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Électricité Effet Hall

Posté par
hdiallo
27-04-24 à 06:57

Bonjour, aidez-moi svp
Problème : Une différence de potentiel U est appliquée entre les extrémités d'un conducteur métallique en forme de ruban, de longueur l et de section rectangulaire (épaisseur : a ; largeur : b). On suppose que, par la suite, des chocs sur les ions du réseau cristallin, chaque électron de conductibilité est soumis en plus du champ électrique \vec E appliqué, que l'on suppose uniforme a une force de frottement proportionnelle à sa vitesse \vec V et de la forme \vec f = -k\vec V.
1.a) Écrire l'équation différentielle du mouvement des électrons de conductibilité en prenant \vec V comme variable.
b) Donner en intégrant cette équation, la loi reliant \vec V au temps t sachant qu'à l'instant t = 0, où l'on applique la tension U, la vitesse \vec V est nulle.Électricité Effet Hall

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 27-04-24 à 10:45

Bonjour
Qu'as-tu réussi à faire pour l'instant ? Qu'est ce qui te bloque exactement ?

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 19:20

1.a Équation différentielle du mouvement
Bilan de forces :
- la force électrique \vec F= q\vec E ;
- la force de frottement \vec f = -k\vec V ;
- le poids \vec P = m\vec g

Peut - on appliquer le Théorème du centre d'inertie comme en mécanique ?
J'avoue que je n'ai jamais corrigé un exercice de ce type.

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 21:14

Oui. On reste ici en mécanique classique. Comme toujours lorsqu'on étudie le déplacement de charges électriques, le poids est d'influence totalement négligeable devant les autres forces. Tu peux donc le négliger. Tu peux alors montrer que, compte tenu des conditions initiales, le mouvement d'un électron est rectiligne avec pour direction et sens ceux du vecteur (-\vec E. Tu peux donc projeter la relation fondamentale de la dynamique sur un axe astucieusement choisi. Ici : q=-e.

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 21:47

Comme tu fais pour comprendre que le sens du mouvement est celui de (-\vec E) ?

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 22:18

Il n'y a pas de vitesse initiale et la seule force motrice est la force électrique \vec F= q\vec E =-e\cdot\vec E.

PS : montrer que le mouvement est rectiligne est moins évident qu'il n'y paraît. La démonstration présente des points communs avec celle qui permet de montrer qu"un pendule simple, écarté de sa position  d'équilibre et abandonné sans vitesse initiale, oscille dans le plan vertical fixe contenant la position initiale et le point fixe d'accrochage du fil. (le repère terrestre est supposé galiléen bien sûr).

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 22:44

J'ai bien compris !
Maintenant le TCI : \vec F + \vec f = m\vec a
Suivant le sens positif du mouvement :

F - f = m.a

Donc eE - kV = m.a

D'où l'équation différentielle :

V' + \frac {k}{m}V - \frac {eE}{m} = 0

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 22:52

D'accord. Maintenant, tu admets que la solution générale est la somme de deux solutions :
* la solution particulière Vp correspondant au cas particulier V'=0 à chaque instant ;
* la solution Vh de l'équation homogène c'est à dire de l'équation différentielle avec constante nulle :

\frac{dV_{h}}{dt}+\frac{k}{m}\cdot V_{h}=0
Tu as rencontré ce genre d'équation différentielle homogène  dans d'autres domaines de la physique-chimie...

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 23:10

• la solution particulière est : V_p = \frac {eE}{m}

• la solution particulière est : aidez-moi moi ici svp

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 23:23

Au niveau terminale, tu peux te contenter de vérifier qu'une expression de la forme :

V_{h}=A.e^{-\lambda.t}

est bien solution de : \frac{dV_{h}}{dt}+\frac{k}{m}\cdot V_{h}=0

Cela te permet d'exprimer en fonction de k et m. Pour la constante A, il suffit de considérer que la solution générale :

V_{(t)}=V_{p}+V_{h}

vérifie : V(t=0) = 0.

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 30-04-24 à 23:53

D'accord, mais la question 1.b) demander de passer par les intégrales pour exprimer V = f(t)

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 10:02

Intégrer une équation différentielle signifie simplement en trouver la solution. La théorie mathématique est traitée au niveau bac+1. Au niveau terminale, tu peux te contenter de vérifier que Vh est solution de l'équation différentielle homogène pour une valeur à préciser de puis que V(t) est bien solution de l'équation différentielle générale.

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 10:30

D'accord

V_{h}=A.e^{-\lambda.t}

est solution de : \frac{dV_{h}}{dt}+\frac{k}{m}\cdot V_{h}=0  signifie que

-A\lambda e^{-\lambda t}+ \frac {k}{m}V_h = 0

Donc -\lambda V_h+ \frac {k}{m}V_h = 0

Alors \lambda = \frac {k}{m}

La solution générale est :

V(t) = Ae^{-\frac {k}{m}t}+\frac {eE}{m}


A t = 0, V(t=0) = 0, je tire A et je trouve A = -eE/m

Donc V(t) = -\frac {eE}{m}e^{-\frac {k}{m}t}+\frac {eE}{m}

Plus simplement :  V(t) = \frac {eE}{m}\left( 1-e^{-\frac {k}{m}t\right)

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 10:31

Après tout, tu peux tenter la résolution de la façon suivante. On part de l'équation différentielle homogène que l'on écrit sous la forme :

\frac{dV_{h}}{dt}=-\frac{k}{m}\cdot V_{h}

puis on divise les deux terme par Vh.

\frac{V_{h}'}{V_{h}}=-\frac{k}{m}

C'est à ce niveau que l'on “intègre”, c'est à dire que l'on écrit qu'une primitive par rapport à t du terme de gauche est égal à une primitive par rapport à t du terme de droite, tout cela bien sûr, à une constante près.

\ln\left(V_{h}\right)=-\frac{k}{m}\cdot t+constante

Petite astuce : on écrit la constante sous la forme ln(A) où A est une constante positive.

\ln\left(V_{h}\right)=-\frac{k}{m}\cdot t+\ln\left(A\right)

\ln\left(V_{h}\right)-\ln\left(A\right)=\ln\left(\frac{V_{h}}{A}\right)=-\frac{k}{m}\cdot t
 \\
Tu devrais pouvoir terminer...

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 10:49

Nous avons posté à peu près au même instant.
D'accord et j'ai bien compris.
Maintenant la question 1.c) sur le calcul de la vitesse limite :

Lorsque t + ; V tend vers une limite VL qui vaut :

  V_L = \frac {eE}{m}

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 12:04

C'est bien cela. L'exponentielle tend vers zéro, ce qui conduit à ton résultat !

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 12:50

D'accord.

E = \frac {U}{l}  ;  donc V_L = \frac {eU}{ml}

AN :  V_L = \frac {1,6.10^{-19}.34.10^{-3}}{9,1.10^{-31}.10.10^{-2}}

Je trouve un résultat que je n'ose pas écrire écrire ici

Je crois qu'il y'a une erreur de données.

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 14:07

Je crois surtout qu'il y a une étourderie que j'aurais d'ailleurs dû repérer plus tôt...
L'équation différentielle obtenue précédemment est correcte :
V' + \frac {k}{m}V - \frac {eE}{m} = 0
La solution particulière correspond à :
V_p = \dfrac {eE}{k}

D'ailleurs l'énoncé fournit la valeur de Vp=VL et demande d'en déduire la valeur de k.
Remarque : note bien la valeur numérique très faible de cette vitesse. Contrairement à une idée reçue, les électrons de conduction se déplacent très lentement dans un conducteur mais, comme ils sont très nombreux et transportent une charge électrique très importante (environ 96500 coulombs par mole d'électrons), il est possible d'obtenir des intensités importantes.

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 14:59

Oh je vois !

La solution générale est :

V(t) = Ae^{-\frac {k}{m}t}+\frac {eE}{k}


A t = 0, V(t=0) = 0, je tire A et je trouve A = -eE/k

Donc V(t) = -\frac {eE}{k}e^{-\frac {k}{m}t}+\frac {eE}{k}

Plus simplement :  V(t) = \frac {eE}{k}\left( 1-e^{-\frac {k}{m}t\right)

Ainsi lorsque t + ; V tend vers une limite VL qui vaut :

  V_L = \frac {eE}{k}

Soit V_L = \frac {eU}{kl}

Si je comprend bien, on ne demande pas de calculer ici la valeur numérique de VL, n'est-ce pas ?

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 16:46

Oui, c'est ce que j'ai compris de l'énoncé de la question 1d)
Pour 1e) tu as intérêt à poser :
\tau =\frac{m}{k} : constante de temps de façon à faire intervenir une exponentielle de la forme : e^{-\frac{t}{\tau}.

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 19:47

Question 1.d)

De la relation de VL, on trouve :

k = \frac {eU}{V_Ll}

k = 3,6.10-25 J.s

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 21:23

D'où vient cette unité pour k ?

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 22:07

Oh j'ai commis une erreur sur l'unité.
Au numérateur, le produit eU est en joule.
Au dénominateur, VL.l en m².s-1

Donc k = 3,6.10-25 J.m-2.s

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 22:16

Raisonnement correct. On peut trouver un peu plus simple à partir de f=k.v ; cela conduit à k mesuré en kg/s.

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 01-05-24 à 22:36

OK.
Je préfère alors k = 3,6.10-25 N.s.m

Calcul de la mobilité

\mu =\frac {V_L}{E} = \frac {l.V_L}{U}

= 4,4.10-3 m²/V.s

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 02-05-24 à 12:12

Tu es sûr de la puissance de 10 pour la valeur de k ?
A propos de l'unité de k : sachant qu'une force est homogène au produit d'une masse par une accélération, on peut utiliser le N.s/m mais le kg/s est quand même plus simple !

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 02-05-24 à 16:59

OK

k = 3,6.10-17 kg/s

Maintenant la question 1.e) consiste à tracer V=f(t) qui est une fonction exponentielle décroissante.

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 02-05-24 à 19:28

OK pour k.

Citation :
V=f(t) qui est une fonction exponentielle décroissante

Non : fonction monotone croissante ; la vitesse initiale est nulle : la vitesse tend vers une limite asymptotique positive : VL=Vp.
Reprend ma remarque sur la constante de temps =m/k.

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 03-05-24 à 19:19

Quelle étourderie de ma part !
Oui, V(t) est une fonction exponentielle CROISSANTE, quelque soit t [0 ; +[

L'équation V = VL est l'asymptote horizontale.

La courbe commence à l'origine du repère et tend vers vers la branche asymptotique VL.

C'est ça ?

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 03-05-24 à 20:26

Oui ! Ton équation peut s'écrire :

V_{(t)}=V_{L}.\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)
En plus de ce que tu as écrit, on peut dire :
L'asymptote est quasiment atteinte au bout d'une durée de l'ordre de 5. Cela s'explique par le fait que, pour t>5, exp(-t/)<e-5 soit

exp(-t/)<3,7.10-3 soit exp(-t/) 0
C'est pour cette raison que l'on considère souvent que la durée du régime transitoire est d'environ 5.
A noter éventuellement, pour le tracé de la courbe : la tangente à la courbe en t=0 coupe l'asymptote horizontale en t=.

Électricité Effet Hall

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 06-05-24 à 04:51

Merci.
2) Expression de l'intensité I du courant :

ne = It \Rightarrow I =\frac {ne}{t}

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 06-05-24 à 11:47

I.t a la dimension physique d'une charge électrique alors que n.e à la dimension d'une charge divisée par un volume. Ta formule est donc fausse car non homogène.
La constante de temps étant extrêmement petite, on peut considérer que le régime permanent est atteint à chaque instant. Pendant une durée t, chaque électron parcourt la distance VL.t . Imagine une section droite du conducteur d'aire S=a.b ; les électrons qui vont traverser cette section droite entre les instants de dates zéro et t sont les électrons situés à la date zéro, avant la section droite, à une distance de celle-ci inférieure à VL.t.
Bref : la charge I.t représente la charge mobile contenu à la date zéro dans le parallélépipède rectangle de longueur VLt et de section droite d'aire S=a.b, donc dans le volume de conducteur : a.b.VL.t
Je te laisse continuer...

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 06-05-24 à 12:32

Petit schéma pour illustrer mon précédent message. J'ai représenté une vue de dessus du ruban avec les positions (numérotées de 1 à 3) de trois électrons à la date zéro. Entre l'instant de date zéro et celui de date t, chaque électron parcourt la distance VL.t. On voit bien que seuls les électrons 1 et 2 traversent la section droite de référence pendant la durée t.

Électricité Effet Hall

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 09-05-24 à 23:45

Donc je dois écrire que : V.n.e = I.t
Où V = S.a
La surface de la base est S = b.l
Alors V = a.b.l

Du coup : a.b.l.n.e = I.t

 I =\frac {ablne}{t}

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 10-05-24 à 09:28

Le volume en jaune vaut :
a.b.VL.t
Donc :
n.e.a.b.VL.t=I.t

Posté par
hdiallo
re : Électricité Effet Hall 28-06-24 à 20:14

J'ai trop retardé avec cet exercice là et son cousin de l'autre côté.
J'avais décidé de lire d'abord la théorie, ensuite continuer.

On continue maintenant...

n.e.a.b.VL.t=I.t I = n.e.a.b.VL

Je trouve I = 1,44 A

Posté par
vanoise
re : Électricité Effet Hall 28-06-24 à 21:58

OK !



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