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Désintégration du potassium 40
Bonjour, SVP veuillez m'assister à résoudre cet exercice.
Problème
40K est radioactif et se désintègre en émettant soit une particule 
+ Soit une particule - donnant ainsi respectivement naissance à des noyaux d'argon Ar et de calcium Ca. Les constantes radioactives de ces types de désintégrations sont respectivement :
1=0,58.10-10 an-1 et 2=4,72.10-10 an-1.
Des roches qui au moment de leur formation, enfermaient L'isotope 40K ont pu, depuis, accumuler des quantités mesurables d'argon. Il est possible de mesurer, à l'instant actuel, la quantité NK(t) de noyaux 40K encore présents et la quantité d'argon accumulée ; on peut alors déduire l'âge de la roche.
1) Établir la relation :
NK(t)=NK(0).e-(1+2)t.
En déduire que le nombre de noyaux N1 d'argon 40Ar et N2 de calcium 40Ca présents à la date t dans un échantillon de la roche est tel que :
N1+N2=NK(t)[e(1+2).t - 1].
2) On admet pour la suite là relation suivante : . A partir de cette relation et des résultats précédents, établir l'expression rapport
en fonction de
1, 2 et t.
Application numérique : montrer que l'âge en année d'un minerai est donné par la relation .
Simplifier la relation dans le cas où l'on a
3) Dans un échantillon de mica-muscovite (dont on pense que la formation remonte au tertiaire), se prêtant bien à la datation par le couple Potassium-Argon, les mesures ont donné : . Calculer l'âge de l'échantillon.
Question 1) : Établissement de la relation
NK(t)=NK(0).e-(1+2)t
Les équations de désintégrations du potassium sont :
(1)
(2)
Soient :
NK(0) le nombre de noyaux de 40K présents à la date t=0, NK(t) leur nombre à la date t et NK(t) + dNK(t) leur nombre à la date t +dt.
Le nombre de noyaux desintegrés entre les dates t et t+dt est -dNK(t)=NK(t).dt
Alors
En intégrant cette relation, J'obtiens la loi de décroissance radioactive :
NK(t) = NK(0)e-t
Je demande maintenant si je dois poser que =1+2 pour aboutir à la relation demandée et pourquoi ?
Bonsoir
La quantité élémentaire de noyaux qui disparaissent entre les instants de dates t et (t+dt) est la somme de deux quantités :
1° la quantité qui disparaît par radio activité + ;
2°la quantité qui disparaît par radio activité - ;
D'où la relation :
On retrouve bien l'équation différentielle classique dans laquelle est remplacée par (1+2).
Deduisons-en la relation suivante :
N1+N2=NK(t)[e(1+2).t - 1]
• le nombre N1 est tel que :
N1 = NK(0)-NK(t)=NK(0)(1-e-1t) (1)
• le nombre N2 est tel que :
N2 = NK(0)-NK(t)=NK(0)(1-e-2t) (2)
Maintenant je fais la somme des relations (1) et (2)
N1+N2=NK(0)(2-e-1t-e-2t)
Sauf que je ne retrouve pas la relation demandée. Je ne sais pas si ma démarche est bonne.
Pas d'accord avec tes relations (1) et (2). A ce stade, tu n'as aucun renseignement sur les proportions de désintégrations suivant + ou -. En revanche, tu peux affirmer que la quantité de noyaux de potassium disparus est égale à la somme des quantités formés de Ar et de Ca. Cela donne tout simplement :
NK(0)-NK(t) = N1+N2
D'accord, maintenant j'ai toujours du mal à jouer avec cette relation pour aboutir à celle qui est demandée.
Oh je vois !
Donc
N1+N2=NK(t).exp[(1+2)t].[1-exp[-(1+2)t]
N1+N2=NK(t)[exp((1+2)t)-exp(0)]
Soit N1+N2=NK(t)[exp((1+2)t)-1]
Question 2)
On a déjà établit que :
N1+N2=NK(t)[e(1+2).t - 1]
Je remplace dans la relation l'expression de N1+N2 puis je tire le rapport
en fonction de
1, 2 et t. Je trouve :
Application numérique: dans la relation précédente je tire le temps t et j'obtiens
En remplaçant 1 et 2 par leurs valeurs respectives, j'obtiens :
Maintenant, comment simplifier la relation dans le cas où l'on a
?
Si j'ai compris, je doit utiliser la formule d'approximation (1+
)n 
1+n ? Ou bien je remplace 1 par lne dans la relation de t ?
Attention ⚠
Je crois avoir commis une erreur dans l'expression de t. L'emplacement de l'ouverture de la parenthèse n'est pas bon. Je rectifie :
Cours de math sur les développements limités, à mon avis pas du programme de terminale :
ln(1+x)x
l'approximation est d'autant meilleure que |x| petit devant 1.
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