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Décollage fusée et lois de Newton
Bonjour, je bloque sur un exercice :
La fusée a une masse a vide de 100 tonnes et contient au décollage environ 1000 tonnes de combustibles ,soit une masse totale M=1100 tonnes
La combustion permet à la fusée d'éjecter des gaz a une vitesse
constante de la valeur u=5000m.s-1
1) principe de fonctionnement
a) pourquoi l'énoncé précise t-il que 1000 tonnes est la masse de combustible au décollage ?
Je pense que l'énoncé le précise car cette masse va disparaître au cours du décollage.
b) Quelle est la conséquence d'éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?
La fusée va être propulsée vers le haut.
c) pourquoi existe t-il une altitude maximale au delà de laquelle la fusée ne peut aller ?
Car il n'y aura plus de combustible donc plus de gaz propulsant la fusée.
2) étude simplifiée du mouvement
A une date t , on note m(t) la masse de la fusée et du combustible qu'elle contient
La vitesse de la fusée est v(t) et celle des gaz éjectés 
g(t) = (t) + 
(les gaz étant en mouvement par rapport a la fusée , la vitesse des gaz est différente de celle de la fusée). La pesanteur ainsi que les frottements de l'air sur la fusée sont négligés dans cette partie.
a)quelle est la masse mg(t) des gaz éjectés?
Je dirai 1 000 tonnes.
b)exprimer la quantité de mouvement de la fusée à une date t.
p(t)=m(t)*(t).
c) exprimer également celle des gaz éjectés.
p(t)=(m(t)-100)*g(t)
d) en déduire la quantité de mouvement p(t) de l'ensemble constitué de la fusée et des gazs éjectés.
que peut on dire de cette quantité de mouvement ?
p(t)=(m(t)*(t))+((m(t)-100)*g(t)) On peut dire que la quantité de mouvement est constante.
e) en dérivent la quantité de mouvement par rapport au temps montrer que le résultat précédent s'écrit aussi:
M*(d/dt) = (-dmg/dt) *
f)On définit le débit massique d'jection par Dm=dmg/dt .
Quel est le signe de Dm ?
Dm semble positif.
g)On appelle force de poussée F = (-dmg/dt)*
vérifier que l'expression est bien homogène à une force .
Quelle est l'orientation de cette force?
3) Etude plus réaliste
Le poids de la fusée n'est en réalité pas négligeable par rapport à la force de poussée due à l'ejection des gaz.
a)L'expression de la quantité de mouvement de l'ensemble constitué de la fusée et des gaz éjectés est-elle différente de celle de la partie précédente ?
Qu'est-ce qui change par rapport au cas précédent ?
b) Ecrire la 2e loi de Newton pour me système {fusée + gaz} .
Montrer que la nouvelle équation du mouvement est : M(d/dt)=Mg - Dm
c) Quel débit massique d'éjection minimal permet le décollage de la fusée ?
d)Ce débit est constant pendant toute la phase de décollage .Calculer la durée T du décollage dans le cas du débit minimal.
Voilà j'ai fait ce que j'ai pu 
, les indications en gras sont mes réponses. Pouvez-vous corriger mes erreurs et m'aider à poursuivre l'exercice s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
bonjour,
a)quelle est la masse mg(t) des gaz éjectés?
Je dirai 1 000 tonnes.
attention, on te dit qu'on se place à l'instant t où la fusée n'a plus qu'une masse m(t) (y compris le combustible)
donc on a éjecté/brûlé combien de combustible à cet instant? (sachant que la masse totale au départ est M)
d) en déduire la quantité de mouvement p(t) de l'ensemble constitué de la fusée et des gaz éjectés.
tu fais la somme de ce que tu viens de trouver en b) et c)
que peut on dire de cette quantité de mouvement ?
on peut dire que la quantité de mouvement est constante.
oui, pourquoi?
Ok donc : p(t)= [m(t)*(t)]+[(M-m(t))*g(t)] ?
Et cette quantité est constante car une quantité de mouvement est toujours constante ?
Cela me semble bien confus.
Si la fusée est loin de toutes forces extérieures (donc loin de tout astre, pour "oublier" les effets gravitationnels).
... donc c'est le cas pour ce qui est intitulé " étude simplifiée du mouvement"
De ma propre méthode :
Soit v la vitesse de la fusée à l'instant t et v+dv la vitesse de la fusée à l'instant t+dt (dans un référentiel galiléen)
Soit M la masse de la fusée à l'instant t et M+dM la masse à l'instant t+dt, -dM est la masse de gaz expulsé dans l'intervalle dt
Soit U la vitesse des gaz (dans un référentiel galiléen) à l'instant t.
dt, dt et dM sont des infiniment petits.
Quantité de mouvement à l'instant t : M.v
Quantité de mouvement à l'instant t+dt : -dM.U + (M+dM).(v + dv)
--->
M.v = -dM.U + (M+dM).(v + dv) (conservation de la quantité de mouvement)
Mais, en général la vitesse des gaz est constante PAR RAPPORT A LA FUSEE et pas dans le référentiel terrestre.
En appelant Vg la vitesse des gaz par rapport à la fusée, alors l'équation devient :
On a : vitesse fusée référentiel galiléen = vitesse fusée par rapport au gaz + vitesse des gaz dans référentiel galiléen
on a donc v + dv = vg + U
U = v + dv - vg
M.v = -dM.(v + dv - vg) + (M+dM).(v + dv)
M.v = -dM.v - dM.dv + dM.vg + MV + Mdv + v.dM + dMdv
0 = dM.vg + Mdv
M.dv = - dM.vg
Soit donc: M.dv/dt = - vg.dM/dt
C'est l'équivalent de l'équation donnée en 2e dans l'exercice... mais avec mes propres notations.
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Sauf distraction. 
donc ma première partie et ce qui avait été fait avant est quand même bon ?
Pour moi, pas vraiment.
Une autre question : comment montrer qu'une expression est homogène à une force ?
Par un analyse dimensionnelle.
A partir de mes notations :
M.dv/dt = - vg.dM/dt
F = - vg.dM/dt
vg est une vitesse et donc [vg] = L.T^-1
M est une masse et donc [dM] = M
t est un temps et donc [dt] = T
[vg.dM/dt] = L.T^-1 * M * 1/T
[vg.dM/dt] = MLT^-2 ... qui sont bien les dimensions d'une force.
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A partir des notations de l'énoncé :
vecteur(F) = (-dmg/dt)* vecteur(u)
u est une vitesse et donc [u] = L.T^-1
mg est une masse et donc [mg] = M
t est un temps et donc [dt] = T
[(-dmg/dt)* vecteur(u)] = L.T^-1 * M * 1/T
[(-dmg/dt)* vecteur(u)] = MLT^-2 ... qui sont bien les dimensions d'une force.
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Sauf distraction.
D'accord... mais là je ne comprends plus rien. 
Du coup, si je reprend depuis le début :
1) principe de fonctionnement
a) pourquoi l'énoncé précise t-il que 1000 tonnes est la masse de combustible au décollage ?
Je pense que l'énoncé le précise car cette masse va disparaître au cours du décollage.
b) Quelle est la conséquence d'éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?
La fusée va être propulsée vers le haut.
c) pourquoi existe t-il une altitude maximale au delà de laquelle la fusée ne peut aller ?
Car il n'y aura plus de combustible donc plus de gaz propulsant la fusée.
2) étude simplifiée du mouvement
A une date t , on note m(t) la masse de la fusée et du combustible qu'elle contient
La vitesse de la fusée est v(t) et celle des gaz éjectés g(t) = (t) +
(les gaz étant en mouvement par rapport a la fusée , la vitesse des gaz est différente de celle de la fusée). La pesanteur ainsi que les frottements de l'air sur la fusée sont négligés dans cette partie.
a)quelle est la masse mg(t) des gaz éjectés?
M-m(t)
b)exprimer la quantité de mouvement de la fusée à une date t.
p(t)=m(t)*(t).
c) exprimer également celle des gaz éjectés.
p(t)=(M-m(t))*g(t)
d) en déduire la quantité de mouvement p(t) de l'ensemble constitué de la fusée et des gazs éjectés.
que peut on dire de cette quantité de mouvement ?
p(t)= [m(t)*(t)]+[(M-m(t))*g(t)] On peut dire que la quantité de mouvement est constante.
e) en dérivent la quantité de mouvement par rapport au temps montrer que le résultat précédent s'écrit aussi:
M*(d/dt) = (-dmg/dt) *
Là je suis un peu perdue dans les notations.
f)On définit le débit massique d'jection par Dm=dmg/dt .
Quel est le signe de Dm ?
Dm semble positif.
g)On appelle force de poussée F = (-dmg/dt)*
vérifier que l'expression est bien homogène à une force .
Quelle est l'orientation de cette force?
Ici que représente L et T ? Sinon je dirai que cette force est dirigée vers le haut.
Qu'est ce qui est faux là dedans ?
Merci d'avance.
Je ne peux pas t'aider.
Je ne trouve pas plusieurs questions judicieuses et c'est porquoi, j'ai répondu par une autre manière ... même si cela ne t'arrange pas.
Par exemple : question 1c
c) pourquoi existe t-il une altitude maximale au delà de laquelle la fusée ne peut aller ?
On ne peut pas donner de réponse à ce stade, rien ne dit, sans calcul, que le carburant n'est pas suffisant pour pouvoir propulser la fusée au delà de la vitesse de libération.
Certes les gaz s'échappent de la fusée à une vitesse inférieure à la vitesse de libération ... mais ce n'est pas dans le même référentiel.
La vitesse des gaz est donnée par rapport à la fusée (référentiel non inertiel), alors que la vitesse de libération est par rapport à la Terre (autre référentiel).
Si il était impossible de faire échapper un engin spatial lancé de la Terre de l'attraction terrestre, alors on n'aurait jamais pu envoyer des engins vers Mars ou autre.
Il faut bien entendu une certaine masse de carburant pour y arriver, mais sans calcul, on ne peut pas savoir si le carburant est ici suffisant ou non que pour atteindre la vitesse de libération.
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Les questions da la partie 2 sont imprécises.
a)quelle est la masse mg(t) des gaz éjectés?
Cela varie avec le temps puisque c'est mg(t), il faudrait donc connaître le débit de gaz éjecté pour répondre ... mais on connait la vitesse sans connaître la "section d'éjection" ... et donc on ne peut répondre ... sauf à la rigueur en littéral et introduisant soit le débit d'éjection, soit la section d'éjection... qu'on ne précisent pas dans l'énoncé.
c) exprimer également celle des gaz éjectés.
Faut-il considérer tout les gaz éjectés depuis l'instant 0, jusque l'instant t ?
Mais alors il faut prendre garde que toute la masse de gaz n'a pas été éjectée depuis le début à la même vitesse dans un référentiel terrestre et donc ...
Bref, le prof a sûrement compris ce qu'il essayait de demander ... mais pas moi de manière claire.
Et la suite est dans le même style.
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Je n'ai pas de difficulté à résoudre le problème de la fusée qui accélère (ici sans tenir compte de la gravité terrestre et des frottement), mais je l'ai fait par une voie dans laquelle il ne fallait pas que je prenne un décrypteur pour décoder les questions posées.
Cela ne t'aide pas ...
Peut-être auras-tu une bonne âme qui pensent interpréter correctement les questions et qui y répondra dans l'ordre et l'esprit posé.
3)
Bilan des forces sur la fusée :
Poids (variable) : M(t).vecteur(g))
Poussée due à l'éjection des gaz (-dmg/dt)*cvecteur u
(On néglige frottement et pousseé d'Archimède)
Résultante des forces sur la fusée : vecteur(F) = M(t).vecteur(g) - (dmg/dt).vecteur(u)
et avec l'équation fondamentale de la dynamique vecteur(F) = M(t).vecteur(a)
M(t).g - (dmg/dt).u = M(t).dv/dt
Et comme le débit des gaz est constant : Dm = (dmg/dt), il vient :
M(t).vecteur(g) - Dm.vecteur(u) = M(t).d(vecteur(v))/dt
---
Pour que la fusée décolle, il faut que Dm.|u| > Mo.|g|
Dm > Mo.|g|/|u| (avec Mo la masse de la fusée avec le plein de carburant)
---
Si Dm = Mo.|g|/|u| = constante, alors :
La fusée accélère jusqu'à ce qu'il n'y ai plus de carburant, donc sur une durée t1 telle que Dm.t1 = masse initiale de carburant
t1 = (masse initiale de carburant)/Dm avec Dm = Mo.|g|/|u|
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Pas demandé : équation de la vitesse en cours de démarrage dans ces conditions :
M(t) = (Mo - Dm.t)
L'équation devient :
(Mo - Dm.t).g - Dm.u = -(Mo - Dm.t).dv/dt
(Mo - Dm.t).g - Dm.Mo.g/Dm = -(Mo - Dm.t).dv/dt
(Mo - Dm.t).g - Mo.g = -(Mo - Dm.t).dv/dt
Dm.g.t = (Mo - Dm.t).dv/dt
Si on considère un décollage sur une distance < < Rayon de la Terre, alors on peut prendre g = constante ... sinon, il faut tenir compte de la vartaition de g avec l'altitude.
dv/dt = Dm.g.t/(Mo - Dm.t) avec Dm = Mo.|g|/|u|
avec v(0) = 0
...
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Sauf distraction (pas vérifié).
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