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Gravitation universelle

Posté par
Xenoverse 29-07-25 à 01:20

Bonjour j'ai besoin d'aide sur la question 3-1)  merci.
exercice

La terre est assimilée à une sphère homogène de centre O de masse M et de rayon R. Le
champ de gravitation crée par la Terre en tout point A de l‟espace situé à une distance r du
point O est :

: Constante universelle de gravitation
1. Un satellite (S) de masse m décrit un mouvement uniforme sur une orbite circulaire de r
autour de la Terre .Le mouvement est rapporté par rapport au repère géocentrique et on
suppose que (S) soumis à la seule action du champ de gravitation terrestre
1.1 .Exprimer la vitesse Vde (S) en fonction de l‟intensité
G0
du champ de gravitation du sol,
de R et r
1.2.En déduire l‟expression de la période T du mouvement. Calculer T
On donne R=6400Km ;
G0
=9,8ms-2
; r=8000Km
2°) 2.1.A partir du travail élémentaire
dw =-fdr de la force de gravitation exercée par la
Terre sur le satellite ; montrer que le travail de cette force lors du déplacement du sol jusqu‟à
l‟orbite de rayon r est donné par :
2
0
1 1 W= m G 0R²(1/r - 1/R)

2.2. En déduire l‟expression de l‟énergie potentielle du système Terre-satellite en fonction de
G0
, m, r et R.On choisira le niveau du sol comme étant de référence pour l‟énergie potentielle
2.3. Exprimer l‟énergie cinétique de (S) en fonction de
G0
, m, r et R
En déduire l‟expression de l‟énergie mécanique E
3. Il se produit une très faible variation
dr
du rayon r , telle que la trajectoire puisse toujours
etre considéré comme circulaire
3.1. Exprimer la variation
dv
de la vitesse qui en résulte et montrer que
dv =\frac{-\pidr}{T}dr
3.2. La variation de
dr
est en réalité due au travail
dwf
des forces de frottements exercées par
les couches raréfiées de l‟atmosphère pendant le déplacement. Du signe de
dwf , déduire
l‟effet de ces forces sur l‟altitude et la vitesse de (S).

Gravitation universelle

Posté par
Xenoversere : Gravitation universelle 29-07-25 à 01:24

Bon la question n'était pas clair.

Citation :
3.1. Exprimer la variation
dv
de la vitesse qui en résulte et montrer que
dv =\frac{-\pi }{T}dr

Posté par
Candidere : Gravitation universelle 29-07-25 à 09:44

Bonjour,

Ume namière parmi d'autres :

Ec = -GmM/r = 1/2 m.v²
v² = GM/r
on différentie --> 2v dv = -GM/r² dr

Des 2 lignes précédentes , il vient :
dv = -v/(2r) dr

avec v = w.r = 2Pi/T . r remis dans la ligne précédente ...

Posté par
Xenoversere : Gravitation universelle 29-07-25 à 21:22

Bonjour je n'ai pas compris ce message

Posté par
gts2re : Gravitation universelle 30-07-25 à 07:13

Bonjour,

Citation :
je n'ai pas compris ce message


C'est normal : si vous posez vraiment au niveau Terminale, les différentielles ne sont pas au programme.
D'autre part oubliez la première ligne  "Ec = -GmM/r = 1/2 m.v²"
La deuxième ligne c'est F=ma, après simplification par r.
La troisième une différentielle, si vous ne connaissez pas sautez la question.

Posté par
Xenoversere : Gravitation universelle 30-07-25 à 09:30

Bonjour excusez moi mais je n'ai pas compris votre message non plus effectivement c'est au niveau terminale mais il y a forcément une manière de le résoudre que je comprends.

Posté par
Candidere : Gravitation universelle 30-07-25 à 10:21

Xenoverse @ 30-07-2025 à 09:30

Bonjour excusez moi mais je n'ai pas compris votre message non plus effectivement c'est au niveau terminale mais il y a forcément une manière de le résoudre que je comprends.


Bonjour,

Pas vraiment.
La question utilise "dv" et "dr" qui impliquent des différentielles.
Si elles ne sont pas au programme, tu ne peux donc par répondre formellement à cette question.

On peut quand même un peu "tricher" et approcher la réponse en utilisant les dérivées (qui elles sont au programme)

A partir de v² = GM/r (1)
On dérive par rapport au temps :
2v.dv/dt = -GM/r².dr/dt

dv/dt = -GM/(2vr²).dr/dt (2)

Avec (1) mis dans (2), il vient :
dv/dt = -v²/(2vr).dr/dt
dv/dt = -v/(2r) . dr/dt

Or v/r = w = 2Pi/T et donc :
dv/dt = -Pi/T . dr/dt

A comparer à ce qui est demandé, soit : dv = -Pi/T . dr

Ou alors, si on veut être parfaitement conforme à ce qui est demandé ... tu laisses tomber puisque cela implique de manipuler des notions non au programme de Terminale.

Posté par
Xenoversere : Gravitation universelle 30-07-25 à 10:24

Bonjour non, les différentielle je connais c'est dans mon programme je l'ai fait vous pouvez juste détailler pour que je comprends mieux.

Posté par
Candidere : Gravitation universelle 30-07-25 à 10:38

Bonjour,

Précise ce que tu ne comprends pas dans ma résolution.

Pour établir que v² = GM/r :

Comme le mouvement est circulaire, la force centrifuge sur le satellite  (référentiel lié au satellite) est juste compensée par la force de gravitation entre le satellite et l'astre, donc :
mv²/r = GmM/r²
qui se simplifie en v² = GM/r

Si tu préfères utiliser un référentiel soit disant galiléen, comme un référentiel géocentrique, c'est le même raisonnement mais avec une force centripète au lieu de centrifuge

A partir alors de v² = GM/r, si tu as appris à différencier (pas sûr que tu ne ne confonds pas avec les équations différentielles), alors tu dois pouvoir continuer.
Mais si tu n'as pas appris cette notion (ce qui est quasi sûr en Terminale), alors, comme déjà dit, tu ne peux pas le faire.

Posté par
vanoisere : Gravitation universelle 31-07-25 à 16:08

Bonjour à tous

gts2 @ 30-07-2025 à 07:13

Bonjour,

Citation :
je n'ai pas compris ce message


C'est normal : si vous posez vraiment au niveau Terminale, les différentielles ne sont pas au programme.
D'autre part oubliez la première ligne  "Ec = -GmM/r = 1/2 m.v²"
La deuxième ligne c'est F=ma, après simplification par r.
La troisième une différentielle, si vous ne connaissez pas sautez la question.

Totalement d'accord avec ce message. Je pense néanmoins qu'en raisonnant sur le taux de variation plutôt que sur la notion de différentielle, il est possible de rendre l'objectif de ce problème accessible au niveau terminale. Ne pas oublier que de nombreux pays francophones, au sud de la méditerranée notamment, ont gardé des filières scientifiques avec des programmes proches des anciens programmes français de Terminale C...
Pour les premières questions, comme suggéré par gts2, le plus simple à ce niveau consiste à raisonner dans le repère géocentrique qu'il est possible en excellente approximation d'assimiler à un repère galiléen. La seule force extérieure (aux premières questions) est la force de gravitation et l'accélération se réduit à l'accélération normale centripète puisque le mouvement est circulaire uniforme. Cela conduit à :
-\frac{G.M.m}{r^{2}}\overrightarrow{u}=-\frac{m.V^{2}}{r}\overrightarrow{u}

Après simplification :

V=\sqrt{\frac{G.M}{r}}

Tu peux alors considérer V comme une fonction de la variable r : V=f(r). Tu peux calculer la dérivée de V par rapport à r :

f'(r)=\sqrt{G.M}.\left(\sqrt{\frac{1}{r}}\right)^{'}

Tu as sans doute étudié en math l'expression de la dérivée de \frac{1}{\sqrt{x}}. Il suffit ici de remplacer la variable x par la variable r :

f'(r)=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{G.M}{r^{3}}} \\
Or la période est la durée nécessaire pour effectuer un tour soit parcourir la distance 2.r :

T=\frac{2.\pi.r}{V}=\frac{2.\pi.r}{\sqrt{\frac{G.M}{r}}}=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G.M}}

Par identification :

\boxed{f'(r)=-\frac{\pi}{T}}

Puisque le but du problème est de raisonner sur les signes des variations, inutile de parler de différentielle. Puisque f'(r)<0 quelle que soit la valeur de r, on peut conclure que V est fonction monotone décroissante de r. Cependant, cela se voit directement à partir de l'expression de V puisque r apparaît au dénominateur.

Sinon, mais un peu limite au niveau terminale, tu peux revoir ton cours de math sur la relation entre nombre dérivée et taux de variation (voir ici par exemple : ) : On peut considérer que le nombre dérivée f'(r) représente le taux élémentaire (infinitésimal) de variation de V (noté dV) lorsque r augmente de dr : infiniment petit.

Ainsi, on peut poser :

f'(r)=\frac{dV}{dr} soit :

dV=f'(r).dr=-\frac{\pi}{T}\cdot dr

où dV représente la variation élémentaire de vitesse quand le rayon varie de dr (infiniment petit). (voir éventuellement paragraphe 2.3 ici : )

PS : Raisonner dans les repères non galiléens en introduisant les pseudo-forces d'inertie est très utiles dans certains problèmes complexes (pendule de Foucault, déviation vers l'est lors d'une chute libre...) mais s'avère sources de confusion dans de nombreux problèmes au point que la plupart des cours de mécanique dans les écoles d'ingénieurs n'évoquent pas cette méthode. Une discussion éventuellement utile à se sujet ici : Mecanique messages du   18-07-17 à 15:47 et du 19-07-17 à 11:19

Posté par
vanoisere : Gravitation universelle 31-07-25 à 18:41

Comme dit (très diplomatiquement ) par gts2, la première équation du message du  29-07-25 à 09:44 est fausse mais je reviens à la question 1 car il est tout à fait possible d'obtenir rigoureusement l'expression de l'énergie potentielle de gravitation sans utiliser la notion de différentielle. Il faut quand même connaître l'expression générale de la variation d'énergie potentielle en fonction du travail des forces conservatives :

\Delta E_{p}=-W_{FC}

Ici, la seule force conservative est la force de gravitation donc l'expression est fournir pour une distance au centre de la terre variant de R à r quelconque :

E_{p(r)}-E_{p(R)}=-m.G_{o}.R^{2}.\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)

Par identification :

E_{p(r)}=-\frac{m.G_{o}.R^{2}}{r}+constante\quad;\quad E_{p(R)}=-\frac{m.G_{o}.R^{2}}{R}+constante

Puisque seules les variations d'énergie potentielle ont un sens physique, on peut choisir nulle la constante.

Compte tenu de la valeur de Go, on peut remarquer :

E_{p(r)}=-\frac{G.M.m}{r}

Concernant la dernière question, l'énergie mécanique du satellite s'écrit :

E_{m}=E_{p(r)}+E_{c(r)}=-\frac{G.M.m}{r}+\frac{1}{2}m.V^{2}

Or, comme déjà démontré : V^{2}=\frac{G.M}{r}

donc :

\boxed{E_{m}=-\frac{G.M.m}{2r}=-\frac{1}{2}m.V^{2}}

La variation d'énergie cinétique est égale au travail de toutes les forces, les conservatives et les non conservatives :

\Delta Ec=W_{FC}+W_{FNC}

Addition membre à membre pour obtenir la variation d'énergie mécanique :

\Delta E_{m}=\Delta E_{c}+\Delta E_{p}=W_{FNC}

Ici, les forces non conservatives sont les forces de frottement qui fournissent nécessairement un travail négatif (voir énoncé). L'existence de ces forces entraîne une diminution d'énergie mécanique du satellite. Connaissant la double expression de Em, inutile d'utiliser des différentielles pour connaître l'influence de ces forces sur r et sur V...

Bref : cet exercice peut parfaitement être traité rigoureusement sans utiliser la notion de différentielle et plusieurs calculs demandés par l'énoncé sont en fait inutiles. On peut simplement arriver sans eux au résultat qualitatif final demandé.

Posté par
Candidere : Gravitation universelle 31-07-25 à 19:13

vanoise @ 31-07-2025 à 18:41

Comme dit (très diplomatiquement ) par gts2, la première équation du message du  29-07-25 à 09:44 est fausse mais je reviens à la question 1 car il est tout à fait possible d'obtenir rigoureusement l'expression de l'énergie potentielle de gravitation sans utiliser la notion de différentielle. Il faut quand même connaître l'expression générale de la variation d'énergie potentielle en fonction du travail des forces conservatives :

\Delta E_{p}=-W_{FC}

Ici, la seule force conservative est la force de gravitation donc l'expression est fournir pour une distance au centre de la terre variant de R à r quelconque :

E_{p(r)}-E_{p(R)}=-m.G_{o}.R^{2}.\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)

Par identification :

E_{p(r)}=-\frac{m.G_{o}.R^{2}}{r}+constante\quad;\quad E_{p(R)}=-\frac{m.G_{o}.R^{2}}{R}+constante

Puisque seules les variations d'énergie potentielle ont un sens physique, on peut choisir nulle la constante.

Compte tenu de la valeur de Go, on peut remarquer :

E_{p(r)}=-\frac{G.M.m}{r}

Concernant la dernière question, l'énergie mécanique du satellite s'écrit :

E_{m}=E_{p(r)}+E_{c(r)}=-\frac{G.M.m}{r}+\frac{1}{2}m.V^{2}

Or, comme déjà démontré : V^{2}=\frac{G.M}{r}

donc :

\boxed{E_{m}=-\frac{G.M.m}{2r}=-\frac{1}{2}m.V^{2}}

La variation d'énergie cinétique est égale au travail de toutes les forces, les conservatives et les non conservatives :

\Delta Ec=W_{FC}+W_{FNC}

Addition membre à membre pour obtenir la variation d'énergie mécanique :

\Delta E_{m}=\Delta E_{c}+\Delta E_{p}=W_{FNC}

Ici, les forces non conservatives sont les forces de frottement qui fournissent nécessairement un travail négatif (voir énoncé). L'existence de ces forces entraîne une diminution d'énergie mécanique du satellite. Connaissant la double expression de Em, inutile d'utiliser des différentielles pour connaître l'influence de ces forces sur r et sur V...

Bref : cet exercice peut parfaitement être traité rigoureusement sans utiliser la notion de différentielle et plusieurs calculs demandés par l'énoncé sont en fait inutiles. On peut simplement arriver sans eux au résultat qualitatif final demandé.


Ben oui, oubli de supprimer le signe -, la belle affaire.

Ec = GmM/r = 1/2 m.v²

Confirmé par exemple ici :  en A5

Posté par
gts2re : Gravitation universelle 31-07-25 à 19:56

Citation :
Ben oui, oubli de supprimer le signe -, la belle affaire.
Ec = GmM/r = 1/2 m.v²
Confirmé par exemple ici :  en A5

Ben non, oubli d'un facteur 1/2, la belle affaire.
Ce n'est pas ce qui est écrit en A5.

Posté par
vanoisere : Gravitation universelle 31-07-25 à 20:02

Citation :
Ben oui, oubli de supprimer le signe -, la belle affaire.

Ec = GmM/r = 1/2 m.v²

Que l'on prenne les résultats que j'ai obtenus ou que l'on prenne la ligne A5 du dernier document fourni, on arrive au même résultat qui n'est pas celui fourni par candide, même après correction du signe.

E_{c}=\frac{1}{2}m.V^{2} ; avec : V=\sqrt{\frac{G.M}{r}} , cela conduit à :

E_{c}=\frac{G.M.m}{2r}
Ne pas oublier le facteur 2 !

Posté par
vanoisere : Gravitation universelle 31-07-25 à 20:07

Bonjour gts2
Désolé pour mon dernier message qui fait doublon avec le tien. Je pense à cliquer sur la ligne  rouge " Vérifier la présence de nouvelles réponses " lors d'une première intervention sur un sujet mais pas ensuite... Mais bon : nous sommes d'accord !

Posté par
Candidere : Gravitation universelle 01-08-25 à 10:48

vanoise @ 31-07-2025 à 20:02

Citation :
Ben oui, oubli de supprimer le signe -, la belle affaire.

Ec = GmM/r = 1/2 m.v²

Que l'on prenne les résultats que j'ai obtenus ou que l'on prenne la ligne A5 du dernier document fourni, on arrive au même résultat qui n'est pas celui fourni par candide, même après correction du signe.

E_{c}=\frac{1}{2}m.V^{2} ; avec : V=\sqrt{\frac{G.M}{r}} , cela conduit à :

E_{c}=\frac{G.M.m}{2r}
Ne pas oublier le facteur 2 !


C'est évidemment ce que j'ai fait pour trouver v² = GM/r , je suis parti de la bonne relation :  Ec = 1/2 mv² = 1/2.GMm/r
Et puis comme souvent, en remettant sur le site, on recopie de travers et on se relit mal (ou pas du tout)

Posté par
Xenoversere : Gravitation universelle 01-08-25 à 23:13

Bonjour si je comprends bien f'(r)=\frac{-\pi}{T} est  la variation
dv
de la vitesse qui en résulte .

Posté par
vanoisere : Gravitation universelle 01-08-25 à 23:31

Bonjour Xenoverse
Plus précisément, f'(r) est égal à dV/dr où "dV" est la variation élémentaire de vitesse qui résulte de la variation élémentaire "dr" de distance .
Ce qui importe ici de remarquer : f'(r) est toujours négatif : si "r" augmente "V" diminue et inversement.
Franchement, ce calcul, et plus encore un raisonnement sur les différentielles, est ici sans grand intérêt. Le fait que r et V varient en sens inverse se déduit sans calcul de la formule obtenue dès la première question :

V=\sqrt{\frac{G.M}{r}}
Puisque le numérateur est une constante, une augmentation du dénominateur (augmentation de r) diminue le quotient GM/r donc diminue V. Un calcul de dérivée n'est pas vraiment nécessaire.
Je pense que le contenu du second message ( 31-07-25 à 18:41) te sera plus utile pour la suite de tes études. Il te rappelle les trois expressions fondamentales exprimant les variations d'énergie cinétique, potentielle, mécanique en fonction des travaux des différentes forces. Cela est bien au programme de l'enseignement secondaire de ta filière me semble-t-il.
De plus, elles permettent de répondre à la dernière question pratiquement sans calcul et surtout sans l'usage de différentielles hors programme.

Posté par
Xenoversere : Gravitation universelle 02-08-25 à 01:02

Bonsoir, bon la question 3 -1) Exprimer la variation
dv de la vitesse qui en résulte et montrer que dv =\frac{-\pi}{T}dr c'est un ou deux questions ? Si c'est deux la première partie

Citation :
Exprimer la variation
dv de la vitesse qui en résulte
c'est ce que je demandais dans mon dernier message.et pour la dernière question  
Citation :
Du signe de
dwf , déduire
l'effet de ces forces sur l'altitude et la vitesse de (S)

Posté par
Xenoversere : Gravitation universelle 02-08-25 à 01:07

En faite moi je suis comme qui dirait perdu dans vos messages car à la base je voulais juste de l'aide pour la question 3 -1) et 3-2) de exo donc...

Posté par
vanoisere : Gravitation universelle 02-08-25 à 09:13

Dans la mesure où la notion de différentielle n'est pas au programme de terminale, j'ai adapté la dernière question (3.2) de la façon suivante :
"du signe du travail Wf des forces de frottement, déduire l'effet de ce forces sur l'altitude et la vitesse de (S)"
Ici, les seules forces non conservatives sont les forces de frottement, donc, en reprenant mon message du 31-07-25 à 19:13 :

\Delta E_{m}=\Delta E_{c}+\Delta E_{p}=W_f

donc :

\Delta E_{m}<0
Or , pour un mouvement circulaire uniforme :

\\ \boxed{E_{m}=-\frac{G.M.m}{2r}=-\frac{1}{2}m.V^{2}}

Si Em diminue au cours du temps en présence des frottements, comment évolue "r" et comment évolue "v"  ?

PS : petite question de réflexion qui peut t'aider : imagine une suite de nombres négatifs : -1,-2,-3,-4.... Cette suite est croissante ou décroissante ?

Posté par
Xenoversere : Gravitation universelle 02-08-25 à 15:31

OK merci pour tout .


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