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Interaction gravitationnelle
Bonjour, aidez-moi svp
Problème : La Terre est un corps à répartition de masse de symétrie sphérique.
1) Calculer l'intensité du champ de gravitation en un point P tel que Op = x ?
• p est à l'extérieur de la Terre ; on concentre la masse de la Terre en son centre O.
• p est à l'intérieur de la Terre ; seules les masses contenues dans la sphère de rayon Op jouent un rôle sur le champ en p. Ces masses peuvent être concentrées au centre de la Terre.
R = 6400 km ; g0 = 9,81 m/s² ; k = 6,67.10-11 SI
2) Calculer la masse de la Terre et sa masse volumique.
3) Dans un puits imaginaire, percé jusqu'au centre de la terre, on place un objet de masse m. Exprimer en fonction de R, x et m, l'intensité de la force de gravitation que la terre exerce sur ce objet.
4) Que vaut ce poids au centre de la Terre ?
Question 1) : Calcul du champ
• p est à l'extérieur de la Terre :
(avec )
On peut poser que x = R + Z, où Z est l'altitude du point p par rapport à la surface terrestre.
D'autre part, au sol : GM = g0R²
D'où
• p est à l'intérieur de la Terre :
Avec d la profondeur du point p par rapport à la surface terrestre : d = R - x
Au sol, nous avons toujours GM = g0R²
Alors
Question 2) : La masse de la Terre est donnée par
AN : M 
6.1024kg
Je planche sur les questions 3) et 4). En plus, je ne sais pas si la question 1) est bien répondue.
Bonjour hdiallo,
attention:
pour x <= R
• p est à l'intérieur de la Terre ; seules les masses contenues dans la sphère de rayon OP déterminent le champ en P. Ces masses peuvent être concentrées au centre de la Terre.
Ah d'accord...je n'étais pas sûr de ma réponse à la question 1).
Je n'ai pas su comment interpréter cela.
Dans le cas d'un astre à symétrie sphérique de masse on montre que:
si P est à l'extérieur, tout se passe comme si la masse M de l'astre était concentrée en O (figure 1)
et on trouve : g(x) = GM/x2 pour x>=R
et si P est à l'intérieur tout se passe comme si la masse M' contenue dans la sphère de centre O et de rayon OP (en gris sur la figure) était concentrée en O (figure 2)
il faut donc calculer M' et en déduire g(x) pour x<=R
Soit 
la masse volumique de la terre (demandée en 2 et supposée uniforme dans cet exo )
Que vaut M' ?
Merci bien.
Il reste la 3ème et la 4ème question que j'ai pas du tout compris.
Si le corps est placé au centre de la terre, donc la distance Op = 0. Du coup le champ est g = 
. C'est-à-dire on obtient un réel divisé par zéro.
Merci bien.
Si le corps est placé au centre de la terre, donc la distance Op = 0. Du coup le champ est g =
. non que vaut g(0) d'après ce que tu as trouvé avant?
non, pas go à la surface de la terre (qui ici correspond à g(x) pour x=R )
mais g(x) pour x = 0 (donc au centre de la terre, avec les notations du problème)
Question 3):
On demande l'expression de l'intensité de la force F que la terre exerce sur l'objet, en fonction de R, x et m.
Je pose : F = mg
Or
Alors
C'est ça ?
bonsoir,
Question 3):
On demande l'expression de l'intensité de la force F que la terre exerce sur l'objet, en fonction de R, x et m.
Je pose : par définition : F = mg
Or pour x<=R
donc
et donc au centre de la terre ....
Non ça ne me plaît pas.
Je n'ai pas compris pourquoi on trouve zéro, alors que les deux centres d'inertie sont confondus. Selon la loi de Newton, les forces d'interaction gravitationnelle sont en inverse carré de la distance qui les sépare. Lorsque cette distance tend vers zéro, la force tend vers infini.
Mais ici ce n'est pas le cas : si x tend vers zéro, F tend vers zéro également.
Honnêtement, je ne comprend pas !
Lorsque cette distance tend vers zéro, la force tend vers infini.
pas forcément, c'est un passage à la limite.
pour 0< x <= R ,
F = G mM'/x2
ici M' tend aussi vers 0 si x tend vers 0
donc on a une forme indéterminée en 0/0
et comme M' ~ x3 qd x->0
M' /x2 ~ x donc ce rapport (et donc F) tend bien vers 0
et comme M' ~ x3 qd x->0
M' /x2 ~ x donc ce rapport (et donc F) tend bien vers 0
Sur ce passage, je n'ai pas compris.
M' ~ x3 qd x->0, stp tu peux taper ça en Latex ? Que représentent "q", "d", "x3", "~" ?
Oui pardon, on ne doit pas abréger (qd = quand)
M' est equivalent à x3 quand x tend vers 0
donc est equivalent à x quand x tend vers 0
donc F tend bien vers 0 quand x tend vers 0
Bonsoir krinn , bonsoir hdiallo,
Et pourquoi pas un raisonnement sur les symétries ?
On peut imaginer la terre comme une juxtaposition de très petites masses quasi ponctelles et imaginer que l'on place au centre de la terre une masse ponctuelle m. Quelle sera la force gravitationnelle exercée par la terre sur cette masse ? Une petite masse mt centrée en un point P quelconque appartenant à la terre exercera sur m une force .
Compte tenu de la symétrie de la terre, à tout point P de la terre correspond un symétrique P' entourée d'une même masse mt qui exerce sur la masse m au centre une force . La somme de ces deux forces est nulle et on peut répéter ce raisonnement pour tout couple de points (P,P') de la terre. Donc...
Ce type de raisonnement sur les symétries est surtout fait à partir du niveau (bac+1) mais est peut être moins délicat qu'un calcul de limite...
Bonsoir Vanoise,
Effectivement le raisonnement sur les symétries est de loin le plus simple.
Toutefois la question du passage à la limite posée par hdiallo est justifiée.
Et en fait on n'a pas besoin des équivalents ici!
On connaît M'(x)
Donc M' =
V' 
M' = (4/3)
x³.Donc on trouve bien que F = GmM'/x2 est proportionnel à x et vaut bien 0 en x=0
Merci bien à vous deux. Maintenant j'ai bien compris ! Le raisonnement sur les symétries m'a permis de comprendre le raisonnement sur les limites.
Donc la réponse attendue à la question 3) est :
, puisqu'on juste une expression littérale.
Question 4) : au centre de la Terre, le poids P de ce corps est nul.
P = F = 0
C'est ça ?
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