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Équation différentielle

Posté par
Cooks
10-07-19 à 17:54

Bonjour,
Une balle de masse m=50 g est lâchée sans vitesse initiale en O, point pris comme origine de l'axe y orienté vers le bas (chute libre sans vitesse initiale). La résistance de l'air est assimilable à une force verticale vers le haut d'intensité constante f= k.v2 où v est la vitesse de la balle à l'instant t et k étant constant.
1) En appliquant le TCI, montrer que l'équation différentielle du mvt s'écrit : \frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v^2=g.« Ça c'est fait.»
2) on écrira cette équation différentielle sous la forme\frac{dv}{dt}=g(1-\alpha^2v^2) (1)
J'ai fait une petite transformation et j'ai posé \alpha ^2=\frac{k}{mg}
Quelle est l'unité de \frac{1}{\alpha}?« Est-ce que c'est N-1
3) Les mathématiciens nous donnent une solution de l'équation (1) ainsi que l'équation horaire du mvt:
v(t)= \frac{e^{2\alpha gt}-1}{\alpha (e^{2\alpha gt}+1)}

Et y(t)= \frac{1}{\alpha ^2g}\ln (\frac{e^{\alpha gt}+e^{-\alpha gt}}{2})
Vérifier que v(t) est bien solution de (1) et que les conditions initiales sont satisfaites. Je ne comprends pas cette question.

À partir de la question 3) je cale

4) montrer en utilisant l'expression de v(t) que, quand t+, v(t)une valeur v1, exprimer v1 en fonction de g, m et k.
5) Vérifier que si le mvt est uniforme alors v1est solution de (1)
6) on mesure v1 et on trouve v1=35 m/s. Calculer k.
7) L'expérience montre qu'à t=10 s, la vitesse limite est atteinte. En utilisant l'expression de y(t) de la question 3), trouver la distance que doit parcourir verticalement le solide pour atteindre la vitesse limite.
Merci d'avance.

Posté par
krinn
re : Équation différentielle 10-07-19 à 18:32

Bonjour,
3) v(t) est donné donc ilfaut calculer dv/dt d'un côté, et g(1-2v2) de l'autre et vérifier que c'est la même expression
Quant aux conditions initiales, il faut vérifier que v(0)=o et x(0)=o

Posté par
krinn
re : Équation différentielle 10-07-19 à 18:38

2) on remarque dans l équation (1.)  que 2v2 est sans dimension donc on en déduit que
[1/] = [ v ]

Posté par
krinn
re : Équation différentielle 10-07-19 à 21:00

3) les calculs sont bcp plus simples si on remarque que v(t) = th( gt) /
Mais je crains que les fct hyperboliques soient un peu oubliées de nos jours...

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