime continu est atteint. La bobine se comporte alors comme un simple fil, la branche de droite est équivalente à une résistance R. Facile alors de trouver les valeurs asymptotiques des trois intensités...
Tout cela permet d'identifier les trois courbes et de calculer les valeurs de A et de B.
Ensuite, comme dans l'autre exercice, exprime la dérivée di/dt et reporte dans l'équation différentielle. Cela va te permettre d'exprimer en fonction de L et R.

vanoise , je commence à perdre le fil.

Tu parles de i₃ que je ne vois pas.

Ensuite, à t = 0, tous les courants sont nuls. Normalement, toutes les courbes devraient bouger à l'origine du repère. Mais je constate que 2 courbes (bleue et verte) bougent au point (0, 300mA).

La courbe en vert décroît et tend vers 200 mA tandis que la courbe en rouge croît et tend vers 400 mA. C'est ce que je ne comprends pas.

La courbe en bleu représente la variation variation du courant dans la bobine, si je comprends bien. C'est ça ?

J'allais oublié, quel est le symbole d'un générateur délivrant un courant alternatif ?

Petit complément : compte tenu du circuit équivalent pour t>5  déjà décrit :
i1=i2=i/2=200mA pour t tendant vers l'infini.

vanoise

• courbe bleue i₂
• courbe rouge i
• courbe verbe i₁

C'est ça ?

Oui !
Il te reste à déterminer les valeurs de A, B et . La valeur de permet de comprendre pourquoi l'étude est effectuée entre zéro et 170ms.