Bonjour à tous,

Je me permets de poster ici, car je ne m'en sors pas avec un exercice dont voici l'énoncé (je traduis de l'anglais, en principe tout est correct) :

Un petit bloque de masse m est placé à l'intérieur d'un cône renversé en rotation autour d'un axe vertical de façon à ce que la durée d'une révolution du cône soit T. Les parois du cône forment un angle avec l'horizontale. Le coefficient de friction statique entre le bloque et le cône est _s. Si le bloque reste à hauteur constante par rapport au sommet du cône, quelles sont a) la valeur maximum de T, et b) la valeur minimum de T ? (Autrement dit, trouvez les expression de T_max et T_min en fonction de et h). (J'ai joint un schéma illustrant le problème à la fin du message.)

J'obtiens facilement l'équation qui donne la forme générale du problème :

A partir de a_c = (4²R)/T²

on obtient T = 2 (R/a_c)

1) Pour obtenir R en fonction de et h :

Soit un repère orthogonal (O, x, y)

soit un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la génératrice c du cône, qui forme un angle avec l'axe x. Le sommet du triangle correspondant au sommet du cône est le point O. La hauteur h est sur l'axe y.

cos = R/c donc R = cos . c

sin = h/c donc c = h / sin

Et donc R = cos . h/sin = cot . h

2) Les choses se corsent lorsqu'il s'agit d'obtenir a_c.

Les forces qui agissent sur l'objet sont la force normale N, le poids w et la friction statique _s.

La question est : comment ces forces s'additionnent pour donner une force centripète F_c qui soutienne a_c ?

Je vois bien que les vecteurs N et w s'additionnent pour donner un vecteur qui pointe vers le sommet du cône (qui 'descend' le long de la pente) et qui participe à la force centripète (si je puis m'exprimer ainsi), par contre je ne sais vraiment pas quoi faire de la friction statique.

Je suppose que la friction statique joue un rôle double : 1) empêcher l'objet de glisser le long de la paroi du cône (vecteur parallèle à la génératrice dans un sens opposé au sommet), 2) empêcher l'objet de "sortir" du cône, donc en jouant le rôle de force centripète. (vecteur parallèle à la génératrice, orienté vers le sommet du cône, dont la composante x s'additionne à la force centripète).

Je comprends que plus la vitesse est élevée (donc plus T tend vers T_min), plus la force centripète sera élevée, et plus la friction empêchant l'objet de sortir du cône sera élevée (la force normale étant quant à elle constante). Inversement, plus T tend vers T_max, plus la friction empêchant l'objet de sortir du cône sera faible.

C'est à partir de là que se présente ma difficulté, je n'arrive pas à avoir une idée cohérente de la façon dont la (les ?) friction(s) interviennent pour s'additionner à la force centripète déjà donnée par la force normale et le poids.

J'ai tenté l'exercice, j'obtiens une partie de l'équation finale, mais il me manque des données. Mon message est déjà assez long, donc je ne vais pas vous embêter avec mes tentatives ratées, qui ne feront que rendre le message plus confus qu'il ne l'est déjà, d'autant qu'il me semble que ma difficulté centrale est exposée ci-dessus : que faire de la friction statique ?

Merci pour votre lecture, dans l'espoir de vous lire et de recevoir vos éclairages et vos idées,

Cordialement,