Niveau terminale

Excentricité et orbite

Posté par
LjjPhysique 18-04-17 à 18:56

Bonjour,
J'essaye de résoudre un exercice de physique mais mes derniers cours remontent à un bout de temps

L' excentricité de l'orbite terrestre est de 0,0167. Trouver le rapport v min/ v max entre sa vitesse minimale et sa vitesse maximale sur son orbite

Merci beaucoup de votre aide !

Posté par re : Excentricité et orbite 18-04-17 à 22:18

Bonsoir
Je doute fortement que la relation que tu cherches soit du niveau terminale. On obtient :

$\boxed{\frac{V_{min}}{V_{max}}=\frac{1-e}{1+e}}$
Si la démonstration t'intéresse, tu la trouveras au dernier paragraphe de la fiche n° 10 sur les forces centrales :

Posté par re : Excentricité et orbite 19-04-17 à 09:16

Bonjour, merci pour votre reponse
Je trouve la demo un peu compliquée mais je trouve que cette formule ressemble à :
$\frac{Vmin}{Vmax}=\frac{1-e}{1+e}=\frac{a(1-e)}{a(1+e)}=\frac{Rperi}{Raphe}$
c'est une coïncidence ou ça peut être une conséquence de La deuxième loi de kepler ?

Posté par re : Excentricité et orbite 19-04-17 à 10:45

Citation :
c'est une coïncidence ou ça peut être une conséquence de La deuxième loi de kepler

Ce n'est bien sûr pas une coïncidence ! Cela se démontre en considérant la conservation du moment cinétique orbital de la terre, mesuré au centre du soleil, dans le repère héliocentrique.
Je ne sais pas si la notion de produit vectoriel t'es connue... Je fais comme si... Le moment cinétique est un vecteur constant ; son expression est :

$\overrightarrow{\sigma}=m \cdot r.\overrightarrow{u_{r}}\wedge\overrightarrow{v}$
où $\overrightarrow{u_{r}}$ est un vecteur unitaire orienté du centre du soleil vers le centre de la terre et m la masse de la terre. Au périhélie et à l'aphélie, les vecteurs $\overrightarrow{u_{r}}$ et $\overrightarrow{v}$ sont perpendiculaires : la norme du produit vectoriel est dans ces cas particuliers égal au produit des deux normes. La conservation du moment cinétique s'écrit alors simplement :

$v_{peri}\cdot r_{peri}=v_{aphe}\cdot r_{aphe}$
Remarque : comme la deuxième loi de Képler est une conséquence de la conservation du moment cinétique, tu peux bien sûr dire que ce résultat est cohérent avec la seconde loi de Képler : quand la vitesse est maximale, la distance est minimale et réciproquement, même si les "aires balayées" n'interviennent pas ici.

Posté par re : Excentricité et orbite 19-04-17 à 11:35

Une approche possible (parmi plein d'autres) via la conservation de l'énergie mécanique orbitale.

L'énergie mécanique orbitale d'un satellite est -GmM/(2a), elle reste la même sur toute l'orbite. (conservation de l'énergie mécanique)

L'énergie potentielle du satellite (référence à l'infini) est Ep = - GmM/d

On a donc : - GmM/d + 1/2.mv² = -GmM/(2a)

- GM/d + 1/2.v² = -GM/(2a)

v² = 2GM/d - GM/a

v = RacineCarrée[GM * (2/d - 1/a)] (1)

Avec v la vitesse du satellite lorsqu'il est à la distance d de l'astre Parent de masse M
-----
Avec d max = a * (1+e) et d min = a * (1-e) -->

vmin/vmax = RacineCarrée[(2/(a(1+e)) - 1/a)/(2/(a(1-e)) - 1/a)]

vmin/vmax = RacineCarrée[(2/(1+e) - 1)/(2/((1-e)) - 1)] = RacineCarrée[(2-1-e)/(1+e))/(2-1+e)/(1-e))] = RacineCarrée[(1-e)/(1+e))/(1+e)/(1-e))]

vmin/vmax = (1-e)/(1+e)
-----

La relation (1) permet de calculer la vitesse du satellite en n'importe quel point de son orbite.

Posté par re : Excentricité et orbite 19-04-17 à 13:54

D'accord merci à bcp à vous deux !!

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