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Mouvement des satellites

Posté par
hdiallo 30-11-23 à 06:18

Bonjour, aidez-moi svp.
Problème :
1) Lors de son trajet Terre-Lune, une fusée destinée à placer un satellite autour de la Terre, passe par le point neutre. A cet endroit, les champs de gravitation terrestre et lunaire se compensent.
a) Quelle fraction du parcours a été effectuée quand se produit le phénomène ?
b) A quelle distance la fusée se trouve-t-elle de la Terre ?
2) Un satellite géostationnaire est placé sur une orbite circulaire autour de la Terre, à l'altitude Z=36 000 km.
a) Calculer la valeur du champ de gravitation terrestre qui agit sur le satellite.
b) Calculer les valeurs extrêmes du champ de gravitation lunaire. Quelles fractions de la valeur du champ de gravitation lunaire représentent-elles ? Conclure.
On donne : masse et rayon terrestre MT=5,97.1024kg ; RT=6378 km ;
masse et rayon lunaire : ML=7,35.1022kg ; RL=1738 km ;
distance Terre-Lune : d = 384,4.103km

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 30-11-23 à 08:43

Bonjour
Qu'as-tu fait? Où bloques-tu?

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 30-11-23 à 17:24

A la question 1.a), il s'agit de trouver la position du point neutre par rapport à la surface de la terre. Ensuite, évaluer cette distance en % par rapport à la distance Terre-Lune.

C'est ça ?

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 30-11-23 à 21:33

Pas de "surface" ici. Pas la peine de s'embêter. Le point neutre, tu le localises sur le segment de longueur d et d'extrémité les 2 centres de masse Terre et Lune.  Leur "parcours", ça n'est pas très clair. Pour l'application numérique, tu supposeras qu'on "relie" les 2 centres, soit la distance d.

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 30-11-23 à 22:34

Je n'ai pas bien compris ton message, franchement

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 01-12-23 à 08:51

Tu écris " il s'agit de trouver la position du point neutre par rapport à la surface de la terre". Je te réponds que tu te compliques et que c'est par rapport au centre de la Terre.

T --------------------------n----L      :   n point neutre

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 02-12-23 à 07:32

Pour la représentation du point neutre, c'est bon. Mais on demande une fraction du parcours quand ce produit le phénomène. C'est là où j'ai pas bien saisi saisi.
Que veut dire réellement le concepteur de cet Énoncé ?
Dans son document il donne pourtant une réponse finale de "90%"

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 02-12-23 à 08:44

T --------------------------n----L
|                                                  |        |
|                                                  |        |
|<------------------------ >|        |
|                        r                                  |
|                                                            |
|<------------------------------>|
                               d

C'est le rapport r/d

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 05-12-23 à 03:14

D'accord.
Au point neutre, on a : gT = gL

• gT = (GMT)/r²
• gL = (GML)/(d-r)²

Alors j'égale ces deux champs, j'obtiens après simplification :

\frac {M_T}{r²} = \frac {M_L}{(d-r)^2} \Rightarrow \frac {(d-r)²}{r²}=\frac {M_L}{M_T}

Donc \frac {d}{r}=\sqrt {\frac {M_L}{M_T}}+1

AN : \frac {d}{r} = 1,11\Rightarrow \frac {r}{d} = 0,90

Soit r/d = 90%

Question b) : A quelle distance la fusée se trouve-t-elle de la Terre ?

Ici on demande la distance r

\frac {r}{d}=0,90\Rightarrow r = 0,90d

AN :    r = 345 960 km

Question 2.a) :
Dans le référentiel géocentrique (supposé galiléen) le satellite n'est soumis qu'à l'attraction terrestre. Donc :

• F = G\frac {m.M}{r²}  (selon la loi de Newton) ;
• F = mg  (par définition du champ)

On pose F = F g = (GMT)/r²

Or r = RT + Z ;
à la surface de la terre  GMT = g0RT²

Alors g = g_0\frac {R_T²}{(R_T+Z)²}

AN : g = 0,22 m/s²

Question b) : je suis bloqué ici

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 05-12-23 à 09:13

Oui, question b, l'énoncé n'est pas du tout clair. J'aurais attendu "Quelles fractions de la valeur du champ de gravitation lunaire terrestre représentent-elles ?"

Bref, calculer l'influence de la Lune sur cette orbite géostationnaire r=R_S.. Donc le champ créé par la Lune au min et max de la distance, soit à la distance r=d-R_S   et  r=d+R_S
dans la formule   g_L= \dfrac{GM_L}{r^2}
Ils veulent que tu compares ces 2 valeurs au champ terrestre (0,22 m/s²), et de  "conclure"

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 05-12-23 à 11:46

Donc si je comprend bien, on demande gL(max) et gL(min).
Maintenant, en quels points gL est maximal et gL est minimal ?

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 05-12-23 à 13:45

Il me semble t'avoir répondu.
Je pense que c'est ça:

Min-----T-----Max--------------------------L
|                |             |                                                     |
|<---- >||<---- >|                                                    |
        Rs    |      Rs                                                        |
                 |<---------------------------------- >|
                                                   d

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 05-12-23 à 18:30

D'accord, mais ce que je ne comprends pas, que représente RS ?

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 05-12-23 à 20:15

Le rayon de l'orbite géostationnaire R_S=R_T+Z

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 05-12-23 à 21:26

OK
• gL(max) = (GML)/(d - Rs)²

AN : gL(max) = 0,042 m/s²

• gL(min) = (GML)/(d + Rs)²

AN : gL(min) = 0,027 m/s²

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 06-12-23 à 09:07

Tes valeurs semblent beaucoup trop élevées. On est bien loin de la Lune et assez proche de la Terre. Là tu as gL(max)=0.042m/s² et gS=0.22m/s², soit 5 fois moins seulement: la Lune aurait trop d'influence sur le satellite pour qu'on puisse considérer la Terre comme unique attracteur.

Dans l'énoncé, il ne te donnent pas la valeur de G. Tu ne peux donc pas faire directement l'application numérique. Tu as dû te tromper (oublié le carré ? ).

Il te faut calculer les rapports à la référence g_T(Rs), soit \dfrac{g_L(max)}{g_T(Rs)} et \dfrac{g_L(min)}{g_T(Rs)}

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 13-12-23 à 01:56

Ah d'accord, je vois. J'ai repris les calculs et j'ai trouvé ceci :
gL(max) = 4,19.10-5 m/s²

gL(min) = 2,69.10-5 m/s²

Maintenant, comme tu viens de le dire, je dois comparer ces deux valeurs à la référence.

La référence est gT(RS) = GMT/(RT + Z)
AN : gT = 0,22 m/s² (valeur déjà trouvée en haut)

\dfrac{g_L(max)}{g_T(Rs)} = 1,9.10^{-6}

Et \dfrac{g_L(min)}{g_T(Rs)} = 1,22.10^{-4}

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 13-12-23 à 09:32

ok pour les valeurs des champs lunaires.

Pour les rapports, il ya une erreur sur le premier:
c'est plutôt:

\dfrac{g_L(max)}{g_T(Rs)} = 6.45.10^{-4}

\dfrac{g_L(min)}{g_T(Rs)} = 1,22.10^{-4}


Tu vois qu'à cette altitude, le champ lunaire n'atteint même pas le millième du champs terrestre: c'est pour cela qu'on a pu le négliger, et considérer la Terre comme unique attracteur dans le cas d'une satellisation géostationnaire. Mais souvent on ne parle pas de cet hypothèse aux élèves. C'est dommage, et ton problème est intéressant pour cela.

On peut ainsi trouver les "zones" de possible satellisation autour des planètes. Si tu as du temps, tu peux faire les calculs. On ne cherche pas le point Neutre, mais les points où le champ est 100 fois supérieur aux autres champs. Dans tous les cas, il y a une altitude limite où on ne peut plus rien satelliser, car le champ des autres astres deviennent trop important.

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 13-12-23 à 12:16

Merci bien.
Mais je ne vois pas mon erreur de calcul, car :

\frac {g_{L}(max)}{g_T(R_S)}=\frac {4,19.10^{-5}}{0,22}=1,9.10^{-4}

Posté par
fabo34re : Mouvement des satellites 13-12-23 à 18:55

Oui, tu as raison. Ton erreur était ici:
hdiallo @ 13-12-2023 à 01:56


\dfrac{g_L(max)}{g_T(Rs)} = 1,9.10^{-6}


Et j'ai mal rectifié. Désolé.
C'est bien : \dfrac {g_{L}(max)}{g_T(R_S)}=1,9.10^{-4}

Posté par
hdiallore : Mouvement des satellites 13-12-23 à 20:09

Merci bien, j'ai très bien compris !
Bonne suite !


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