Au cours d'une étape contre la montre en plaine, un cycliste est en mouvement rectiligne uniforme. Il pédale en continu afin de maintenir une vitesse de 50 km/h, en utilisant le grand plateau qui possède N1=54dents, et le petit pignon qui possède N2=12 dents. Le diamètre des roues est égal à 70 cm. On notera R1 le rayon du plateau, R2 le rayon du pignon et R le rayon de la roue. Le pignon et la roue arrière sont solidaires lors du pédalage.

Soit I le point de la roue qui est en contact avec le sol à l'instant t. On admettra que la vitesse de I dans le référentiel du vélo est égale à la vitesse du cadre du vélo dans le référenciel terrestre.


1. Vitesse de rotation du pignon

a. Déterminer la vitesse de rotation d'une roue.
La vitesse de rotation d'une roue s'exprime par : =v/R

b. Calculer .
v est la vitesse linéaire avec v=50 km/h=14 m/s
R est le rayon de la roue et on sait que son diamètre mesure 70cm.
R=70/2=35cm
R=35cm=0,35m
donc w=14/0.35=40 rad/s

c. En déduire la vitesse de rotation 2 du pignon.
D'après l'énoncé, le pignon et la roue arrière sont solidaires lors du pédalage donc =2=40 rad/s

2. Vitesse des dents du pignon et du plateau

a. Exprimer la vitesse v2 d'une dent du pignon en fonction de 2 et de R2.
v2=R2.2

b. Exprimer la vitesse v1 d'une dent du plateau en fonction de la vitesse de rotation 1 du plateau et de R1.
v1=R1.1

c. Sachant que la chaîne est inextensible (tous les points de la chaîne vont à la même vitesse), établir une relation entre 1, R1, 2 et R2.
1.R1=2.R2

3. Vitesse de rotation du plateau

La chaîne est constituée de maillons identiques, dans lesquels viennent s'insérer les dents du pignon et du plateau. Toutes les dents ont la même largeur d.

a. Exprimer d en fonction de R1 et N1, puis en fonction de R2 et N2. En déduire l'expression de R1/R2 en fonction de N1 et N2.

b. Exprimer en conclusion 1 en fonction de N1,N2 et 2.

c. Calculer 1.

d. Calculer le nombre de coups de pédale données par le cycliste (=le nombre de tours) par minute.

4. Développement

Le développement est la distance parcourue par le vélo lorsque le cycliste effectue un tour de pédale.

a. Calculer la période T1 de la pédale sur le pédalier.

b. Déduire le développement D parcouru par le vélo pendant cette période.

Comme vous pouvez le voir, je n'ai pas fait les deux dernières parties mais je voudrais d'abord avoir un avis sur les parties 1 et 2.

Merci