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Circuit électrique RC - analyse de Laplace

Posté par
soucou 29-08-05 à 14:12

Bonjour,

Je considère un condensateur C initialement déchargé à t=0\:\rm s en série avec une résistance R. La fonction causale \epsilon(t) définie comme suit \epsilon(t)=\{0\:\text{ si }x<0\\1\:\rm autrement.

L'ensemble est soumis à une tension u(t) de telle sorte que u(t)=\epsilon(t) où en transformée de Laplace unilatérale u(p)=\mathcal{L}[\epsilon(t)]=\Bigint_{0_-}^{\infty}\epsilon(t)e^{-pt}dt=\frac{1}{\ p\ } avec p=j\omega (variable de Laplace).

La loi d'Ohm relative à la résistance s'écrit u_R(p)=R\cdot i(p)
La loi d'Ohm relative au condensateur s'écrit u_C(p)=\frac{1}{pC}i(p)\:\Rightarrow\:i(p)=pC\cdot u(p)

Le lemme de Kirchhoff relatif au tension s'écrit u_C(t)+u_R(t)=u(t)
Mais aussi u_C(p)+u_R(p)=u(p)\:\Rightarrow\:u_C(p)+pRC\cdot u_C(p)=\frac{1}{\ p\ }\quad(L_1)

D'où l'on tire d'après (L_1) : u_C(p)=\frac{1}{p\(pRC+1\)}

Il en vient d'après la transformée de Laplace inverse \red u(t)=\mathcal{L}^{-1}\[u_C(p)\]=\frac{1}{2\pi j}\Bigint^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{p\(pRC+1\)}e^{pt}dp

Comment calcul t-on cette intégrale ?

Je ne pense pas que ça nous avance beaucoup d'écrire que e^{pt}=e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t) et dp=dj\omega

Pouvez vous aussi me confirmer la démarche entière ?



Merci beaucoup,

Posté par
cinnamonre : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 14:15

Salut,

as-tu vu les intégrales généralisées (ou impropores) ?

Posté par
cinnamonre : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 14:16

oups, je voulais dire impropres.

Posté par
soucoure : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 14:20

Non, ça ne me dit rien.

Sinon je ne pense pas que le fait que la variable soit complexe change beaucoup de chose.

Posté par
cinnamonre : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 14:32

Je ne sais pas si ça change grand chose (n'ayant pas vu les intégrales complexes) mais tu as l'air d'avoir affaire à une intégrale généralisée complexe !!!

Bonne chance !




Posté par
soucoure : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 14:58

Hum, j'ai peut être trouvé... (en plus simple)

En éffet en décomposant u_C(p) on trouve u_C(p)=\frac{1}{p\(pRC+1\)}=\frac{1}{p}-\frac{RC}{pRC+1}=\frac{1}{p}-\frac{1}{RC}\cdot \frac{1}{p+\frac{1}{\ RC\ }}

Or il se trouve que \mathcal{L}^{-1}\[\frac{1}{p}\]=\epsilon(t) et \mathcal{L}^{-1}\[p-\frac{1}{RC}\]=exp{-\frac{t}{\ RC\ }}\epsilon(t)

Ainsi, on a u_C(t)=\epsilon(t)\(1-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{\ RC\ }}\)

Voilà, j'ai sans doute j'ai une petite érreur mais je suis proche du résultat que je cherchais.

Trop cool

Posté par
J-Pre : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 14:58

Chacun sa tactique, voici la mienne:

Je suppose que tu as voulu écrire e(t) = 0 si t < 0 et e(t) = 1 autrement.

Soit I le courant dans le circuit et u la tension aux bornes du codensateur.

e = R.I + u

1 = R.I + u  

En dérivant par rapport au temps: 0 = R.dI/dt + du/dt

et I = C.du/dt -->

R.dI/dt + I/C = 0

RC.dI/dt + I = 0

RC.I' + I = 0

Equation différentielle dont les solutions sont immédiates:

I = A.e(-t/RC)

I(0) = e/R = 1/R

--> I(0) = 1/R = A.e^0
A = 1/R

et donc I = (1/R).e^(-t/RC)   (Attention que le 1 a le volt pour unité).

----
I = C.du/dt
(1/R).e(-t/RC) = C.du/dt
(1/(RC)).e(-t/RC).dt = du


u(t) = (1/RC).\int e^{-\frac{t}{RC}\ dt

u(t) = (1/RC).(-RC). e^{-\frac{t}{RC}} + K

u(t) =  -e^{-\frac{t}{RC}} + K

Or u(0) = 0 et donc: u(0) = -e^{0} + K = 0 --> K = 1

Et finalement.

u(t) = 1  -e^{-\frac{t}{RC}
----
Sauf distraction.  

Posté par
soucoure : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 15:00

Euh, dans la troisième ligne c'est \mathcal{L}^{-1}\[\frac{1}{p-\frac{1}{RC}}\]=exp{-\frac{t}{\%20RC\%20}}\epsilon(t)

Posté par
soucoure : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 15:04

Oui J-P, je sais... D'ailleurs, j'avais déjà expliquer cette méthode à letonio (cf: équation différencielle en électricité)

Comme quoi il est toujours bon d'innover.

Merci quand même pour la démo.

Posté par
soucoure : Circuit électrique RC - analyse de Laplace 29-08-05 à 15:06

Ah mais non dans la décomposition j'ai u_C(p)=\frac{1}{p\(pRC+1\)}=\frac{1}{p}-\frac{RC}{pRC+1}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+\frac{1}{\%20RC\%20}}

Ok ça marche youpi...


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