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Coincé sur un exercice de meca

Posté par
Ropher 19-11-15 à 23:51

Bonjour,

Je suis coincé sur un exercice de mécanique, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Excusez moi, mais il y a eu un souci au niveau des puissances, je ré-écris donc ma question :
"Dans un repère R (O, x, y, z) un point M a pour coordonnée
OM | x = k2-1
       | y = 2.k
       | z = 0

avec k + k3/3 = t et t ? 0 où t représente le temps.

1) Déterminer l'équation cartésienne de la trajectoire, l'identifier et la construire.
Déterminer M0 à t = 0.

2) Exprimer k = dk/dt en fonction de k.

3) Déterminer en fonction de k
* la norme de OM : ||OM|| = r ;
*le vecteur vitesse VM/R ainsi que ||Vm/r||2en fonction de r ;
*le vecteur accélération Am/r.

4) Calculer le moment en O de VM/R.
Que peut-on dire sur la nature du mouvement de M ?"

Donc voilà comment j'ai commencé :
1) L'équation cartésienne de la trajectoire est y = 2?(x+1)
x ? -1 <=> Df(x) = [-1;+infini[ et y ? 0

"Dessin de la trajectoire f(x)"

t = k + k3/3 = k ( 1 + k2/3)
A M0 t=0, ainsi (1+k2/3)>0, donc k = 0, x = -1 et y = 0

Qu'en pensez-vous pour le 1 ? Car pour le 2, je suis coincé, je ne comprends pas la question...

Pouvez-vous m'aidez s'il vous plaît ?

***Edit gbm : deuxième message supprimé pour plus de lisibilité sur le topic***

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 20-11-15 à 11:01

Bonjour,

1. Les coordonnées du vecteur position sont les suivantes :
x = k^2-1 \\ y = 2k \\ z = 0

z = 0 : le mouvement de M se fait dans un plan d'altitude 0

x = k^2-1 \\ y = 2k \Leftrightarrow k = \dfrac{y}{2}

puis dans la première relation :

x = k^2-1 \Leftrightarrow x = (\dfrac{y}{2})^2 - 1

soit :

\boxed{x - \dfrac{y^2}{4} + 1 = 0}

Quelle est la nature de cette courbe ?

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 20-11-15 à 11:02

Citation :
k + k^3/3 = t et t ? 0 où t représente le temps.


Que signifie le "?" ?

Posté par
Ropherre : Coincé sur un exercice de meca 20-11-15 à 13:28

Merci de votre réponse

Désolé de ne pas avoir fait attention aux caractères qui n'ont pas été reconnus...
Le "?" veut dire t >= 0

Dans ma réponse le "?" veut dire y = 2(x+1)^1/2

Sinon je ne comprends pas votre question, la nature de la courbe... Elle est croissante ?
et y = 2(x+1)^1/2

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 20-11-15 à 17:13

Attention, ce que tu écris n'est pas tout à fait exact.

y² = x <=> y = x OU y = -x.

Mais laisse-là sous la forme que je t'ai proposée.

La nature de la courbe est tout simplement une parabole !

Trace la courbe avec quelques points

Posté par
Ropherre : Coincé sur un exercice de meca 20-11-15 à 19:23

Oui effectivement ça fait une parabole ... oups

Donc pour t=0,
k + k3/3 = k ( 1 + k2/3 )
k = 0 car k ( 1 + k2/3 ) >=1

Ainsi x = -1 et y = 0

Voila pour le 1. Merci

Ensuite pour le 2, ça se corse... Que dois-je faire d'après vous ? k en fonction de k

Coincé sur un exercice de meca

Posté par
Ropherre : Coincé sur un exercice de meca 20-11-15 à 19:25

Excusez-moi, je voulais pas dire "k (1 + k2/3 ) >=1", mais " (1 + k2/3 ) >=1"

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 20-11-15 à 21:50

k + \dfrac{k^3}{3} = t

t = 0 \Leftrightarrow k + \dfrac{k^3}{3} =0 \\ \\ \Leftrightarrow k.(1 + \dfrac{k^2}{3}) =0

\Leftrightarrow k = 0
ou 1 + \dfrac{k^2}{3} =0

\Leftrightarrow k = 0
ou \dfrac{k^2}{3} =-1

...

Bien faire attention à la rédaction

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 20-11-15 à 21:53

Question 2 :

k + \dfrac{k^3}{3} = t

On souhaite exprimer k = \dfrac{dk}{dt} en fonction de k :

Pense à différencier la relation.

Posté par
Ropherre : Coincé sur un exercice de meca 22-11-15 à 16:42

Suite du 1 :

\small t=k+\frac{k^3}{3} \\ \\ t=k(1+\frac{k^2}{3}) \\ \\ t=0 \\ \\ \Leftrightarrow k=0 \textbf{ \red ou } 1+\frac{k^2}{3}=0 \\ \\ k=0 \textbf{ \red ou } \frac{k^2}{3}=-1 \\ \\ k=0 \textbf{ \red ou } k^2=-3 \\ \\ k=0 \text{ car } k^2=-3 \text{ est impossible dans les réels, non ? } \\ \\ \text{Ainsi, si }k=0 \text{, } x=-1 \text{ et } y=0 \\
non ?

Ensuite pour l'exercice 2, je ne vois pas comment je dois faire... J'essaie d'écrire k en fonction de t pour calculer la dérivée de k, mais ça me donne des choses impossibles... C'est pas possible que ce soit ça qu'on me demande...

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 22-11-15 à 17:29

Question 1 : OK

Question 2 : je t'avais donné un indice. Il faut penser à différentier la relation :

k + \dfrac{k^3}{3} = t \\ \\ \Leftrightarrow dk + k^2dk = dt \\ \\ \Leftrightarrow (1+k^2)dk = dt \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{dk}{dt} = \dfrac{1}{1+k^2}

Ainsi k = \dfrac{dk}{dt} \Leftrightarrow \dfrac{1}{1+k^2} = k \\ \\ \Leftrightarrow k + k^3 = 1

Sauf inattention

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 22-11-15 à 17:31

Les reste de ton exercice ne devrait pas poser de pb.

Posté par
Ropherre : Coincé sur un exercice de meca 24-11-15 à 18:29

Merci, pas bête en effet lol !

Donc si je comprends bien :

\large k=\frac{dk}{dt} \\ \\ k+\frac{k^3}{3}=t\text  de  la  forme   r+s=t \\ \\ avec    r=k\text    s=\frac{u}{v}\text    u=k^3\text    v=3 \\ \\ r'=1\text    s'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\text    u'=3k^2\text    v'=0 \\ \\ s'=\frac{9k^2}{9}=k^2 \\ \\ Ainsi, dt=(1+k^2)dk \Leftrightarrow \frac{dk}{dt}=\frac{1}{1+k^2} \\ \\

car la dérivée de k par rapport à k est égal à 1 ?? C'est ça ?

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 24-11-15 à 19:25

Oui c'est ça .

f(x) = x
f '(x) = df/dx = 1

Posté par
Ropherre : Coincé sur un exercice de meca 24-11-15 à 22:07

merci

Maintenant, la question 3

\normalsize \\ \| \vec{OM}\|=r \\ \\ x=k^2-1 \\ y=2k \\ z=0 \\ \\ \| \vec{OM}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(k^2-1)^2+(2k)^2} \\ \\ \| \vec{OM}\|=\sqrt{k^4-2k^2+1+4k^2}=\sqrt{k^4+2k^2+1}=\sqrt{(k^2+1)^2} \\ \\ \| \vec{OM}\|=k^2+1 \Leftrightarrow r=dk/dt \\ \\ Le  vecteur  vitesse  \vec{V_M/_R}  ainsi  que  \| \vec{V_M/_R}\| ^2  en  fonction  de  r : \\ \\ V_x(k)=dx=2k \\ V_y(k)=dy=2 \\ V_z(k)=dz=0 \\ \\ \| \vec{V_M/_R}\| ^2=V_x^2+V_y^2+V_z^2=2k^2+2^2=4k^2+4=4(k^2+1) \\ \\ \| \vec{V_M/_R}\| ^2=4dt=4r \\ \\ Le   vecteur   acceleration   \| \vec{A_M/_R}\| : \\ \\ A_x(k)=d(V_x)=2m.s^-^2 \\ A_y(k)=d(V_y)=0 \\ A_z(k)=d(V_z)=0 \\ \\

Du coup, je pense avoir répondu à la question vu qu'il n'y a que l'accélération sur x...
Dois-je finir comme cela ?

Pour la question 4 (Calculer le moment en O de VM/R), je ne vois pas comment procéder... Est-ce l'équation horaire ?

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 25-11-15 à 19:56

Attention à tes calculs.

Une vitesse par définition est \vec{v} = \dfrac{d \vec{OM}}{dt}

donc les coordonnées du vecteur sont

dx/dt = ...
dy/dt = ...
dz/dt = ...

(tu dérives par rapport au temps).

Et comme les composantes (x, y, z) sont exprimées en fonction de k, je te propose l'astuce de guerre suivante :

\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dx}{dk} \times \dfrac{dk}{dt}

avec \dfrac{dx}{dk}= 2k comme tu l'as très bien écrit.

Et \dfrac{dk}{dt} = \dfrac{1}{1+k^2} d'après la question 2

Même méthode pour les autres composantes du vecteur vitesse.

PS : je trouve ton exercice assez balèze par rapport à ton niveau (terminale) ...

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 25-11-15 à 20:03

Pour la question 4, as-tu vu la formule de Varignon un moyen mnémotechnique, la formule « BABAR » : \vec{M}_{\vec{R}/B} = \vec{M}_{\vec{R}/A}+ \overrightarrow{BA} \wedge \vec{R} avec \vec{R} la force (la Résultante), B le point vers lequel on veut déplacer notre moment, et A le point d'origine.

Cela est vu quand tu abordes un cours sur les torseurs.

Mais je ne sais pas si c'est au programme d'un terminale STI ...

Posté par
Ropherre : Coincé sur un exercice de meca 09-12-15 à 21:16

Désolé, mais je n'ai pas pu répondre avant...

En fait je suis des cours par correspondance dans le but de passer un concours...
Logiquement cela devrait être un niveau Bac STI, mais du coup, j'ai un doute...

Donc voici ce que j'ai fait pour mes vecteurs :

\normalsize \\ -  Voici  les  composantes  de  mon  vecteur  \vec{V_{M/R}}  : \\ \\ V_x=\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dk}\times \frac{dk}{dt}=\frac{2k}{1+k^2} \\ \\ V_y=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dk}\times \frac{dk}{dt}=\frac{2}{1+k^2} \\ \\ V_z=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dk}\times \frac{dk}{dt}=0 \\ \\ \|\vec{V_{M/R}}\|^2=Vx^2+Vy^2+Vz^2=(\frac{2k}{1+k^2})^2+(\frac{2}{1+k^2})^2 \\ \\ \|\vec{V_{M/R}}\|^2=\frac{4k^2}{(1+k^2)^2}+\frac{4}{(1+k^2)^2}=\frac{4(k^2+1)}{(1+k^2)^2} \\ \\ \|\vec{V_{M/R}}\|^2=\frac{4}{k^2+1}=4\frac{dk}{dt}=\frac{4}{1} \\ \\ \|\vec{V_{M/R}}\|^2=\frac{4}{r} \\ \\ -  Voici  les  composantes  de  mon  vecteur  \vec{A_{M/R}}  : \\ \\ A_x=\frac{dV_x}{dt} \\ \\ A_y=\frac{dV_y}{dt} \\ \\ A_z=\frac{dV_z}{dt} \\ \\ Derivee  de  V_x : \\ V_x  de  la  forme  \frac {u}{v}  avec \\ u=2k  u'=2 \\ \\ v=1+k^2  v'=2k \\ \\ V'_x=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{2k^2+2-4k^2}{(k^2+1)^2}=\frac{-4k^2+2}{(k^2+1)^2} \\ \\ V'_x=\frac{-2(k^2-1)}{(k^2+1)^2} \\ \\ A_x=\frac{dV_x}{dt}=\frac{-2(k^2-1)}{(k^2+1)^3} \\ \\ Derivee  de  V_y : \\ V_y  de  la  forme  \frac {u}{v}  avec \\ \\ u=2  u'=0 \\ \\ v=1+k^2  v'=2k \\ \\ V'_y=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{-4k}{(k^2+1)^2} \\ \\ A_y=\frac{dV_y}{dt}=\frac{-4k}{(k^2+1)^3} \\ \\ Les  composantes  du  vecteur  Acceleration  sont  donc  : \\ \\ A_x=\frac{-2(k^2-1)}{(k^2+1)^3} \\ \\ A_y=\frac{-4k}{(k^2+1)^3} \\ \\

Pour la question 4, je ne comprends absolument pas... J'ai beau chercher dans mes cours et je ne trouve rien au sujet de la formule de Varignon ou de la formul BABAR...

Je verrai sur le corrigé ce que l'on me demande réellement de faire...

Merci beaucoup de votre aide !!

Posté par
gbm Webmasterre : Coincé sur un exercice de meca 10-12-15 à 20:01

Bonsoir Ropher,

Je fais mon possible pour relire ce que tu viens de poster (en fin d'année, les livrables sont à boucler, c'est le rush).


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