Bonjour,

Sujet ayant déjà reçu une réponse : Grand oral : primitives et chute d'un corps

Bonjour,
Merci, j'ai finalement réussi a faire quelque chose, pouvez vous me conseiller sur la structure et le contenu svp ?

En quoi les primitives sont elles utiles pour modeliserr la chute dun corps ?

La mécanique est la branche de la physique qui étudie les mouvements des objets soumis a des forces extérieures. L'étude de la chute des corps fait partie des grands classiques de la physique.
Ainsi, quand la seule force qui s'exerce sur un objet est son poids, on parle de chute libre.
Le mouvement d'un corps est régi par des lois qui permettent de modéliser le mouvement d'un corps.
C'est a la fin du 26eme siècle que Galilée commence a travailler sur la chute corps. Il en déduit, au fil de ses expériences, la théorie de la chute des corps : la vitesse ne dépend  pas de sa masse. Newton, au 17eme siècle, énonce la seconde loi de Newton : l'accélération communiquée à un corps par une force est directement proportionnelle a l'intensité de la force et inversement proportionnelle a la masse du corps. C'est en partant de cette loi valable uniquement sur le référentiel galiléen et en utilisant les primitives que l'on peut établir une équation modélisant la chute d'un corps dans un champs de pesanteur uniforme.
En mathématiques, une primitive d'une fonction réelle f est une fonction F dont la dérivée est f. Il s'agit donc d'un antécédent pour l'opération de dérivation.

I. Commençons par aborder le sujet du champ de pesanteur uniforme et de la chute libre. Sur Terre, le vecteur champ de pesanteur g est un vecteur constant, on parle alors de champ de pesanteur uniforme. Peu importe l'instant t, ce vecteur a un même sens, une même direction et une même norme.
On appelle un corps en chute libre un corps dont la seule force exercée sur ce dernier est son poids.
La chute libre n'est possible sur Terre que si les frottements et la poussée d'Archimède sont négligeables. C'est le cas pour la chute d'un solide sur une durée très courte.
Pour que cette condition soit respectée, il faut que le poids du corps étudié soit nettement supérieur a sa poussée d'Archimède, c'est a dire que la masse volumique de l'objet doit être supérieure a la masse volumique du fluide.
Pour négliger les frottements, il faut que le corps ait une forme aérodynamique et une vitesse faible.


II. Intéressons nous maintenant a la modélisation de la chute d'un corps. Nous étudierons la chute d'une balle de masse m et de centre d'inertie G avec comme référentiel la terre, référentiel supposé galiléen
Commençons par établir un bilan des forces,  ici, on néglige les frottements de l'air et la poussée d'Archimède, ainsi, on a que le poids P = m x g

* schema + indication des conditions initiales *

Au début de expérience, c'est a dire à t=0, la balle est au point O de coordonnées (0;0) et sa vitesse initialer est nulle, son vecteur vitesse initial est donc nul et v0 = 0

On souhaite alors trouver l'équation de la vitesse en fonction du temps pour trouver la vitesse en fonction du temps ainsi que l'équation horaire qui nous permet de trouver la position de la balle en fonction du temps

D'après la seconde loi de Newton :
Somme des forces extérieures = ma
Ici, on a que le poids, donc P = ma
donc mg = ma
Ainsi, a = g
                          on a donc a {ax = 0              
                                                    {ay = g
Or l'accélération a est égale a la dérivée de la vitesse par rapport au temps, ainsi, a = dv/dt
C'est ici que l'on se sert des primitives afin de retrouver les coordonnées du vecteur vitesse.
On a rappelé qu'une primitive F d'une fonction f est une fonction qui dérivée, donne f. Pour trouver vx, on doit chercher une primitive de ax, c'est à dire une fonction qui, en étant dérivée, donne 0.
On sait que les primitives en fonction du temps d'une fonction f = 0 sont de la forme F =cte  ainsi, vx est égale a une constante.
On doit aussi chercher vy, on alors une primitive de g, on sait que les primitives d'une fonction f = g en fonction de t sont de la forme F= gt + cte

On se retrouve alors avec des coordonnées du vecteur vitesse de la forme :
         v{vx=cte1
           {vy = gt + cte2

Il faut maintenant déterminer les valeurs des constantes 1 et 2, il faut se servir des conditions initiales, c'est ces dernières qui déterminent les valeurs des constantes. Ici, v0 = 0 donc
v0{v0x=0
    {v0y= 0
On en conclue que les constantes 1 et 2 sont égales a 0 et on en déduit les coordonnées du vecteur vitesse :
v{vx= 0
    {vy=gt

On a alors l'équation de la vitesse vy(t) = gt

Il faut maintenant trouver l'équation horaire. On sait que la vitesse est la dérivée de la position en fonction du temps, ainsi, v =dOM/dt
En se servant une seconde fois des primitives, on parvient a déterminer le vecteur position, le vecteur OM.
On cherche xOM, ainsi, on cherche une fonction qui en étant dérivée donne 0, on sait que les primitives en fonction de t d'une fonction f = 0 sont de la forme F = cte
Pour trouver yOM, on procédé de la même manière, on cherche une cherche une fonction qui en étant dérivée donne gt, les primitives en fonction de t d'une fonction f = gt sont de la forme F = 1/2gt² + cte
Pour déterminer les valeurs des constantes, on se sert encore une fois des conditions initiales, ici, on sait qu'à t = 0, la balle se trouve a O(0;0), donc les constantes 3 et 4 sont égales a 0 et on a

OM {xOM = 0
        {yOM = 1/2gt²

On obtient donc l'équation horaire du mouvement qui est y(t)=1/2gt²



A l'aide des primitives, nous avons pu partir de la seconde loi de Newton et remonter au fur et a mesure jusqu'à l'obtention de l'équation de la vitesse et l'équation horaire. Grace a elles, nous sommes en capacité de déterminer la vitesse exacte d'un corps a n'importe quel instant t de sa chute ainsi que sa position. Les primitives nous permettent de prévoir de nombreuses choses comme la trajectoire d'un projectile et ainsi, savoir s'il passera le mur situé a un certain endroit ou s'il ne sera pas assez haut a cette position précise, ou même savoir si un penalty au football va rentrer dans les cages ou si ils va passer au dessus, etc.

Je regarderai ta proposition dimanche, j'aurai plus de temps.

@tous : si jamais quelqu'un d'autre a plus de temps que moi avant, qu'il n'hésite pas à prendre le relai.

Bonjour,

Comme convenu :

clara4545 @ 17-06-2022 à 01:43

Bonjour,
Merci, j'ai finalement réussi a faire quelque chose, pouvez vous me conseiller sur la structure et le contenu svp ?

En quoi les primitives sont elles utiles pour modéliser la chute d'un corps ?

La mécanique est la branche de la physique qui étudie les mouvements des objets soumis a des forces extérieures => cela n'est pas vrai si la système étudié est déformable. Ton système doit être un solide indéformable et est généralement assimilé à un point matériel : [lien]
L?étude de la chute des corps fait partie des grands classiques de la physique.

Ainsi (pourquoi cet adverbe ? Il n'y a pas de conséquence avec la phrase d'avant), quand la seule force qui s?exerce sur un objet est son poids, on parle de chute libre.
=> j'anticipe une question possible des examinateurs : bien connaître les conditions pour qu'on puisse considérer qu'on est en chute libre (cf. la fiche fournie)

Le mouvement d?un corps est régi par des lois qui permettent de modéliser le mouvement d?un corps => répétitif et un peu vague, regarder ces fiches :
[lien]
[lien]
Décrire un mouvement

C?est a la fin du 16ème siècle que Galilée commence a travailler sur la chute d'un corps. Il en déduit, au fil de ses expériences, la théorie de la chute des corps : la vitesse de quoi ? ne dépend pas de sa masse.
Newton, au 17eme siècle, énonce la seconde loi de Newton : l?accélération communiquée à un corps par une force est directement proportionnelle a l?intensité de la force et inversement proportionnelle a la masse du corps. C?est en partant de cette loi valable uniquement sur le référentiel galiléen et en utilisant les primitives que l?on peut établir une équation modélisant la chute d?un corps dans un champs de pesanteur uniforme.
En mathématiques, une primitive d?une fonction réelle f est une fonction F dont la dérivée est f. Il s?agit donc d?un antécédent pour l?opération de dérivation => un peu rapide, utiliser le cours de mathématiques

I. Commençons par aborder le sujet du champ de pesanteur uniforme et de la chute libre. Sur Terre, le vecteur champ de pesanteur g est un vecteur constant, on parle alors de champ de pesanteur uniforme. Peu importe l?instant t, ce vecteur a un même sens, une même direction et une même norme => cela n'est vrai que sur quelques kms ! Relire la fiche fournie :

Citation :
Sur Terre, dans une région de l'espace de quelques kilomètres de long, de large et de haut, le vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} est un vecteur constant : on parle de champ de pesanteur uniforme.

On appelle un corps en chute libre un corps dont la seule force exercée sur ce dernier est son poids => déjà écrit plus haut, répétition
La chute libre n?est possible sur Terre que si les frottements et la poussée d?Archimède sont négligeables. C?est le cas pour la chute d?un solide sur une durée très courte.
Pour que cette condition soit respectée, il faut que le poids du corps étudié soit nettement supérieur a sa poussée d?Archimède, c?est a dire que la masse volumique de l?objet doit être supérieure a la masse volumique du fluide.
Pour négliger les frottements, il faut que le corps ait une forme aérodynamique et une vitesse faible.


II. Intéressons nous maintenant a la modélisation de la chute d?un corps. Nous étudierons la chute d?une balle de masse m et de centre d?inertie G (assimilée donc à un point matériel) avec comme référentiel la Terre, référentiel supposé galiléen
Commençons par établir un bilan des forces, ici, on néglige les frottements de l?air et la poussée d?Archimède, ainsi, on a que le poids P = m x g => ne pas confondre vecteur force et norme de ce vecteur

* schema + indication des conditions initiales *
=> primordial ! De manière générale, un exercice de mécanique doit toujours être appréhendé de la même manière ( Statique et dynamique - Les lois de Newton) :

Lorsqu'on aborde un problème de mécanique il est primordial de suivre systématiquement la démarche qui suit :

Citation :
1) Faire un croquis de la situation.

2) Définir le système d'étude : "le système étudié est ... de masse ... et de centre d'inertie ...".

3) Choisir un référentiel et définir un repère d'étude (le représenter sur le croquis).

4) Faire le bilan des forces appliquées au système et les représenter sur le croquis.

5) Appliquer la 2ème loi de Newton pour trouver la relation entre l'accélération du mobile et la résultante des forces appliquées au système.

6) Projeter cette relation (vectorielle) sur un ou plusieurs axes afin d'obtenir les équations du mouvement.

7a) Si les forces sont connues : intégrer les composantes de l'accélération (ax, ay), puis celles de la vitesse (vx, vy) pour obtenir les lois horaires du mouvement (x(t) et y(t)) en exploitant les conditions initiales (voir § IV.3).

7b) Si l'accélération est connue, il est alors possible d'en déduire des informations sur les forces (voir § IV.4).

Au début de expérience, c?est a dire à t=0, la balle est au point O de coordonnées (0;0) et sa vitesse initialer est nulle, son vecteur vitesse initial est donc nul et v0 = 0 => idem, ne pas confondre vecteur et norme !

On souhaite alors trouver l?équation de la vitesse en fonction du temps pour trouver la vitesse en fonction du temps ainsi que l?équation horaire qui nous permet de trouver la position de la balle en fonction du temps => formulation à reprendre, elle est lourde : équation de la vitesse en fonction du temps = vitesse en fonction du temps = équation horaire de la vitesse

D?après la seconde loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique)
Somme des forces extérieures = ma => vecteur norme projection suivant un axe de repère d'étude
Ici, on a que le poids, donc P = ma
donc mg = ma
Ainsi, a = g
on a donc a {ax = 0
{ay = g

=> attention au choix du repère d'étude pour signifier "ax", "ay", "vx" et "vy"

Or l?accélération a est égale a la dérivée de la vitesse par rapport au temps, ainsi, a = dv/dt
C?est ici que l?on se sert des primitives afin de retrouver les coordonnées du vecteur vitesse.
On a rappelé qu?une primitive F d?une fonction f est une fonction qui dérivée, donne f. Pour trouver vx, on doit chercher une primitive de ax, c?est à dire une fonction qui, en étant dérivée, donne 0.
On sait que les primitives en fonction du temps d?une fonction f = 0 sont de la forme F =cte ainsi, vx est égale a une constante.
On doit aussi chercher vy, on alors une primitive de g, on sait que les primitives d?une fonction f = g en fonction de t sont de la forme F= gt + cte

On se retrouve alors avec des coordonnées du vecteur vitesse de la forme :
v{vx=cte1
{vy = gt + cte2

Il faut maintenant déterminer les valeurs des constantes 1 et 2, il faut se servir des conditions initiales, c?est ces dernières qui déterminent les valeurs des constantes. Ici, v0 = 0 donc
v0{v0x=0
{v0y= 0
On en conclue que les constantes 1 et 2 sont égales a 0 et on en déduit les coordonnées du vecteur vitesse :
v{vx= 0
{vy=gt

On a alors l?équation de la vitesse vy(t) = gt

Il faut maintenant trouver l?équation horaire de quoi ?. On sait que la vitesse est la dérivée de la position en fonction du temps, ainsi, v =dOM/dt
En se servant une seconde fois des primitives, on parvient a déterminer le vecteur position, le vecteur OM.
On cherche xOM, ainsi, on cherche une fonction qui en étant dérivée donne 0, on sait que les primitives en fonction de t d?une fonction f = 0 sont de la forme F = cte
Pour trouver yOM, on procédé de la même manière, on cherche une cherche une fonction qui en étant dérivée donne gt, les primitives en fonction de t d?une fonction f = gt sont de la forme F = 1/2gt² + cte
Pour déterminer les valeurs des constantes, on se sert encore une fois des conditions initiales, ici, on sait qu?à t = 0, la balle se trouve a O(0;0), donc les constantes 3 et 4 sont égales a 0 et on a => je ne vois nulle part les constantes 3 et 4 de définies

OM {xOM = 0
{yOM = 1/2gt²

On obtient donc l?équation horaire du mouvement qui est y(t)=1/2gt²



A l?aide des primitives, nous avons pu partir de la seconde loi de Newton et remonter (pourquoi ce terme ?) au fur et a mesure jusqu?à l?obtention de l?équation de la vitesse et l?équation horaire de quoi ?. Grace a elles, nous sommes en capacité de déterminer la vitesse exacte d?un corps a n?importe quel instant t de sa chute ainsi que sa position. Les primitives nous permettent de prévoir de nombreuses choses comme la trajectoire d?un projectile et ainsi, savoir s?il passera le mur situé a un certain endroit ou s?il ne sera pas assez haut a cette position précise, ou même savoir si un penalty au football va rentrer dans les cages ou si ils va passer au dessus, etc.
=> non, les primitives ne prévoient rien, c'est un outil mathématique d'aide à la résolution des problèmes physiques. Tu pourrais faire une ouverture en disant que la chute libre est une modélisation particulière et que l'étude d'un mouvement dans un fluide est un peu plus complexe et nécessite la résolution d'équations différentielles : Chute verticale d'un solide dans un fluide

Merci beaucoup de votre aide, bonne continuation

De rien ! Bon courage pour ce grand oral !

Salut,
Est ce que tu pourrais m'envoyer ton sujet finis car j'ai encore des doutes sur certains points.

Bonjour,

Quels sont les doutes en question ?

C'est à propos des questions qui pourrait m'être poser et aussi pour savoir quelle élément ajouter sur la feuille que je leur donnerai.