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Mouvement d'un satellite; force de frottement.
Bonjour, aidez-moi svp
Exercice
Un satellite décrit autour de la terre une trajectoire circulaire à une altitude initiale h = 650 km.
1) Calculer dans le repère géocentrique la vitesse linéaire V de ce satellite en supposant l'altitude constante. Calculer la période T du satellite.
2) Par suite des frottements dans l'atmosphère l'altitude du satellite décroît de 1/1000 de sa valeur à chaque tour. Vérifier que les altitudes du satellite à la fin du premier, deuxième, troisième...nième tour sont en progression géométrique.
3) Au bout de combien de tours environ cette altitude devient-elle égale à 620 km ?
On donne G0 = 9,8 S.I.
1) Vitesse linéaire V du satellite
- système étudié : satellite de masse m et de centre d'inertie S ;
- référentiel : géocentrique (supposé galiléen)
-bilan des forces : la force d'attraction exercée par la terre, qui représente son poids.
Application du Théorème du centre d'inertie :
Alors
Soit le base de Frenet.
Les coordonnées du vecteur accélération sont :
at = 0 et a = an = g
Donc an = g
Or, à la surface du sol G0 = KM/R² KM = G0R²
À l'altitude h, r = R + h
D'où
r/V
Bonjour,
Question 1 :
Je suppose que " R " représente le rayon terrestre, " r " la distance de centre à centre entre la Terre et le satellite et " h " l'altitude du satellite par rapport an centre de la Terre
La relation que tu trouves qui donne la vitesse " V " du satellite est nécessairement fausse car non homogène.
Il s'agit probablement d'une erreur de frappe car le raisonnement amenant à ce résultat est correct.
Soit h0 l'altitude initiale du satellite.
En faisant son 1er tour il perd (1/1000) de son altitude initiale.
Son altitude h1 devient h0 - ( h0 / 1000 ) = h0 ( 1 - (1/1000) ) = 999 h0 / 1000 = 0,999 h0
En reprenant ce raisonnement pour les tours suivants on obtient les altitudes successives h2, h3 ...... etc et on vérifie que ces altitudes sont en progression géométrique.
Alors
h2 = h1 - h1/1000
h2 = 0,999h1
De même h3 = 0,999h2
h4 = 0,999h3
.
.
hn+1 = 0,999hn
Alors les altitudes h forment une suite géométrique de raison q = 0,999 et de 1er terme h0. L'expression générale donnant toutes les altitudes est hn = h0(0,999)n
3) calculons n pour que h soit égale à 620 km
Je pose : 620 = 650 (0,999)n
62/65 = 0,999n = (1 - 0,001)n
J'applique la formule d'approximation :
(1 + 
)n
1 + n
Alors 62/65 1 - 0,001n
Donc 0,001n 3/65
n 3000/65
n 46 tours
On cherche à résoudre l'équation 62 / 65 = (0,999)n
On utilise les logarithmes :
log (62 / 65) = log ( (0,999)n ) = n * log (0,999)
n = log (62/65) / log (0,999) = 47,2
n ≈ 47 tours
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