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Métronome

Posté par
hdiallo
03-08-22 à 02:32

Bonjour, SVP veuillez m'assister ici.

Problème
Un métronome, est constitué d'une tige AB, de longueur l, de masse négligeable mobile autour d'un axe horizontal (). L'axe coupe la tige en O. En A est fixée une masse ponctuelle M = 60 g. Entre O et B peut se déplacer une masse  ponctuelle  m = 20 g. On donne :
AB = l = 30 cm ; OA = 10 cm ;
x = distance de l'axe de rotation à la masse m.
1) Si G est le centre d'inertie du pendule ainsi constitué, exprimer la distance a du centre de gravité G à l'axe de rotation.
2) Exprimer le moment d'inertie du pendule par rapport à ().
3) Donner l'expression de la période T des petites oscillations du pendule en fonction de x. Tracer la courbe T² = f(x)

Métronome

Posté par
vanoise
re : Métronome 03-08-22 à 09:28

Bonjour
Pb assez proche d'un précédent... Que proposes - tu ?

Posté par
hdiallo
re : Métronome 03-08-22 à 09:56

Bonjour,

Je demande, puisque la masse m se déplace, le centre d'inertie G du pendule doit aussi se déplacer, c'est-à-dire G varie en fonction de x.
C'est ça ?

Posté par
hdiallo
re : Métronome 03-08-22 à 09:58

hdiallo @ 03-08-2022 à 09:56

Bonjour,

Je demande, puisque la masse m se déplace, le centre d'inertie G du pendule doit aussi se déplacer, c'est-à-dire OG varie en fonction de x.
C'est ça ?

Posté par
vanoise
re : Métronome 03-08-22 à 11:27

Un métronome est destiné à battre la mesure en musique.  Sa période doit donc être réglable en fonction du rythme du morceau joué. Ce réglage s'obtient en modifiant la valeur de x. Cela modifie à la fois la valeur de a=OG et la valeur du moment d'inertie par rapport à l'axe, donc cela modifie la période.

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 11:04

D'accord.
J'utilise une relation barycentrique :
Soit G le barycentrique du système de A affecté de M et de B affecté de m. Alors :

M.\vec {GA}+m.\vec {GB}=\vec 0

En introduisant le point O, J'obtiens :

(M+m)\vec {OG}=M.\vec {OA}+m.\vec {OB}

Les points O, G, A et B sont alignés. En module :

(M+m)OG=M.OA+m.OB

Or OG = a et OB = AB - OA = l - OA

Donc  a = \frac {M-m}{M+m}OA+\frac {m}{M+m}l

AN : a = OG = 12,5 cm

C'est ça ?

Posté par
vanoise
re : Métronome 04-08-22 à 14:24

Non : la masse "m" est à la distance "x" de O, pas à la distance OB. Relis bien mon message précédent : a=OG doit dépendre de x...
Attention : le point G doit nécessairement être situé entre O et A.

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 15:18

OK.
Soit C un point situé entre O et B tel que OC = x. La masse m est en C.

J'utilise une relation barycentrique :
Soit G le barycentrique du système de A affecté de M et de C affecté de m. Alors :

M.\vec {GA}+m.\vec {GC}=\vec 0

En introduisant le point O, J'obtiens :

(M+m)\vec {OG}=M.\vec {OA}+m.\vec {OC}

Les points O, G, A et C sont alignés. En module :

(M+m)OG=M.OA+m.OC

Or OG = a et OC = x

Donc  a = \frac {M}{M+m}OA+\frac {m}{M+m}x

C'est ça ?

Posté par
vanoise
re : Métronome 04-08-22 à 15:26

Non : \vec{OA} et \vec{OG} sont des vecteurs de même sens mais \vec{OA} et \vec{OC} sont des vecteurs de sens opposés. Il faut en tenir compte dans les projections.

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 15:42

OK.

(M+m)\vec {OG}=M.\vec {OA}+m.\vec {OC}

Suivant le sens de \vec {OA}, on a :

(M+m)OG=M.OA-m.OC

Or OG = a et OC = x

Donc  a = \frac {M}{M+m}OA-\frac {m}{M+m}x

C'est bon ?

Posté par
vanoise
re : Métronome 04-08-22 à 15:44

Oui !

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 16:16

Comment faire l'application numérique maintenant, puisque x est inconnu ici ?

Posté par
vanoise
re : Métronome 04-08-22 à 16:47

Les applications numériques seront à faire seulement lors de tracé de la courbe T2 = f(x).

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 17:17

D'accord.

2) Expression du moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe Delta :

La masse de la tige étant négligeable, le moment d'inertie du pendule est :

J = Jm + JM

Avec Jm = m.x²  et  JM = M.OA²

Donc    J_\Delta = m.x²+M.OA²

Posté par
vanoise
re : Métronome 04-08-22 à 17:50

D'accord !

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 18:11

3) Expression de la période T

Est-ce je peux utiliser l'Em ?

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 19:12

L'énergie mécanique du pendule est :

Em = Ec + Epp

• L'énergie cinétique du pendule est Ec = ½J.²  
Or = d/dt = '

Donc  Ec = ½J.'

• Pour l'Epp, choisissons un axe vertical orienté vers le bas dont l'origine coïncide avec le point O
Epp = - (M+m)gh   ( avec h = a.cos)
Donc Epp = - (M+m)ga = - (M+m)g.a.cos

Ainsi Em = ½J.' - (M+m)g.a.cos

Or l'Em = constante, sa dérivée par rapport au temps est nulle.

Est-ce que je suis sur la bonne voie ?

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 19:18

hdiallo @ 04-08-2022 à 19:12

L'énergie mécanique du pendule est :

Em = Ec + Epp

• L'énergie cinétique du pendule est Ec = ½J.²  
Or = d/dt = '

Donc  Ec = ½J.'

• Pour l'Epp, choisissons un axe vertical orienté vers le bas dont l'origine coïncide avec le point O
Epp = - (M+m)gh   ( avec h = a.cos)
Donc Epp = - (M+m)gh = - (M+m)g.a.cos

Ainsi Em = ½J.' - (M+m)g.a.cos

Or l'Em = constante, sa dérivée par rapport au temps est nulle.

Est-ce que je suis sur la bonne voie ?

Posté par
vanoise
re : Métronome 04-08-22 à 19:23

Oui ; tu as déjà fait ce raisonnement dans d'autres problèmes postés récemment. Étourderie sans doute : tu oublies parfois le carré pour la vitesse angulaire dans l'expression de Ec.

Posté par
hdiallo
re : Métronome 04-08-22 à 21:27

Je me trompe très souvent en oubliant le carré de la vitesse. Mais, désormais je vais y veiller. Merci.

Em = ½J'² - (M+m)g.a.cos

dEm/dt = 0 J.''' + (M+m)g.a.'sin = 0

Or est faible, donc sin

Donc  \theta ''+\frac {(M+m)g.a}{J_\Delta}\theta =0

Alors \omega_o =\sqrt {\frac {(M+m).g.a}{J_\Delta}} est la pulsation propre du pendule.

La période propre est T = \frac {2\pi}{\omega_o}=2\pi\sqrt {\frac {J_\Delta}{(M+m)g.a}}

Posté par
vanoise
re : Métronome 04-08-22 à 22:49

C'est cela ; il te reste à remplacer "a" et J par leurs expressions en fonction de x puis à tracer la courbe demandée.

Posté par
hdiallo
re : Métronome 05-08-22 à 02:16

D'accord.

Alors T = 2\pi \sqrt {\frac {m.x²+M.OA²}{(M+m)g\frac{M.OA-m.x}{M+m}}}

Après simplification, J'obtiens :

T = 2\pi \sqrt {\frac {m.x²+M.OA²}{(-m.x+M.OA)g}}. En faisant l'application numériques, je trouve :

T²= 4\pi².10^{-1}\frac{x²+0,3}{-X + 0,3}

Posté par
vanoise
re : Métronome 05-08-22 à 14:13

Je pense que tu as oublié d'élever (OA) au carré au numérateur de ton expression.
Pour le tracé, il faut remarquer :
0 x 0,20   (x en mètre).

Posté par
hdiallo
re : Métronome 05-08-22 à 16:51

D'accord, mais je suis un peu retissant, mon expression de T² n'est pas homogène en terme d'unité

Posté par
hdiallo
re : Métronome 05-08-22 à 17:01

hdiallo @ 05-08-2022 à 16:51

D'accord, mais je suis un peu retissant, mon expression de T² n'est pas homogène en terme d'unité


C'est bon. Je m'étais trompé en vérifiant l'homogénéité de l'expression de T². Elle bien homogène !

Maintenant, quand je fais l'application numérique, je trouve T² en fonction de x (en mètre). Un mélange d'application numérique et d'expression littérale, finalement je me retrouve avec T² non homogène.

Posté par
vanoise
re : Métronome 05-08-22 à 18:23

Tes formules littérales sont homogènes. Impossible de contrôler l'homogénéité à la dernière formule car mélange de valeurs littérales et numérique mais il faut procéder ainsi selon l'énoncé.
A mon avis : revoir le 0,3 du numérateur.

Posté par
hdiallo
re : Métronome 08-08-22 à 21:08

D'accord

T² = 4\pi ² \frac {mx² + M.OA²}{(-mx + M.OA)g}

AN : je prend g = 10 m/s²

T²= 4\pi².10^{-1}\frac{x²+0,03}{-X + 0,3}

Posté par
vanoise
re : Métronome 08-08-22 à 21:29

D'accord avec toi.

Posté par
hdiallo
re : Métronome 08-08-22 à 21:40

Pour le tracé de la courbe T² = f(x), je fais un tableau de valeurs, sachant que 0 x 20

x (en mètre)00,100,20
T² (en s²)0,3950,7892,763


Métronome

Posté par
vanoise
re : Métronome 09-08-22 à 22:54

L'allure générale est bonne. Tu aurais pu sans doute ajouter quelques points pour une meilleure précision.

Métronome

Posté par
hdiallo
re : Métronome 10-08-22 à 11:38

D'accord.
J'espère que la courbe ne passe pas par l'origine du repère, n'est-ce pas ?

Posté par
vanoise
re : Métronome 10-08-22 à 13:49

Non bien sûr. Le zéro que tu vois concerne seulement les abscisses. Regarde bien . L'ordonnée en x=0 est un peu inférieure à 0,40s2 ; on retrouve le 0,395s2 de ton tableau.

Posté par
hdiallo
re : Métronome 10-08-22 à 14:59

vanoise, merci bien.



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