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Équation de Friedmann

Posté par
iFeaRz72
13-03-18 à 16:04

Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer l'équation de Friedmann à la question e) de cet exo :


1- Les observations disponibles actuellement montrent que l?Univers :
- peut être considéré comme uniforme à grande échelle, au-delà de 100 Mpc (l?unité de distance couramment utilisée en cosmologie est le parsec (noté pc), qui est environ égal à 3 années lumière, soit 3 × 1016 ? ou ses multiples : 1 Mpc = 106 pc) ; on peut donc considérer qu?à l?instant présent ?0, il a une densité de masse uniforme ??(?0), et que tous les points de l?univers sont équivalents.
- est en expansion, ce qui signifie que nous observons que chaque galaxie (suffisamment lointaine) s?éloigne de nous avec une vitesse proportionnelle à sa distance, soit : \frac{d\vec{R}}{dt} = H_{0} \vec{R}   (1)
\vec{R} = \vec{OA} est la position de la galaxie A (supposée ponctuelle !) par rapport à nous (O est ainsi la Voie Lactée) et où ?0 est la constante de Hubble (?0?70 ??.?-1.???-1).
Montrer que l?expansion de l?Univers est compatible avec le fait que l?Univers est uniforme, c?est-à-dire qu?on observerait la même loi d?expansion de l?Univers (équation 1) si on l?observait à partir d?une galaxie O? quelconque, située en n?importe quel point de l?Univers.

Fait

2- Le taux d?expansion de l?Univers (c?est-à-dire le rapport \frac{1}{R} \frac{dR}{dt} = \frac{\ddot{R}}{R} où ? représente toujours la distance d?une galaxie donnée A à la Voie Lactée) dépend à priori du temps. L?expansion de l?Univers à l?instant t est donc décrite par l?équation ????=?(?) ?(?) . A l?instant présent ?=?0, le taux d?expansion de l?univers est égal à la constante de Hubble ?(?0)=?0. Nous voulons ici déterminer comment l?expansion de l?univers évolue au cours du temps.

a) Montrer que la masse M(R(t)) de la partie de l?Univers située à l?instant t à l?intérieur de la sphère de centre O et de rayon R(t) est constante au cours du temps ; exprimer sa valeur à l?instant présent ?0 en fonction de ??(?0) et de ?(?0) (on admettra que la densité de masse de l?Univers, ??(?), reste uniforme pour toute valeur de t, et on rappelle que le volume d?une sphère de rayon R est V = \frac{4\pi}{3}R^3)

Je ne vous mets pas l'explication.            M(R(t0)) = ??(?0) x \frac{4\pi}{3}R(t_{0})^3

b) En déduire que ??(?)=??(?0)/?(?)3 où ?(?) est défini par ?(?)= ?(?)/?(?0) .

Encore une fois, inutile de mettre la démonstration pour m'aider

c) On montre que le champ de gravitation universelle créé en un point M (tel que ?? = ?) par une distribution de masse à symétrie sphérique centrée en O (caractérisée par une masse volumique ?(?) ) , est égal à celui créé en M par un objet situé en O et de masse égale à ?(?), où ?(?)=?4??2?(?)?? est la totalité de la masse située à l?intérieur de la sphère de rayon R et de centre O (cette propriété est spécifique aux champs en r-2).
Faire un schéma de l?Univers en y faisant figurer O (la Voie Lactée), la galaxie A dont on étudie la dynamique, la sphère de centre 0 et de rayon ?(?) = ?? et l?orientation de la force s?exerçant sur la galaxie A à l?instant t.

Inutile (à part que la force gravitationnelle est "négative", dirigée vers le centre de l'univers.

d) Exprimer cette force s?exerçant sur A à l?instant t en fonction de la constante de gravitation universelle G, de la masse m de la galaxie A, de M(R(t)) et de R(t) ; en déduire l?accélération de la galaxie A à l?instant t.

\vec{a} = G \frac{M(R(t))}{R(t)^{2}} \vec{u_{x}}

e) En déduire que \frac{\ddot{d}}{d(t )} = -\frac{4 \pi G}{3} \frac{\rho_{M}(t_{0)}}{d(t)^3}. Cette équation, appelée équation de Friedmann, décrit la dynamique de l?expansion de l?Univers (dans laquelle a été seule prise en compte la matière non relativiste, de densité de masse ?M).

J'ai essayé plein de choses mais je n'y arrive pas

Merci d'avance

Posté par
iFeaRz72
re : Équation de Friedmann 13-03-18 à 23:27

Je réécris mon message car apparemment il est mal passé


Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer l'équation de Friedmann à la question e) de cet exo :


1- Les observations disponibles actuellement montrent que l'Univers :
- peut être considéré comme uniforme à grande échelle, au-delà de 100 Mpc (l'unité de distance couramment utilisée en cosmologie est le parsec (noté pc), qui est environ égal à 3 années lumière, soit 3 × 1016 m ou ses multiples : 1 Mpc = 106 pc) ; on peut donc considérer qu'à l'instant présent t0, il a une densité de masse uniforme \rho_{M}(t_{0}), et que tous les points de l'univers sont équivalents.
- est en expansion, ce qui signifie que nous observons que chaque galaxie (suffisamment lointaine) s'éloigne de nous avec une vitesse proportionnelle à sa distance, soit : \frac{d\vec{R}}{dt} = H_{0} \vec{R}   (1)
\vec{R} = \vec{OA} est la position de la galaxie A (supposée ponctuelle !) par rapport à nous (O est ainsi la Voie Lactée) et où t0 est la constante de Hubble (H_{0} \approx 70 km.s−1.Mpc−1).
Montrer que l'expansion de l'Univers est compatible avec le fait que l'Univers est uniforme, c'est à dire qu'on observerait la même loi d'expansion de l'Univers (équation 1) si on l'observait à partir d'une galaxie O' quelconque, située en n'importe quel point de l'Univers.

Fait

2- Le taux d'expansion de l'Univers (c'est à dire le rapport \frac{1}{R} \frac{dR}{dt} = \frac{\ddot{R}}{R} où R représente toujours la distance d'une galaxie donnée A à la Voie Lactée) dépend à priori du temps. L'expansion de l'Univers à l'instant t est donc décrite par l'équation \frac{dR}{dt} = H(t) R(t) . A l'instant présent t = t0, le taux d'expansion de l'univers est égal à la constante de Hubble H(t_{0}) = H_{0}. Nous voulons ici déterminer comment l'expansion de l'univers évolue au cours du temps.

a) Montrer que la masse M(R(t)) de la partie de l'Univers située à l'instant t à l'intérieur de la sphère de centre O et de rayon R(t) est constante au cours du temps ; exprimer sa valeur à l'instant présent t0 en fonction de \rho_{M}(t_{0}) et de R(t_{0}) (on admettra que la densité de masse de l'Univers, \rho_{M}(t), reste uniforme pour toute valeur de t, et on rappelle que le volume d'une sphère de rayon R est V = \frac{4\pi}{3}R^3)

Je ne vous mets pas l'explication.               M(R(t_{0})) = \rho_{M}(t_{0}) \frac{4\pi}{3}R(t_{0})^3

b) En déduire que \rho_{M}(t) = \frac{\rho_{M}(t_{0})}{d(t)^3} est défini par d(t) = \frac{R(t)}{R(t_{0})}.

Fait mais encore une fois, inutile de mettre la démonstration

c) On montre que le champ de gravitation universelle créé en un point M (tel que OM = R) par une distribution de masse à symétrie sphérique centrée en O (caractérisée par une masse volumique \rho(r) ) , est égal à celui créé; en M par un objet situé en O et de masse égale à M(R), où \int_{0}^{R}{4\pi r^2 \rho(r) dr} est la totalité de la masse située à l'intérieur de la sphère de rayon R et de centre O (cette propriété est spécifique aux champs en r-2).
Faire un schéma de l'Univers en y faisant figurer O (la Voie Lactée), la galaxie A dont on étudie la dynamique, la sphère de centre 0 et de rayon R(t) = OA et l'orientation de la force s'exerçant sur la galaxie A à l'instant t.

Inutile (pour la e)), à part que la force gravitationnelle est "négative", dirigée vers le centre de l'univers.

d) Exprimer cette force s'exerçant sur A à l'instant t en fonction de la constante de gravitation universelle G, de la masse m de la galaxie A, de M(R(t)) et de R(t) ; en déduire l'accélération de la galaxie A à l'instant t.

\vec{a} = G \frac{M(R(t))}{R(t)^{2}} \vec{u_{x}}






e) En déduire que \frac{\ddot{d}}{d(t )} = -\frac{4 \pi G}{3} \frac{\rho_{M}(t_{0)}}{d(t)^3}. Cette équation, appelée équation de Friedmann, décrit la dynamique de l'expansion de l'Univers (dans laquelle a été seule prise en compte la matière non relativiste, de densité de masse \rho_{M}.

J'ai essayé plein de choses mais je n'y arrive pas

Merci d'avance

Posté par
iFeaRz72
re : Équation de Friedmann 14-03-18 à 23:24

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