Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Equation différentielle des oscillateurs harmoniques
Bonjour,
Je relisais mes cours sur les oscillateurs harmoniques et il y a une formule que je n'arrive pas à comprendre, car elle fait intervenir de nulle part cosinus et sinus :
Ainsi, comment, à partir d'une formule tel que d²x/dt² + w²x = 0 peut on en déduire que
x(t) = Xm*wcos(wt + ø) ? ou encore x(t) = Acos(wt) + Bsin(wt) ?
D'où sortent cosinus et sinus ? D'où sortent les constantes A et B ? Je ne le vois malheureusement justifié/expliqué nulle part dans mon cours.
Pouvez-vous m'aidez s'il vous plaît ?
Pour chacune des deux solutions proposées, calcule la dérivée par raport à t puis la dérivée seconde par rapport à t. Dans les deux cas, tu vas vérifier :
Tu vérifies bien ainsi que les expressions proposées sont bien solution de l'équation différentielles. A et B d'une part, Xm et 
d'autre part, sont deux constantes que l'on obtient à partir des conditions initiales. Dans les problèmes la valeur initiale de x et la valeur initiale de la dérivée sont connues.
J'ai laissé passé une erreur dans ton message précédent. La solution de l'équation différentielle peut s'écrire :
et non :
Désolé du temps de réponse. Merci de votre réponse, mais je ne suis toujours pas sur de comprendre pourquoi faire intervenir sinus et cosinus. Je ne comprends pas non plus ce que sont les symboles w et ...
L'équation différentielle à résoudre s'écrit sous la forme :
où K est une constante positive. Une constante positive peut toujours s'écrire comme le carré d'une autre constante positive ; on pose donc : ; pourquoi ce choix ? Justement parce que la solution de l'équation différentielle est de la forme :
Il est plus simple de poser pour alléger l'écriture. Cette constante s'appelle la pulsation propre de l'oscillateur.
est une constante appelée « amplitude », c'est la valeur maximale de x puisqu'un cosinus a pour valeur maximale +1.
est une autre constante appelée « phase initiale » du mouvement. Comme déjà dit, ces deux constantes se déterminent à partir de la valeur initiale de x et de la valeur initiale de sa dérivée par rapport à t : la vitesse initiale.
Tout cela est sûrement dans ton cours... Il te faut l'étudier et le comprendre... Pour bien comprendre, il est indispensable d'être à l'aise en math sur la trigonométrie ; il faut aussi savoir dériver par rapport au temps l'expression de x(t) ; c'est ce que je t'ai expliqué dans mon précédent message...
D'accord, merci. J'ai fait les dérivations :
x(t) = Xmcos(wt+)
<=> x'(t) = -Xm.wsin(wt+)
<=> x''(t) = -Xm.w²cos(wt+)
<=> x''(t) + w²x = -Xm.w²cos(wt+) + w²Xmcos(wt+) = 0
Et
x(t) = Acos(wt) + Bsin(wt)
<=> x'(t) = -Awsin(wt) + Bwcos(wt)
<=> x''(t) = -Aw²cos(wt) - Bw²sin(wt)
<=> x''(t) + w²x = -Aw²cos(wt) - Bw²sin(wt) + w²(Acos(wt) + Bsin(wt)) = 0
Annuler
connectez vous