Bonsoir
Qu'as tu réussi à faire ? Quelle est ta méthode ?

Voici ma procédure par rapport à la première question :
X= 2t²+1 => t² = ½(x-1) et t= √(½(x-1))
De y = 4t²+2t+6, on a 2t = y -4t² -6
Alors 2[√{½(x-1)}]= (y-6)-2(x-1). J'ai élevé toute la relation au carré et la transformer pour obtenir finalement la relation ci-dessous :
y²+16y + 4x² + 30x - 4xy + 18 = 0

Je suis  dans l'impossibilité de donner la nature de la trajectoire. Aussi, je ne sais pas si l'équation obtenue est juste ou pas

D'accord avec ta méthode mais tu as commis une erreur en élevant au carré.
Cela dit, l'étude de cette trajectoire me parait totalement hors programme au niveau terminale. Je me demande s'il n'y a pas une faute de frappe dans l'énoncé. Poser x=2t+1 en conservant l'expression de y me paraitrait plus raisonnable.
S'il n'y a pas d'erreur, tu peux remarquer que, pour t grand, les termes en t² son prédominants de sorte que cette trajectoire admet comme asymptote oblique la droite d'équation y=2x.
Voici un document sur ce type de courbe : tu vas constater que cela dépasse largement le niveau terminale.