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Exercice transfert thermique
Bonjour et bonne année à vous ! Voici un exercice que je n'arrive pas à faire niveau terminale, merci d'avance de votre aide :
Énoncé : Un fer à repasser électrique est constitué d'une semelle métallique de masse m=500g et de surface S=0,025m2 chauffée par un conducteur ohmique.
Température de repassage des différents tissus : acrylique = 110°C / polyester = 150°C / coton = 210°C
La température de la pièce dans laquelle le repassage est effectué est thêtaE = 25°C eg considérée comme constante.
La température est supposée uniforme en tout point de la semelle.
1. Par application du premier principe de la thermodynamique au système {semelle}, établir l'équation différentielle vérifiée par la température de la semelle du fer lors du transfert thermique convectif avec le milieu extérieur
2. En déduire l'expression de l'évolution de la température thêta de la semelle en fonction du temps
3. Déterminer la durée delta t nécessaire à l'abaissement de la température de la semelle du fer pour le repassage d'un t shirt en polyester après celui d'un pantalon en coton.
Données : - on néglige tout transfert thermique autre que convectif - loi de Newton : phi = hS(thêtaE-theta) - capacité thermique massique de la semelle c=450J/kg/°C - coefficient d'échange convectif de l'air humide dans les conditions du repassage h=50W/m2/°C
Ce que j'ai essayé de faire :
Equadiff : d(theta)/dt = hS/mc * thêtaE + hS/mc * thêta
Solution de l'équation différentielle : thêta=(theta(i) - thêta(E))*e(-a*t) avec a=-hS/mc
Voilà je sais pas si c'est bon mais merci d'avance en tout cas!
Bonjour
Je me demande s'il n'y a pas un problème de signe dans ton équation différentielle. Tu peux développer ton raisonnement ?
bonjour
j'ai fait :
etablissement de l'equadiff : on sait que delta U = Q = mc*delta t
or Q= phi * delta t
et phi = hS(thetae-theta)
donc Q= hS(thetae-theta) * delta t
-> mc*delta t = hS(thetae-theta) * delta t
soit : d(theta)/dt = hS/mc * thêtaE + hS/mc * thêta
pour la solution : theta = K * e(-hS/mc*t)+thetaE
on determine K 
conditions initiales temperatutre) avec e(0)=1 K=theta(i)-theta(e)
soit : thêta=(theta(i) - thêta(E))*e(-a*t) avec a=-hS/mc
Il y a bien une faute de signe et quelques incohérences au niveau des notations. Le système est la semelle du fer . Sa température à la date t=0 est et on suppose le chauffage électrique par effet Joule supprimé pour t>0. Entre les instants de dates t et (t+dt), la semelle cède au milieu extérieur par convection une quantité élémentaire de chaleur puisqu'elle est plus chaude que le milieu ambiant :
(les quantités cédées au milieu extérieur sont par convention comptées négativement)
Entre les mêmes instants, la variation d'énergie interne de la semelle vaut :
où
représente la variation élémentaire de température (valeur négative ici).
Premier principe de la thermodynamique :
D'où l'équation différentielle :
Avec l'équation différentielle que tu avais obtenue, tu aurais logiquement dû obtenir une exponentielle de la forme : . Avec l'équation différentielle corrigée que je t'ai fournie, on obtient bien une solution de la forme :
Il faut déterminer la constante K sachant que pour t= 0 : . Tu as oublié un terme à la dernière ligne de ton message de 15h30.
ok merci 
cependant je ne comprend pas comment utiliser cette equation differentielle dans l'exercice (en ayant lequation et la solution) si vous voulez bien m'aider svp
L'énoncé n'est pas effectivement des plus clairs... À ce que je comprends :
La repasseuse était en train de repasser du coton : la température du fer était donc de 210°C . Elle veut ensuite repasser du polyester avec une température du fer égale à 150°C.
Une fois terminé le repassage du coton, elle règle le thermostat de son fer sur 150°C à la date t=0. Cela coupe le chauffage du fer par effet Joule : le fer se refroidit ainsi par convection et on demande la durée nécessaire pour que sa température descende jusqu'à 150°C.
Cela revient donc à poser 
i = 210°C et à déterminer la date t pour laquelle : =150°C.
ah ok, mais j'avoue que je ne comprend meme pas comment repondre a la question 1 : est ce qu'il faut juste mettre l'equadiff et la solution ou autre chose, pareil pour les autres je ne compr"end vraiment pas...
Pour l'équation différentielle : je t'ai fournie l'intégralité de la démonstration.
Pour la solution de cette équation : tu fais comme tu as appris en cours : sans doute vérifier que l'équation générale est bien solution de l'équation différentielle puis déterminer la valeur de K.
Pour la question 3 : isoler l'exponentielle puis passer au logarithme pour avoir la valeur de t. (voir cours de math sur les logarithmes et les exponentielles)
ok donc si j'ai bien compris a la question 1 on pose/etablit l'equation differentielle et a la question 2 on donne la solution
par contre a la question 3 je n'ai pas bien compris comment proceder : j'applique ce que vous avez dit pour commencer mais apres je sais vraiment pas comment faire...:
thêta=(theta(i) - thêta(E))*e(-a*t)
theta / (theta(i) - thêta(E)) = e(-a*t)
merci de vos reponses
Essaie d'exprimer e-at en fonction des températures. Tu écris ensuite que le logarithme népérien du terme de gauche de l'égalité est égal au logarithme népérien du terme de droite.
je ne crois pas avoir vu ca en cours donc je sais pas trop comment e-at en fonction des températures ni comment utiliser ln... pourriez vous indiquer plus precisement svp
J'espère que ton professeur de Sciences Physiques se concerte avec son collègue de mathématique pour ne pas demander la recherche d'exercices utilisant des notions de mathématiques non encore traitées en cours de math... En appliquant la méthode décrite précédemment :
On démontre en math : ... pour x>0 :
Finalement :
Ok merci beaucoup je suppose maintenant qu'il faut faire l'application numérique ?
Du coup : t = 1/(50*0,025/0.500*450)*ln((210-25)/(150-25)) = 70.6 s
C'est ça svp ?
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