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Dérivée seconde (exercice de cinématique)

Posté par
manu_du_40 08-11-05 à 21:47

Bonjour à tous.

Alors voilà j'ai un exercice que j'arrive à résoudre mais après avoir vérifié maintes et maintes fois mes calcule (), j'arrive à quelque chose qui me semble absurde à la fin : pourriez-vous m'indiquer la méthode à la fin ou m'indiquer mes éventuelles erreurs SVP ? (mes réponses en gras)
Merci d'avance.

Un mobile se déplace sur un axe (x'x) et sa position à l'instant t est donnée par x(t)=\frac{t}{1+t^2}, où t est exprimé en secondes et x en mètres.

a) Quelle est la vitesse à l'instant t ?

La vitesse du mobile à l'instant t correspond à la dérivée de x(t).

Je trouve x'(t)=\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}

b) Quelle est l'accélération à l'instant t ?

L'accélération correspond à la dérivée seconde x''(t)

Je trouve x''(t)=\frac{2t(t^4-2t^2-3)}{(1+t^2)^4}

c) A quel(s) instant(s) la vitesse du mobile est-elle nulle ?

vitesse nulle ssi x'(t)=0

\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}=0

Solutions : 1 et -1 mais on exclut -1 car t est positif (c'est une durée) donc la vitesse est nulle à t=1s

d)Construire sur un même graphique les courbes représentant la position du mobile, sa vitesse et son accélération.

On passe, je l'ai fait à la calto (comme l'a demandé la prof).

e) Le mobile accélère lorsque la vitesse et l'accélération sont de même signe. Déterminer pour quelles valeurs de t le mobile accélère. Et là, au vu des deux courbes, je n'arrive pas à le déterminer. De plus, j'aurai plutôt tendance à dire que le mobile accélère lorsque l'accélération est positive non ??
Enfin je ne comprends pas bien la question.

Merci d'avance pour votre aide.

Manu

Posté par
ciocciure : Dérivée seconde (exercice de cinématique) 08-11-05 à 21:56

salut
effctivement j'aurais dis aussi avec une accélération positive mais bon puisqu'on te dis qu'il faut la v et l'a de mm signe autant le faire
donc tu fais un tableau de signe pour x' et x" et tu prends qd les deux sont positifs ou négatifs
bye

Posté par
dad97re : Dérivée seconde (exercice de cinématique) 08-11-05 à 21:57

Bonsoir,

si ils sont de même signe leur produit sera positif... traduire cela en une inéquation à résoudre.

Salut

Posté par
manu_du_40re : Dérivée seconde (exercice de cinématique) 08-11-05 à 22:02

Ben j'ai pensé au tableau de signe mais je ne sais pas étudier le signe d'une expression bicarrée. Avec un changement de variable, je trouve deux racines : \sqrt{3} et -\sqrt{3} mais pour étudier le signe, je ne sais pas faire :

sinon, mes dérivées vous semblent justes ? (on n'est jamais sûr de rien )

Manu

Posté par
manu_du_40re : Dérivée seconde (exercice de cinématique) 08-11-05 à 22:05

En parralèle à ta méthode Dad97, j'ai tenté de résoudre des systèmes d'équation :

x'(t)>0
x''(t)>0

et

x'(t)<0
x''(t)<0

mais c'est une résolution qui aboutit à des solutions très complexes.

Manu

Posté par
dad97re : Dérivée seconde (exercice de cinématique) 08-11-05 à 22:24

re,

3$\rm x^{''}(t)=\frac{-2t(1+t^2)^2-2\times 2t(1+t^2)(1-t^2)}{(1+t^2)^4}

3$\rm =\frac{-2t(1+t^2)-4t(1-t^2)}{(1+t^2)^3}

3$\rm =\frac{-2t(1+t^2+2-2t^2)}{(1+t^2)^3}

3$\rm =\frac{-2t(3-t^2)}{(1+t^2)^3}

d'ou :

4$\rm\blue\fbox{x^{''}(t)=\frac{2t(t-\sqrt{3})(t+\sqrt{3})}{(1+t^2)^3}C'est la même fonction dérivée seconde que la tienne

Pour ce qui est de la méthode proposée:

3$\rm x^'(t)\times x^{''}(t)>0 \Longleftrightarrow \frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}\times\frac{2t(t-\sqrt{3})(t+\sqrt{3})}{(1+t^2)^3}>0

3$\rm\Longleftrightarrow \frac{-2t(t+1)(t-1)(t-\sqrt{3})(t+\sqrt{3})}{(1+t^2)^5}>0


3$\rm\Longleftrightarrow -2t(t+1)(t-1)(t-\sqrt{3})(t+\sqrt{3})>0

compte tenu que t>0 on aboutit à 4$\rm\blue\fbox{t\in ]1;\sqrt{3}[

Salut

Posté par
ciocciure : Dérivée seconde (exercice de cinématique) 08-11-05 à 22:26

tes solutions en racines de 3  me paraissent pas très justes
tu trouves ça comment
et c sur et certains que les tableaux de signes sont une méthode qui marche

Posté par
ciocciure : Dérivée seconde (exercice de cinématique) 08-11-05 à 22:32

correction
c comme l'a dit dady....
ch'uis fatigué moi
j'vais au lit
bye

Posté par
manu_du_40re : Dérivée seconde (exercice de cinématique) 08-11-05 à 22:32

Ah ok je n'avais pas bien compris Dad97. Merci beaucoup. Les résultats passent beaucoup mieux maintenant.

Ciocciu : les solutions que je disais sont les solutions de l'équation bicarrée t^4-2t^2-3=0 (ce qui sert à factoriser la dérivée seconde).


Merci à tous les deux.

Manu


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