Niveau terminale

equations différentielles (T.S)

Posté par fidgy (invité) 01-04-05 à 19:08

Je remerci ceux qui me repondront par avance!
"Un chariot est soumis à une force constante F=50N.Le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25N.m^{[/sup]-1.s[sup]}-1.
LEs lois de Newton conduise a l'equation dif (E): 25x'+200x''=50, où x': dérivé de x par rapport au tps t, x'':dérivé seconde de x par rapport à t.
1)On note v(t) la vitesse du chariot au tps t; on rappel que v(t)=x'(t).Prouver que x est solution de (E) si et seulement si, x' est solution de l'equation diff (F): v'=-1/8v+1/4.
2) Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30s? On exprimera cette distance en mêtre, au decimetre près."
Voilà.Merci à ceux qui peuvent m'aider.

Posté par re : equations différentielles (T.S) 01-04-05 à 20:53

slt

$3$v(t)=x^'(t)$
donc
$3$v'(t)=x^{''}(t)$

on remplace alors dans (E):
$3$25x'+200x^{''}=50$
i.e.
$3$25v(t)+200v^'(t)=50$
i.e.
$3$200v^'(t)=-25v(t)+50$
i.e.
$3$v^'(t)=\frac{-25}{200}v(t)+\frac{50}{200}$
i.e.
$3$v^'(t)=\frac{-1}{8}v(t)+\frac{1}{4}$

Posté par re : equations différentielles (T.S) 01-04-05 à 20:56

par contre je pense que pour la distance on doit avoir des conditions car la resolution de l'equation differencielle ne serait pa possible ...

Posté par re : equations différentielles (T.S) 01-04-05 à 21:08

sinon cette resolution conduit à :

$3$v^'(t)+\frac{1}{8}v(t)=\frac{1}{4}$

ESSMA (Equation homogene Sans Second Membre Associé)

$3$v^'(t)+\frac{1}{8}v(t)=0$
i.e.
$3$v^'(t)=-\frac{1}{8}v(t)$
i.e.
$3$\frac{v^'(t)}{v(t)}=-\frac{1}{8}$
i.e.
$3$\int\frac{v^'(t)}{v(t)}=\int-\frac{1}{8}$
i.e.
$3$ln(|v(t)|)=-\frac{1}{8}x+k$
i.e.
$3$e^{ln(|v(t)|)}=e^{-\frac{1}{8}x+k}$
i.e.
$3$|v(t)|=e^{-\frac{1}{8}x}\times e^k$
i.e.
$3$v(t)=e^{-\frac{1}{8}x}\times e^k\times \epsilon$
i.e.
$3$v(t)=e^{-\frac{1}{8}x}\times e^k\times \epsilon$
i.e.
$3$v(t)=e^{-\frac{1}{8}x}\times \alpha$

Solution particulière
$3$v^'(t)+\frac{1}{8}v(t)=\frac{1}{4}$

$3$\textrm le second menbre est une constante donc la solution particuliere est une constante ce qui implique que v^'(t)=0$

soit en remportant ds (E):
$3$v^'(t)+\frac{1}{8}v(t)=\frac{1}{4}$
i.e.
$3$0+\frac{1}{8}v(t)=\frac{1}{4}$
i.e.
$3$\frac{1}{8}v(t)=\frac{1}{4}$
i.e.
$3$v(t)=\frac{8}{4}$
i.e.
$3$v(t)=2$

solution de l'equation differencielle : ESSMA (Equation homogene Sans Second Membre Associé)+Solution particulière

soit :
$3$\fbox{v(t)=\alphae^{-\frac{1}{8}x}+2}$

voila @ +

Posté par re : equations différentielles (T.S) 01-04-05 à 21:10

euh dsl petit pb de LaTex :
$4$\fbox{\red v(t)=\alpha e^{\frac{-1}{8}x}+2}$

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