Bonjour, j'ai choisi pour mon grand oral ce sujet "En quoi les équations différentielles permettent-elles de modéliser le mouvement d'un corps" donc un sujet maths-physique. Et je me demandais ce que vous pensiez de la partie physique de mon oral et surtout quelles sont les genres de questions qui peuvent m'être posé, c'est surtout les questions qui me font peur (je vous envoi la partie physique uniquement, enfin même si il y a aussi des maths...)

Voici :
On peut notamment modéliser le mouvement d'un corps avec les équations différentielles simples qui peuvent être résolu explicitement. Pour décrire le mouvement d'un corps, on étudie sa position, sa vitesse et son accélération à l'aide du vecteur accélération noté
, du vecteur vitesse noté   et du vecteur position noté   . En primitivant le vecteur accélération, on obtient le vecteur vitesse et en primitivant le vecteur vitesse on obtient le vecteur position, et donc inversement en dérivant le vecteur position on obtient le vecteur vitesse et en dérivant le vecteur vitesse on obtient le vecteur accélération.

Donc je vais montrer qu'avec le vecteur accélération on peut obtenir le vecteur vitesse grace aux équations différentielles.

On va prendre l'exemple d'un parachutiste en chute libre. Lors de la chute d'un corps de masse m sur Terre, une force de frottement due à la résistance de l'air s'applique à ce corps. Le mouvement est verticale et rectiligne et l'hélicoptère qui largue le parachutiste se trouve à un point fixe au moment du saut du parachutiste .

La chute étant verticale , on peut écrire d'après la seconde loi de Newton:  
mais comme le corps est soumis aux frottements de l'air, on a :

Avec m qui correspond au poids du parachutiste en kg, a(t) l'accélération en fonction du temps t, g l'accélération de la pesanteur qui est une constante, k une constante positive et enfin v(t) la vitesse en fonction du temps t.

Avec cette formule, on peut déjà déterminer le vecteur accélération en simplifiant les deux membres par la masse m, la formule devient donc :
soit .
On sait de plus que  a(t) est égale à  v'(t) puisque le vecteur accélération correspond à la dérivée du vecteur vitesse. On a donc :.
Ainsi, on a obtenu une équation différentielle (E) de la forme y′=ay+b vérifiée par v où a est égale à  et b est égale à g.
Or les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions qui à x associe K*e^a*t - . C'est-à-dire soit .
On peut déterminer K à l'aide des conditions initiales, c'est-à-dire que pour t=0, v(0)=0 puisque la vitesse est nulle à 0s car l'hélicoptère se trouve en un point fixe et n'a donc pas de vitesse.
On cherche donc K tel que . Or  e⁰=1 donc on a ainsi .
Donc on btient :

On a ainsi obtenu le vecteur vitesse grâce à une équation différentielle. On pourrait maintenant déterminer le vecteur position en primitivant le vecteur vitesse ou déterminer la limite du vecteur vitesse pour connaître la vitesse limite que le parachutiste peut atteindre.


Merci d'avance