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Équation de Friedmann

Posté par
iFeaRz72 13-03-18 à 16:04

Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer l'équation de Friedmann à la question e) de cet exo :

1- Les observations disponibles actuellement montrent que l?Univers :
- peut être considéré comme uniforme à grande échelle, au-delà de 100 Mpc (l?unité de distance couramment utilisée en cosmologie est le parsec (noté pc), qui est environ égal à 3 années lumière, soit 3 × 10¹⁶ ? ou ses multiples : 1 Mpc = 106 pc) ; on peut donc considérer qu?à l?instant présent ?₀, il a une densité de masse uniforme ??(?₀), et que tous les points de l?univers sont équivalents.
- est en expansion, ce qui signifie que nous observons que chaque galaxie (suffisamment lointaine) s?éloigne de nous avec une vitesse proportionnelle à sa distance, soit : $\frac{d\vec{R}}{dt} = H_{0} \vec{R}$ (1)
où $\vec{R} = \vec{OA}$ est la position de la galaxie A (supposée ponctuelle !) par rapport à nous (O est ainsi la Voie Lactée) et où ?₀ est la constante de Hubble (?₀?70 ??.?^-1.???^-1).
Montrer que l?expansion de l?Univers est compatible avec le fait que l?Univers est uniforme, c?est-à-dire qu?on observerait la même loi d?expansion de l?Univers (équation 1) si on l?observait à partir d?une galaxie O? quelconque, située en n?importe quel point de l?Univers.

Fait

2- Le taux d?expansion de l?Univers (c?est-à-dire le rapport $\frac{1}{R} \frac{dR}{dt} = \frac{\ddot{R}}{R}$ où ? représente toujours la distance d?une galaxie donnée A à la Voie Lactée) dépend à priori du temps. L?expansion de l?Univers à l?instant t est donc décrite par l?équation ????=?(?) ?(?) . A l?instant présent ?=?₀, le taux d?expansion de l?univers est égal à la constante de Hubble ?(?₀)=?₀. Nous voulons ici déterminer comment l?expansion de l?univers évolue au cours du temps.

a) Montrer que la masse M(R(t)) de la partie de l?Univers située à l?instant t à l?intérieur de la sphère de centre O et de rayon R(t) est constante au cours du temps ; exprimer sa valeur à l?instant présent ?₀ en fonction de ??(?₀) et de ?(?₀) (on admettra que la densité de masse de l?Univers, ??(?), reste uniforme pour toute valeur de t, et on rappelle que le volume d?une sphère de rayon R est $V = \frac{4\pi}{3}R^3$ )

Je ne vous mets pas l'explication. M(R(t₀)) = ??(?₀) x $\frac{4\pi}{3}R(t_{0})^3$

b) En déduire que ??(?)=??(?₀)/?(?)³ où ?(?) est défini par ?(?)= ?(?)/?(?₀) .

Encore une fois, inutile de mettre la démonstration pour m'aider

c) On montre que le champ de gravitation universelle créé en un point M (tel que ?? = ?) par une distribution de masse à symétrie sphérique centrée en O (caractérisée par une masse volumique ?(?) ) , est égal à celui créé en M par un objet situé en O et de masse égale à ?(?), où ?(?)=?4??²?(?)?? est la totalité de la masse située à l?intérieur de la sphère de rayon R et de centre O (cette propriété est spécifique aux champs en r^-2).
Faire un schéma de l?Univers en y faisant figurer O (la Voie Lactée), la galaxie A dont on étudie la dynamique, la sphère de centre 0 et de rayon ?(?) = ?? et l?orientation de la force s?exerçant sur la galaxie A à l?instant t.

Inutile (à part que la force gravitationnelle est "négative", dirigée vers le centre de l'univers.

d) Exprimer cette force s?exerçant sur A à l?instant t en fonction de la constante de gravitation universelle G, de la masse m de la galaxie A, de M(R(t)) et de R(t) ; en déduire l?accélération de la galaxie A à l?instant t.

$\vec{a} = G \frac{M(R(t))}{R(t)^{2}} \vec{u_{x}}$

e) En déduire que $\frac{\ddot{d}}{d(t )} = -\frac{4 \pi G}{3} \frac{\rho_{M}(t_{0)}}{d(t)^3}$ . Cette équation, appelée équation de Friedmann, décrit la dynamique de l?expansion de l?Univers (dans laquelle a été seule prise en compte la matière non relativiste, de densité de masse ?_M).

J'ai essayé plein de choses mais je n'y arrive pas

Merci d'avance

Posté par re : Équation de Friedmann 13-03-18 à 23:27

Je réécris mon message car apparemment il est mal passé

Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer l'équation de Friedmann à la question e) de cet exo :

1- Les observations disponibles actuellement montrent que l'Univers :
- peut être considéré comme uniforme à grande échelle, au-delà de 100 Mpc (l'unité de distance couramment utilisée en cosmologie est le parsec (noté pc), qui est environ égal à 3 années lumière, soit 3 × 10¹⁶ m ou ses multiples : 1 Mpc = 106 pc) ; on peut donc considérer qu'à l'instant présent t₀, il a une densité de masse uniforme $\rho_{M}(t_{0})$ , et que tous les points de l'univers sont équivalents.
- est en expansion, ce qui signifie que nous observons que chaque galaxie (suffisamment lointaine) s'éloigne de nous avec une vitesse proportionnelle à sa distance, soit : $\frac{d\vec{R}}{dt} = H_{0} \vec{R}$ (1)
où $\vec{R} = \vec{OA}$ est la position de la galaxie A (supposée ponctuelle !) par rapport à nous (O est ainsi la Voie Lactée) et où t₀ est la constante de Hubble ( $H_{0} \approx$ 70 km.s⁻¹.Mpc⁻¹).
Montrer que l'expansion de l'Univers est compatible avec le fait que l'Univers est uniforme, c'est à dire qu'on observerait la même loi d'expansion de l'Univers (équation 1) si on l'observait à partir d'une galaxie O' quelconque, située en n'importe quel point de l'Univers.

Fait

2- Le taux d'expansion de l'Univers (c'est à dire le rapport $\frac{1}{R} \frac{dR}{dt} = \frac{\ddot{R}}{R}$ où R représente toujours la distance d'une galaxie donnée A à la Voie Lactée) dépend à priori du temps. L'expansion de l'Univers à l'instant t est donc décrite par l'équation $\frac{dR}{dt} = H(t) R(t)$ . A l'instant présent t = t₀, le taux d'expansion de l'univers est égal à la constante de Hubble $H(t_{0}) = H_{0}$ . Nous voulons ici déterminer comment l'expansion de l'univers évolue au cours du temps.

a) Montrer que la masse M(R(t)) de la partie de l'Univers située à l'instant t à l'intérieur de la sphère de centre O et de rayon R(t) est constante au cours du temps ; exprimer sa valeur à l'instant présent t₀ en fonction de $\rho_{M}(t_{0})$ et de $R(t_{0})$ (on admettra que la densité de masse de l'Univers, $\rho_{M}(t)$ , reste uniforme pour toute valeur de t, et on rappelle que le volume d'une sphère de rayon R est $V = \frac{4\pi}{3}R^3$ )

Je ne vous mets pas l'explication. $M(R(t_{0})) = \rho_{M}(t_{0}) \frac{4\pi}{3}R(t_{0})^3$

b) En déduire que $\rho_{M}(t) = \frac{\rho_{M}(t_{0})}{d(t)^3}$ est défini par $d(t) = \frac{R(t)}{R(t_{0})}$ .

Fait mais encore une fois, inutile de mettre la démonstration

c) On montre que le champ de gravitation universelle créé en un point M (tel que OM = R) par une distribution de masse à symétrie sphérique centrée en O (caractérisée par une masse volumique $\rho(r)$ ) , est égal à celui créé; en M par un objet situé en O et de masse égale à M(R), où $\int_{0}^{R}{4\pi r^2 \rho(r) dr}$ est la totalité de la masse située à l'intérieur de la sphère de rayon R et de centre O (cette propriété est spécifique aux champs en r^-2).
Faire un schéma de l'Univers en y faisant figurer O (la Voie Lactée), la galaxie A dont on étudie la dynamique, la sphère de centre 0 et de rayon R(t) = OA et l'orientation de la force s'exerçant sur la galaxie A à l'instant t.

Inutile (pour la e)), à part que la force gravitationnelle est "négative", dirigée vers le centre de l'univers.

d) Exprimer cette force s'exerçant sur A à l'instant t en fonction de la constante de gravitation universelle G, de la masse m de la galaxie A, de M(R(t)) et de R(t) ; en déduire l'accélération de la galaxie A à l'instant t.

$\vec{a} = G \frac{M(R(t))}{R(t)^{2}} \vec{u_{x}}$

e) En déduire que $\frac{\ddot{d}}{d(t )} = -\frac{4 \pi G}{3} \frac{\rho_{M}(t_{0)}}{d(t)^3}$ . Cette équation, appelée équation de Friedmann, décrit la dynamique de l'expansion de l'Univers (dans laquelle a été seule prise en compte la matière non relativiste, de densité de masse $\rho_{M}$ .

J'ai essayé plein de choses mais je n'y arrive pas

Merci d'avance

Posté par re : Équation de Friedmann 14-03-18 à 23:24

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